Kształtowanie pojęcia ułamka z wykorzystaniem metody czynnościowej.

Pojęcie ułamka jest pojęciem wieloaspektowym. Wieloaspektowość pojęcia w planowaniu jego opracowania metodą czynnościową wymaga stosowania różnych ścieżek, a następnie łączenia różnego typu operacji na kolejnych piętrach. Jeśli analiza teoretyczna operacji tkwiących w danym pojęciu ujawnia kilka aspektów tego pojęcia, a tak jest w przypadku pojęcia ułamka, to w nauczaniu trzeba uwzględnić różne ciągi ćwiczeń prowokujące czynności konkretne, wyobrażone i abstrakcyjne dla każdego z aspektów. Analizę pojęcia i planowania ćwiczeń dla każdego aspektu należy przeprowadzić oddzielnie. Natomiast w procesie nauczania, ćwiczenia z różnych aspektów mogą się przeplatać nawzajem i uzupełniać. Przy projektowaniu dydaktycznym ważne jest, aby nauczyciel wiedział na jakim poziomie może realizować kształtowanie pojęcia, aby być w zgodzie z poziomem rozwoju intelektualnego i możliwościami matematycznymi ucznia.

W przypadku pojęcia ułamka nie są łatwo widoczne tkwiące w nim operacje abstrakcyjne. Dopiero analiza teoretyczna ujawnia kilka aspektów tego pojęcia, które powinny wystąpić w poprawnym nauczaniu. Aby stworzyć warunki do ukształtowania się pojęcia ułamka u dzieci, powinny wystąpić zadania ukazujące ułamek w następujących aspektach:

1. jako miara wielkości,

2. jako stosunek dwóch wielkości,

3. jako symbol operacji,

4. jako iloraz dwóch liczb naturalnych.

Aspekty te można nazwać odpowiednio: miarowy (a , b) operatorowy, funkcjonalny (c) oraz algebraiczny lub symboliczny (d). Aspekty te nawzajem łączą się i przenikają podobnie jak przy aspektach pojęcia liczby naturalnej (kardynalny, porządkowy, miarowy i algebraiczny).

Aspekt miarowy ułamka

Aspekt miarowy jest ze wszystkich aspektów najlepiej umotywowany historycznie. Potrzeba dokładniejszych pomiarów wywołała w naturalny sposób podział jednostki na mniejsze części i używanie tych części do mierzenia. W wyniku mierzenia uzyskiwano parę liczb, z których jedna informowała, na ile części podzielono jednostkę, a druga - ile takich części mieściło się w mierzonej wielkości.

Rozpatrując konkretne wielkości mówimy o „stosunkach dwóch wielkości jednorodnych” tj. takich, które wyrażone są za pomocą tej samej jednostki. W tym kontekście jednostka stanowi całość, a poszczególne wielkości są ułamkami tej całości. W przypadku ułamka
mamy do czynienia ze stosunkiem dwóch wielkości jednorodnych, z których „pierwsza zawiera dwie równe części, druga - pięć takich samych części”.

Ułamek wyrażający miarę wielkości przy danej jednostce wskazuje więc, jaką część całości stanowi dana wielkość. Ale równocześnie ten ułamek wyraża stosunek dwóch wielkości.

Na przykład ułamek
(z 1m,1kg lub 1l ) oznacza, jaką część wzięto z całości, ale również jaki jest stosunek między wielkością oznaczoną jako
(odpowiednio: długości, masy, pojemności), a drugą wielkością oznaczoną jako 1m, 1kg, 1l.

Uogólniając:

1. jeśli mamy dwie wielkości tego samego rodzaju i wyrażamy jedną przy pomocy drugiej, to w efekcie otrzymujemy ułamek (wyrażając wielkość m wielkością n otrzymujemy ułamek
   ),

2. stosunek wielkości m do wielkości n jest równy ułamkowi
   .

zrozumienie pojęcia ułamka, wymaga między innymi rozumienia tych w/w sformułowań. Jak pisze S. Turnau [18] (str.126 ) w ... „Głębokie i operatywne przyswojenie pojęcia ułamka może nastąpić tylko w sytuacjach, w których stosunek pewnych wielkości okazuje się ważniejszy od samych wielkości, gdyż nie zmienia się, mimo że zmieniają się te wielkości, innymi słowy, gdy pewne wielkości okazują się proporcjonalne”.

Zgodnie z zasadą czynnościowego nauczania, przedstawiam przykładowe zadania, które pozwolą uczniowi przebyć drogę od czynności konkretnych, poprzez wyobrażone do abstrakcyjnych przy rozważaniu aspektu miarowego ułamka.

Zadania prowokujące czynności konkretne.

Zadanie 1

Materiały: trzy jednakowe kwadraty z kartonu, linijka, nożyczki.

1. Podziel kwadraty, każdy innym sposobem na 8 równych części. Pokaż:
   itp. kwadratów.

2. Ułóż cztery różne figury utworzone w każdym przypadku z trzech ósmych kwadratu.

Zadanie 2

Materiały: trójkąty i kwadraty tekturowe takie, że trójkąt stanowi połowę kwadratu.

Z czterech trójkątów złóż prostokąt. Porównaj go z prostokątem ułożonym z dwóch kwadratów. Ułóż obok
tego prostokąta na różne sposoby.

Zadanie 3

Materiały: klocki lub paski tekturowe „liczby w kolorach”

1. Znajdź w zestawie klocek lub pasek, który stanowi
   klocka lub paska granatowego. Opowiedz, jakie czynności kolejno wykonałeś. Sprawdź swoje rozwiązanie.

2. Ułóż kwadraty: z czterech klocków czerwonych, ośmiu klocków różowych. Porównaj te kwadraty. Opowiedz, co zrobisz, aby odpowiedzieć na pytanie: jaką część kwadratu stanowi klocek różowy, a jaką klocek czerwony?

Zadania prowokujące czynności wyobrażone.

Zadanie 1

W kwadracikach dużego prostokąta narysuj wzorki: gwiazdka, słoneczko tak, aby stosunek kwadracików z wzorkami był w obu prostokątach taki sam.

Zadanie 2

Znajdź stosunek długości odcinków AB i CD, gdy :

1. odcinki zmierzono jednostką a,

2. odcinki zmierzono jednostką b,

3. za jednostkę przyjęto odcinek CD.

Zadanie 3

1. Wyraź w kilogramach: 75dag, 10dag, 80dag,

2. Wyraź w godzinach: 25min, 30min, 45min,

3. Uzupełnij:
   zł= ... gr,
   zł= ... gr,
   zł= ... gr,
   zł= ... gr.

Zadania prowokujące czynności abstrakcyjne.

Zadanie 1

1. Zapisz kilka ułamków wyrażających ten sam stosunek wielkości co ułamki:

................................................
...................................................

2. Czy podane ułamki wyrażają ten sam stosunek wielkości:

? Przekreśl zbędne ułamki.

Zadanie 2

1. Co jest większe: ćwiartka ćwiartki czy połówka połówki, ćwiartka połówki czy połówka ćwiartki?

2. Największą rybą jest bardzo łagodny rekin wielorybi mierzący około 12metrów. Jaka będzie jego długość na rysunku w skali 1:400?

Zadanie 3

pensji pana X wynosi 400złotych, zaś
pensji pana Y wynosi 750złotych. Kto ma wyższą pensję? Wymień kolejne czynności, jakie wykonujesz w celu rozwiązania zadania.

Aspekt operatorowy ułamka.

Ułamek można traktować również jako złożenie dwóch funkcji liniowych. Tak więc ułamek
jest złożeniem funkcji:
(dzielenie wielkości na n równych części)oraz
(mnożenie otrzymanej części przez dowolną liczbę całkowitą). Ułamek, np.
jest w tej konsekwencji traktowany jako złożenie funkcji:
i funkcji
, co na schemacie wygląda następująco:

W aspekcie operatorowym ułamek jest symbolem operacji będącej złożeniem dwóch funkcji, a mianowicie: dzielenia na tyle równych części, ile wskazuje mianownik, a następnie łączenia tylu takich części ile wskazuje licznik (krótko: dzielenia przez mianownik i mnożenia przez licznik).

Ważną cechą tego podejścia jest to, że zacierają się w nim różnice między ułamkami wzajemnie odwrotnymi.

Przedstawię to na przykładzie ułamka
i
, wykonując odpowiednie operacje na prostokątnym pasku.

Ułamki
i
wymagają analogicznych operacji (czynności, które należy wykonać przy rozwiązywaniu zadania).

Zadania prowokujące czynności konkretne.

Zadanie 1

Materiał: klocki lub paski z kartonu - kolorowe liczby.

Zstąp klocek granatowy trzema równymi częściami w sumie dającymi klocek granatowy (wagoniki pociągu). Ułóż pociągi:

1. Z dwóch wagoników

2. Z pięciu wagoników

Jakim ułamkiem opiszesz powstanie pierwszego pociągu, a jakim - drugiego?

Zadanie 2

Opowiedz , jak odmierzysz
wstążki. Wymień kolejne czynności.

Zadanie 3

Materiał: paski papieru, nożyczki.

Pewien pasek podzielono na cztery równe części. Z trzech takich części ułożono „pociąg”. Na ile równych części należałoby rozciąć taki sam pasek, by pociąg ułożony z trzech części był krótszy (dłuższy) od poprzedniego?

Zadania prowokujące czynności wyobrażone.

Zadanie 1

Opisz sposób przejścia od paska A do paska C. Wstaw nad strzałkami odpowiednio:

Zadanie 2

Wymień kolejne operacje, które wykonasz, aby obliczyć, jaką część doby stanowią 3 godziny. Zapisz te operacje na schemacie strzałkowym. Sprawdź swoje rozwiązanie.

Zadanie 3

Na schemacie strzałkowym oblicz:

1. jaką częścią metra jest 20cm,

2. jakim ułamkiem z 10 złotych jest 2 złote,

3. ile centymetrów stanowi
   metra.

Zadania prowokujące czynności abstrakcyjne.

Zadanie 1

Zapisz symbolicznie i wykonaj działania odpowiadające czynnością obliczania ułamka z danej liczby i mnożenia ułamka przez liczbę.

Zadanie 2

Oblicz:
Opowiedz jakie czynności trzeba byłoby wykonać zgodnie ze schematem strzałkowym. Co jest łatwiejsze?

Zadanie 3

Porównaj ułamki o równych licznikach, w miejsce kropek wpisz odpowiednie znaki:<, >. Uzasadnij odpowiedź.

Ułamek jako wynik dzielenia

Ułamek
całości możemy otrzymać dwoma sposobami:

1. dzielimy jedną całość na cztery równe części i bierzmy trzy takie części,

2. dzielimy trzy całości na cztery równe części i bierzemy tylko jedną z tych części.

W pierwszym przypadku dzielimy tylko jedną całość, a w drugim aż trzy całości. Ułamek
w drugim przypadku jest wynikiem dzielenia dwóch liczb całkowitych:
. W analogiczny sposób można otrzymać każdy ułamek. W tym aspekcie główny nacisk kładziemy na znaczenie symbolu i jego związek ze znanymi działaniami. Ułamki rozszerzają możliwość wykonywania działań. Dotychczas dzielenie liczby 4 przez 9 nie było wykonalne dla uczniów, teraz będzie i jako wynik otrzymamy ułamek
.

Aby zarysować plan postępowania uświadamiającego ten aspekt pojęcia ułamka metodą czynnościową, proponuję trzy poziomy zadań

Zadania prowokujące czynności konkretne.

Materiały: prostokąty z kartonu i nożyczki.

Zadanie 1

Dzieląc prostokąty, zilustruj sposób sprawiedliwego podziału 3 czekolad pomiędzy czworo dzieci. Przedstaw dwa sposoby rozwiązania.

Zadanie2

Składając odpowiednie części prostokąta sprawdź, ile czekolad należałoby podzielić między czworo dzieci, by każde dostało 3 ćwiartki.

Zadanie3

Opisz słownie każdy ze sposobów podziału, jakiego dokonałeś w zadaniu 1. Który ze sposobów jest łatwiejszy?

Zadania prowokujące czynności wyobrażone.

Zadanie1

Narysuj schematy podziału trzech czekolad między czworo dzieci.

Zadanie2

Każde dziecko dostało
czekolady. Ile czekolad podzielono między pięcioro dzieci, jeśli wszystkie czekolady rozdano? Wykonaj rysunek i uzupełnij zapis:

Zadanie 3

Podzielono dwie pomarańcze tak, że każda dziecko otrzymało
pomarańczy. Pomiędzy ile dzieci rozdzielono pomarańcze? Czy coś zostało?

Zadania prowokujące czynności abstrakcyjne.

Zadanie 1

Jakie działanie zastępuje kreska ułamkowa?

Zadanie 2

Zapisz ułamek
jako wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych. Podaj pięć przykładów.

Zadanie 3

Zapisz za pomocą dzielenia i ułóż treść do zadania:

:

Opisz jak je będziesz rozwiązywał.

B

A

D

C

a

b

(Rys. 5b)

(Rys. 5a)

x

:5

·2

•

•

•

x

f

g

•

•

•

g•f

(Rys. 6)

·5

:5

·2

:2

A

B

C

---