01 Momenty bezwładności figór płaskich

Momentem bezwładności Iz figury płaskiej względem osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów elementarnych pul powierzchni dF przez kwadrat odległości środków ciężkości tych pul od osi z.     [1] Zadanie 1 Obliczyć momenty bezwładności: prostokąta, kwadratu, trójkąta oraz okręgu. Rys. 1. Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności prostokąta względem jego środka ciężkości.     [2] Podstawiając do wzoru [2] za b i h oznaczenie długości boku kwadratu a otrzymujemy wzór na moment bezwładności kwadratu względem środka ciężkości:     [3] Rys. 2. Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności trójkąta względem jego środka ciężkości. Zależność by od h oraz b.     [4] i moment bezwładności:     [5] Rys. 3. Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności okręgu względem jego środka ciężkości. Zależność y od r i kąta alfa:     [6] oraz by od r i kąta alfa:     [7] Moment bezwładności okręgu: [8] Całkę z równania [8] policzymy oddzielnie jako nieoznaczoną: [9] i ostatecznie rozwiązania całki oznaczonej z równania [8]. [10] Zadanie 2 Wyznaczyć wzór na moment bezwładności półokręgu względem jego środka ciężkości stosując twierdzenie Steinera. Rys. 4. Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu bezwładności półokręgu względem jego "podstawy". Jak widać, najpierw obliczymy sobie moment bezwładności względem "podstawy" półokręgu, a następnie zastosujemy wcześniej już wspomniane twierdzenie Steinera. Moment bezwładności półokręgu liczy się tak samo jak dla okręgu, jedynie przedział całkowania zmienia się z: na Tak więc dla osi x moment bezwładności względem podstawy okręgu będzie:     [11] Pozostaje zapoznanie się z twierdzeniem Steinera, dzięki któremu w łatwy sposób można wyprowadzić wzór na moment bezwładności naszego półokręgu względem jego środka ciężkości. Zanim jednak to nastąpi, przypomnijmy sobie wzór [19] z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości na środek ciężkości półokręgu, który wyprowadzony został w zadaniu 3. Moment bezwładności dowolnej figury płaskiej jest równy sumie momentów bezwładności elementarnych wycinków tej figury względem ich własnych środków ciężkości i iloczynowi pola powierzchni tych wycinków i kwadratu odległości środka ciężkości całej figury od środka ciężkości elementarnego wycinka. W naszym przypadku trzeba postąpić odwrotnie od momentu bezwładności obliczonego w równaniu [11] odjąć należy obliczone pole powierzchni naszego półokręgu razy znana już odległość od środka podniesiona do kwadratu. [12] Względem osi y moment bezwładności jest równy połowie momentu bezwładności całego okręgu:     [13] Zadanie 3 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 7 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 7. [14] Zadanie 4 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 8 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona w wcześniej już wspomnianym zadaniu 8. [15] Gdyby komuś przyszło do głowy podstawić za yc wzór [35] to powinien otrzymać taki oto ładny wzór ogólny:     [16] Zadanie 5 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 9 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 9. [17] Zadanie 6 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 10 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X i Y przechodzącej przez środek ciężkości tej bryły, którego odległość od podstawy i lewego boku została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 10. Obliczyć moment dewiacji oraz maksymalny i minimalny moment bezwładności.     [18]     [19] Moment dewiacji oblicza się z następującego wzoru:     [20] Czyli moment dewiacji obliczyć trzeba w następujący sposób:     [21] Całka z równania [21] dotyczy trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości, ponieważ trójkąt ten nie jest ustawiony tak, że jego własny moment dewiacji równy jest 0 nie da się w prosty sposób (czyli mnożąc jego pole powierzchni razy odległość jego środka ciężkości od osi x i y) obliczyć momentu dewiacji Ixy. Rys. 5. Rysunek pomocniczy do wyznaczenia momentu dewiacji dowolnego trójkąta prostokątnego. Na podstawie rysunku 5 można napisać taki oto wzór ogólny na funkcję opisującą przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego:     [22] I w końcu wzór na moment dewiacji trójkąta prostokątnego Ixy:     [23] Rozpisanie i wyprowadzenie jest dość żmudne, i nie będę się już tutaj o tym rozpisywał, podam tylko rozwiązanie które jest następujące:     [24] Prawda, że piękny. Teraz obliczyć należy współrzędne punktów trójkątnej części figury płaskiej z zadania 10 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości:     [25]     [26]     [27]     [28] Ostatecznie więc, podstawiając do wzoru [24] uzyskujemy moment bezwładności: [29] To jeszcze nie koniec, obliczony moment bezwładności [29] trzeba podstawić do równania [21] w następujący sposób:     [30] A teraz wzory na momenty bezwładność względem osi, które dają najmniejszy i największy moment bezwładności:     [31]     [32] Tajemniczy kąt alfa należy wyliczyć najsamprzód z następującej zależności:     [33] Wyliczenie kąta alfa:     [34] Pozostało obliczenie momentów bezwładności IU oraz IV:     [35]     [36] Zadanie 7 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 11 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 11.     [37] Zadanie 8 Obliczyć moment bezwładności figury płaskiej z zadania 12 z działu Mechanika techniczna:Statyka:Wyznaczanie środków ciężkości względem osi X przechodzącej przez środek ciężkości, którego odległość od podstawy została obliczona we wcześniej już wspomnianym zadaniu 12. [

---