Podstawy automatyki 2003

Prowadzący przedmiot: prof. n. dr hab. inż. Roman Górecki

Rozmiar i wymiar zajęć

wykład: 30 godzin - semestr III

laboratorium: 45 godzin - semestr IV

egzamin - po semestrze IV

Program wykładu:

1 Wprowadzenie: zadania automatyki.

2 Pojęcia podstawowe: obiekt, sterowanie, regulacja, regulator, sygnał.

3 Struktury układów: otwarty, zamknięty, z kompensacją zakłóceń..

4 Schematy blokowe i ich przekształcanie.

5 Modele matematyczne obiektów: deterministyczny, liniowy i nieliniowy [ łączenie członów nieliniowych, linearyzacja] ; stacjonarny i niestacjonarny, skalarny i wielowymiarowy, opis za pomocą równań różniczkowych, w ujęciu współrzędnych stanu, transmitancja operatorowa, transmitancja widmowa.

6 Algorytmy regulatorów

7 Stabilność; kryteria stabilności : Hurwitza, Routa, Michajłowa, Nyquista

8 Zapas stabilności, linie pierwiastkowe i korekcja charakterystyk częstotliwościowych.

9 Błąd statyczny i dynamiczny

10 Kryteria jakości regulacji : kryteria uniwersalne, całkowe i empiryczne.

11 Dynamika układów nieliniowych. Stabilność i metody oceny stabilności obiektów nieliniowych: I Lapunowa, II Lapunowa, Kudrewicza Cypkina, płaszczyzny fazowej, funkcji opisującej.

12 Regulacja impulsowa. Równania różnicowe i transformata „Z”. Stabilność układów impulsowych.

Laboratorium: Badania symulacyjne podstawowych obiektów, regulatorów i układów automatycznej regulacji przy użyciu środowiska MATLAB/SIMULINK.

Spis treści

1. Sterowanie procesem technologicznym.

Typowym zadaniem automatyki przemysłowej jest nadzór i poprawne prowadzenie procesów technologicznych bez bezpośredniego udziału człowieka.

Można powiedzieć, że automatyka to istotny etap na drodze rozwoju ludzkości. Poprzedził go etap mechanizacji, który przez wprowadzenie maszyn i przetwarzanie energii uwolnił człowieka od ciężkiej pracy fizycznej. Automatyka powszechnie zastępuje człowieka w prostych, ale i coraz bardziej skomplikowanych procesach myślowych, na co pozwala szybki rozwój informatyki.

1. Podstawowe pojęcia i założenia.

Miejsce, maszynę, urządzenie, w którym przebiega proces technologiczny nazywamy obiektem technologicznym. Obiektem w znaczeniu szerszym określamy wydzieloną część środowiska. Świadome, celowe oddziaływanie na obiekt nazywamy sterowaniem. Aby je określić i wypracować trzeba dysponować odpowiednimi urządzeniami - elementami automatyki, które odpowiednio przetworzą posiadaną informację i sterując strumieniem energii dostarczanej do obiektu będą w sposób pożądany wpływać na jego stan. Nośnikami informacji są fizyczne wielkości zwane sygnałami. Informacje mogą być kodowane w formie analogowej, lub cyfrowej.

Proces technologiczny jako obiekt regulacji

Na proces technologiczny wpływa szereg czynników zewnętrznych zwanych wielkościami wejściowymi - rysunek 1.1.

Rysunek 1.1.

Stan obiektu można opisać pewną ilością zmiennych zwanych współrzędnymi stanu
. Wektor stanu
będzie miał wymiar równy ilości uwzględnianych w obiekcie magazynów energii . Obiekt wpływa na otoczenie poprzez sygnały wyjściowe, z których tylko część
będzie mogła być przez nas wykorzystywana. Do sterowania obiektem będziemy mogli użyć tylko część sygnałów wejściowych
. Pozostałe mają wpływ niekontrolowany i nazywamy je zakłóceniami
. Zmiana stanu obiektu zależy od jego stanu w danej chwili i sterowania, związek ten opisujemy tzw. równaniem stanu:

(1.1a)

Uzupełniamy go równaniem wyjść:

(1.1b)

Aby równania o powyższej postaci mogły reprezentować konkretny obiekt, musimy mieć możliwość przyjęcia kilku bardzo istotnych założeń.:

1. W obiekcie mają miejsce opisane równaniami związki przyczynowo skutkowe.

2. Obiekt może być traktowany jako liniowy - można go opisać liniowymi równaniami różniczkowymi ( obowiązuje zasada superpozycji).

3. Obiekt może być traktowany jako stacjonarny ( parametry obiektu nie są funkcjami czasu).

4. Możemy przyjąć, że w obiekcie mamy (uwzględnimy)
magazynów energii.

Każde z tych założeń spełnione jest ze skończoną dokładnością i obowiązuje w ograniczonym zakresie. Model nigdy nie jest tożsamy z rzeczywistym obiektem. Aby był użyteczny powinien być jak najprostszy i reprezentować obiekt z zadawalającą dokładnością.

Sterowanie takim obiektem wymaga wypracowywania wektora sterowań
. Określa się go na podstawie rozpoznania aktualnego stanu obiektu i znajomości stanu pożądanego. Takie całościowe podejście prowadzi do bardzo skomplikowanej i drogiej realizacji odpowiedniego układu. Aby te nakłady były opłacalne waga realizowanego procesu musi to uzasadniać, co ma miejsce w nielicznych przypadkach. W praktyce przemysłowej wprowadzamy dalsze założenia upraszczające.

Rezygnuje się z określania wzorcowego stanu obiektu, a określa się wzorzec sygnałów wyjściowych
, następnie do każdej wielkości wyjściowej
wektora
dobieramy odpowiednią składową
wektora sterowań
, to jest taką na którą dany sygnał wyjściowy jest najczulszy. Sytuację ilustruje rysunek 1.2. Po tym podziale każdy z podobiektów ma charakter skalarny i zajmujemy się każdym z nich osobno. Tylko w nielicznych przypadkach gdy powiązania skrośne są bardzo silne pozostawiamy podobiekt wielowymiarowy. Powyższe uproszczenia prowadzą do tego, że poza wykorzystywanym w danym obiekcie sterowaniem
pozostałe powiększają grono działających nań zakłóceń.

Rysunek 1.2.

Kolejnym założeniem jest przyjęcie zastępczego zakłócenia, jako reprezentanta wszystkich działających na dany obiekt i założenie, że ma ono takie samo działanie jak sygnał sterujący, co dla skalarnego obiektu zilustrowano na rysunku 1.3.

Rysunek 1.3.

Zależność wielkości wyjściowej od sterowania w obiekcie o jednym wejściu i jednym wyjściu możemy opisać jednym równaniem różniczkowym n-tego rzędu.:

(1.2)

Formalnie prawa strona równania powinna uwzględniać wspólne działanie sterowania i zakłócenia:
, ale skoro nie znamy sygnału
, to nieistotne jest jaki założymy sposób jego obróbki. Jednak z przyjętego sposobu reprezentacji zakłóceń wynika założenie, że dobierając odpowiednio poziom sygnału sterującego da się skompensować wpływ zakłócenia.

2. Sterowanie

Mamy trzy podstawowe możliwości prowadzenia procesu technologicznego, czyli sposobów wyznaczania pożądanego sterowania
:

1. sterowanie w układzie otwartym.

2. sterowanie operatorskie, czyli powierzamy sterowanie człowiekowi.

3. zamknięty układ sterowania - układ automatycznej regulacji - UAR

O wyborze sposobu sterowania powinny decydować względy ekonomiczne. Na wybór ten mają wpływ cechy obiektu, intensywność i charakter zakłóceń i wymagana jakość odnośnie oczekiwanych efektów.

Sterowanie w układzie otwartym zastosujemy jeśli da się z wystarczającą dokładnością sterować wielkością wyjściową z obiektu bez konieczności jej bieżącej kontroli. Oznacza to, że musimy dysponować dostatecznie dokładnym modelem statycznym obiektu (może być nieliniowy), a wpływ zakłóceń jest pomijalnie mały. Przy spełnieniu tych warunków można się spodziewać, że będzie to najtańszy sposób prowadzenia procesu.

Na rysunku 1.4. przedstawiono schemat blokowy otwartego układu sterowania, z rozbiciem na bloki funkcjonalne. W sterowniku na podstawie informacji o pożądanej wielkości sygnału wyjściowego z obiektu
zawartej w sygnale
obliczana jest odpowiednia pozycja nastawnika, którą ustawia organ wykonawczy. Nastawnik ustawia wielkość strumienia energii płynącej do, lub z obiektu co zmienia jego stan.

Rysunek 1.4

Sterowanie w układzie otwartym jest często zadaniem tak prostym, że przestaje być obiektem zainteresowań automatyków, lecz czasem są to układy bardzo rozbudowane i skomplikowane. Ma to miejsce wówczas gdy nie potrafimy zamknąć pomiarowo układu, a obiekt traktujemy jako wielowymiarowy. (np. 1 Program zmiany świateł na skrzyżowaniu realizowany jest bez bieżącej kontroli właściwej jego realizacji. np. 2 Realizacja przestrzennej trajektorii ruchu narzędzia obrabiającego powierzchnię łopatki śruby okrętowej.)

Sterowanie operatorskie zastosujemy jeśli nie będziemy dysponować dostatecznie prostym i wystarczająco dokładnym modelem matematycznym obiektu; obiekt podlega silnym różnorodnym zakłóceniom; mamy poważne trudności w pomiarowym oprzyrządowaniu obiektu.

Schemat układu przedstawiono na rysunku 1.5. Zmiana wielkości wzorcowej i wpływ zakłóceń na obiekt zmuszają do interwencji. Operator odczytuje z miernika aktualny poziom sygnału wyjściowego z obiektu
i porównuje go z wartością wzorcową
. Na tej podstawie podejmuje decyzję o właściwej pozycji nastawnika, którą ustawia ręcznie lub korzystając z organu wykonawczego.

Rysunek 1.5.

Inteligencja operatora, uzyskiwane doświadczenie, doskonałość zmysłów, powodują że w wielu przypadkach jest to najlepszy sposób sterowania. (np. prowadzenie samochodu).

Układ automatycznej regulacji może działać skutecznie pomimo wpływu zakłóceń. Operatora zastępuje regulator, jak na rysunku 1.6.

Rysunek 1.6.

Zadaniem regulatora jest minimalizacja błędu
.W tym celu w myśl określonego algorytmu, na podstawie dostarczonej z zewnątrz informacji o wielkości wzorcowej i uzyskanej torem sprzężenia zwrotnego informacji o aktualnym stanie wielkości regulowanej, regulator oblicza właściwy poziom sygnału sterującego. Na podstawie tej informacji organ wykonawczy ustawia nastawnik. Czujnik będący w bezpośrednim kontakcie z obiektem pobiera i przetwarza informację o wielkości regulowanej na postać wygodną do obróbki w regulatorze. Zadajnik otrzymaną z zewnątrz (zakodowaną na różne sposoby) informację o wielkości wzorcowej
przetwarza na postać identyczną do dostarczonej z czujnika. Zaznaczony kółeczkiem sumator oblicza błąd regulacji
, który jest podstawą operacji logicznych realizowanych w korektorze. Czasami w układzie, w celu informatycznego połączenia sąsiednich bloków stosuje się przetworniki zmieniające typ nośnika informacji, lub tylko sposób jej zakodowania. Spotyka się układy bardzo rozbudowane, ale i bardzo proste, które dzięki temu stosowane są na skalę masową.( np. regulacja temperatury w lodówce).

Kompensacja jest to jeszcze jeden sposób zwalczania wpływu zakłóceń.

Jeżeli zakłócenie jest dostępne pomiarowo i znamy jego wpływ na wielkość wyjściową, to można wówczas zbudować tor jego kompensacji, jak na rysunku 1.7. Kompensacją uzyskamy zniwelowanie zmian statycznych, ale jeżeli uda się zrównoważyć obydwa tory wpływu zakłócenia również pod kątem dynamicznym to dane zakłócenie zupełnie nie ujawni się w sygnale wyjściowym. Tego efektu nie da się uzyskać na bazie sprzężenia zwrotnego. Kompensacja może być stosowany samodzielnie (np. czujnik skierowany w niebo zapala o zmroku światło oświetlające jakiś teren zapewniając cały czas warunek dobrej widzialności), lub dzięki eliminacji jedynego istotnego zakłócenia jakiemu podlega obiekt, pozwoli na realizację sterowania w układzie otwartym, albo usprawni działanie układu regulacji. (np. W łazienkowym piecu gazowym uzyskujemy wymaganą temperaturę wody w układzie otwartym. Zmianie intensywności strumienia przepływającej wody towarzyszy zwiększenie strumienia spalanego gazu co ma na celu ograniczenie wpływu zmiany wielkości strumienia przepływającej wody na jej temperaturę.)

Rysunek 1.7.

2. Układ automatycznej regulacji UAR

Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem zainteresowań automatyków.

Opracowano pewne klasyczne algorytmy regulacji, które znalazły szerokie zastosowanie. Do doboru regulatora i jego dostrojenia potrzebna jest znajomość cech statycznych i dynamicznych obiektu, oraz kryterium pozwalające oceniać i porównywać uzyskane wyniki. Istotny jest również charakter działających na układ zakłóceń.

Błąd regulacji powstaje w wyniku działania zakłóceń wpływających na obiekt, lub zmian wielkości wzorcowej. Reakcja układu zależy od miejsca ingerencji zaburzenia i dla optymalnego zwalczanie błędu w poszczególnych przypadkach regulator powinien być inaczej dostrojony. Uwzględniając ten fakt rozróżniamy trzy typy układów:

1. Układ stabilizacyjny, w którym wielkość
jest stała. Głównym zadaniem układu jest zwalczanie wpływu zakłóceń działających na obiekt.

2. Układ nadążny (śledzący)
- jest zmienna. Głównym zadaniem układu jest wymuszanie nadążania wielkości wyjściowej za nieznanymi wcześniej zmianami wzorca.

3 Układ programowy, w którym błędy regulacji mogą wynikać ze zmienności
i
, ale zmienność
jest znaną funkcją czasu i fakt ten można wykorzystać do poprawy jakości regulacji. (Można wprowadzić do regulatora zmodyfikowany sygnał wzorcowy, uwzględniający wynikające z dynamiki układu opóźnienie w formowaniu pożądanej wielkości wyjściowej.).

Istnieją układy regulacji nie objęte powyższym podziałem. Realizują one inaczej postawione zadania, co wynika z niemożności przyjęcia przytoczonych założeń, nazywamy je układami specjalnymi (niekonwencjonalnymi, ekstremalnymi).

Nawet przy spełnieniu omówionych założeń w przypadku wysokich wymagań jakościowych i obiektów zbyt trudnych do regulacji, ze względu na dynamikę, popularne algorytmy regulacji mogą nie dać zadawalających wyników. Stosowane są wówczas, na ogół realizowane cyfrowo, algorytmy specjalne. W układach ze sprzężeniem zwrotnym bardzo istotne jest opóźnienie występujące w dopływie do regulatora informacji o reakcji obiektu na zmiany sterowania. Opóźnienia te powodują, że regulator wypracowuje korektę sterowania na podstawie zdezaktualizowanej informacji. Prowadzi to do wolnego zaniku błędu regulacji, a w skrajnym przypadku do teoretycznie nieograniczonego wzrostu błędu, co określamy jako utratę stabilności przez układ regulacji.

1. Cechy statyczne elementów UAR

Linearyzacja

Względy praktyczne (możliwość korzystania z zasady superpozycji) powodują, że jeżeli jest to tylko możliwe posługujemy się modelami liniowymi. Założenie liniowości zawsze obowiązuje z pewnymi ograniczeniami. Opis cech statycznych (związków niezależnych od czasu) obiektów, czyli matematyczny model ujmujący związki pomiędzy interesującymi nas wielkościami w stanach ustalonych prowadzi się z większą dokładnością niż cech dynamicznych. Statyczne błędy regulacji nie przekraczają kilku procent, natomiast błędy dynamiczne sięgają 100% ale mają charakter przejściowy. Przy opisie cech dynamicznych możemy sobie pozwolić na większa tolerancję i staramy się zlinearyzować występujące zależności. Technologia wymaga aby na etapie doboru nominalnego punktu pracy obiektu uwzględniać nieliniowy charakter zależności statycznych
, które ewentualnie później będzie można zlinearyzować.

Rozróżniamy wiele typów nieliniowości charakterystyk statycznych i często nie będzie ich można zlinearyzować. Dotyczy to wystąpienia w interesującym nas zakresie charakterystyki nieciągłości funkcji, niejednoznaczności, nieciągłości pierwszej pochodnej, jak w przykładach na rysunku 2.1. Znacznie lepiej nadają się do linearyzacji funkcje „gładkie”, których przykłady przedstawiono na rysunku 2.2.

Stosowane są dwie metody linearyzacji. Jeżeli tak jak w układzie stabilizacyjnym, istnieje punkt pracy od którego stan nie powinien się znacznie oddalać to stosujemy metodę stycznej. Jeżeli natomiast przewidujemy pracę w pewnym przedziale zmienności zmiennej niezależnej to stosujemy metodę siecznej.

Metoda stycznej polega na przybliżeniu funkcji nieliniowej linią prostą styczną do niej w przyjętym punkcie nominalnym, jak przedstawiono na rysunku 2.3. Jeżeli zależność nieliniowa podana jest w formie analitycznej to stosujemy rozwinięcie funkcji w szereg Taylora wokół przyjętego punktu pracy i uwzględniamy tylko dwa pierwsze wyrazy.:

(2.1)

.

Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu styczności
, przez podstawienie:
;
. Pozbędziemy się w ten sposób wyrazu wolnego:

(2.2)

Metoda siecznej polega na zastąpieniu krzywej w zadanym przedziale prostą przecinającą krzywą w wybranych dwóch punktach. Rysunek 2.4. (lepsze przybliżenie można uzyskać stosując metodę minimum całki z kwadratu odchyłki między krzywą, a przyjętą prostą).

Przy funkcji podanej analitycznie mamy:

, gdzie

Po przesunięciu układu współrzędnych do punktu
, przez podstawienie:
;
pozbędziemy się wyrazu wolnego.:

(2.3)

Linearyzacja elementów UAR.

Jeżeli w UAR występują człony nieliniowe to chcąc je zlinearyzować musimy na wstępie określić punkty (przedziały) ich nominalnej pracy. Wymaga to określenia nieliniowych zależności pomiędzy zmiennymi układu. W układzie mogą wystąpić trzy podstawowe sytuacje połączenia bloków nieliniowych: szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym. Nieliniowe zależności statyczne między sygnałami najczęściej podane są w formie graficznej i wypadkowe charakterystyki zastępcze wyznacza się graficznie.

Połączenie szeregowe. W połączeniu jak na rysunku 2.5a dysponujemy charakterystykami
i
. Charakterystyki te możemy umieścić na wspólnym wykresie i kolejno dla poszczególnych wartości
wyznaczać punkty charakterystyki wypadkowej jak na rysunku 2.5b. zgodnie z relacją:

(2.4)

Połączenie równoległe. Wspólny sygnał po przejściu przez dwa bloki jest w zależności od znaków stojących przy sumatorze dodawany lub odejmowany. Operację tę ilustruje rysunek 2.6 zgodnie z relacją:

(2.5)

Połączenie bloków ze sprzężeniem zwrotnym. Szukamy funkcji
zgodnie z rysunkiem 2.7a. Wielość sygnałów po stronie
powoduje, że łatwiej jest wyznaczyć funkcje odwrotną
. W ten sposób możemy przyjmując kolejne wartości
wyznaczyć odpowiadające im wartości

(2.6)

po czym uzyskaną zależność trzeba znów odwrócić. Zamiast dwukrotnego odwracania funkcji wystarczy na czas operacji zmienić role osi odciętych i rzędnych i przyjmując kolejne wartości
odczytać każdorazowo wartość
z funkcji
i
z krzywej
. Czyli tylko funkcję
trzeba odwrócić. Zauważmy, że ze względu na typ i jednostki sygnału
i
, w podanym układzie współrzędnych możemy narysować tą zależność tylko jako odwróconą.

Aby układ mógł działać poprawnie uzyskane zależności muszą być jednoznaczne.

Mając w układzie zadaną konkretną wartość wejściową, korzystając z przytoczonych przekształceń, wyznaczamy odpowiadającą jej wartość wielkości wyjściowej i punkty pracy wszystkich bloków. Następnie charakterystyki poszczególnych bloków linearyzujemy metodą stycznych wokół punktów pracy. W przypadku przewidywanej zmienności wielkości wejściowej w pewnym przedziale, stosujemy metodę siecznych.

2.2. Modele dynamiki.

Potrzeba szybkiej minimalizacji pojawiających się na skutek działania zakłóceń błędów regulacji wymaga odpowiedniego dobrania i dostrojenia pod kątem dynamicznym elementów automatyki. W tym celu musimy przede wszystkim określić dynamikę obiektu.

Istnieją dwa czynniki opóźniające stabilizację sygnału wyjściowego na nowym poziomie równowagi, po zmianie wartości wielkości wejściowej: opóźnienie transportowe (czas martwy) i bezwładność obiektów.

Opóźnienie transportowe spowodowane jest skończoną prędkością nośników informacji. Przy szybkim nośniku informacji i krótkich trasach jej transportu opóźnienie transportowe może być niezauważalnie małe, ale nawet tak szybki nośnik informacji jakim jest światło w skali kosmicznej daje równie kosmiczne opóźnienia. W zadaniach technologicznych opóźnienia o charakterze transportowym mogą być na tyle duże, że uniemożliwią sprawne działanie UAR.

Duże opóźnienia mają miejsce gdy dotyczą transportu masy ( np. ciecz o zmienianym składzie

chemicznym transportowana jest na znaczną odległość). Opóźnienia utrudniające, lub uniemożliwiające działanie UAR wynikają często z trudności w szybkim pozyskaniu informacji o zmianach wielkości regulowanej.

Opóźnienie transportowe wywołuje przesunięcie sygnału w czasie, które zapisujemy:
i wynosi
; gdzie:
jest długością drogi jaką pokonuje sygnał z prędkością
.

Bezwładność wynika z faktu, że nowy stan równowagi wymaga zmiany poziomu napełnienia znajdujących się w obiekcie magazynów energii. Prędkość przepływu energii pomiędzy magazynami jest ograniczana przez opory i zależy na ogół od różnicy stanu ich napełnienia, więc w trakcie wyrównywania poziomów prędkość ta ulega zwolnieniu.

Jeżeli w obiekcie występują tylko skupione magazyny energii i obowiązują wcześniej przyjęte założenia liniowości i stacjonarności obiektu to zależność wielkości wyjściowej od sterowania możemy opisać jednym równaniem różniczkowym n-tego rzędu. Gdzie
jest równe ilości uwzględnianych w obiekcie magazynów energii.:

(2.7)

Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym układzie
. Opis układu w którym
choć często przyjmowany, jest już tylko modelowym przybliżeniem rzeczywistości bo zakłada równoczesność reakcji z pobudzeniem. Postać lewej strony równania wynika z budowy obiektu, a prawej zależy od miejsca i sposobu sterowania obiektem i przyjęcia zgodnie z naszymi zainteresowaniami określonego sygnału wyjściowego.

W układach automatyki występuje z reguły większa ilość członów dynamicznych w połączeniach: szeregowych, równoległych i w pętlach sprzężenia zwrotnego. Poszczególne sygnały podlegają w nich obróbce, z tego względu bardzo istotną jest możliwość algebraizacji równań różniczkowych jakie daje przekształcenie Laplace`a. [Rozdziały 4.1, 4.6].

(2.8)

Równanie (2.7) przy założeniu zerowych warunków początkowych, (co w większości zadań rozwiązywanych w badaniu UAR nie jest istotnym ograniczeniem), po zastosowaniu przekształcenia Laplace`a przyjmie postać:

(2.9)

Wprowadza się pojęcie transmitancji, która w dziedzinie zmiennej
opisuje obróbkę sygnału w danym obiekcie.

(2.10)

czyli:

(2.11) Transmitancja obiektu reprezentującego tylko opóźnienie transportowe
ma postać:

. (1.12) W układach liniowych można dokonywać zmian konfiguracji układu blokowego, przestrzegając jedynie aby sygnał na swojej drodze pomiędzy wejściem, a interesującym nas wyjściem był tak samo obrobiony. Z tego punktu widzenia nieistotna jest kolejność usytuowania poszczególnych bloków oraz to czy przez dany blok przechodzą równocześnie inne sygnały.

W UAR mogą wystąpić trzy elementarne połączenia członów: szeregowe, równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednie transmitancje zastępcze można łatwo wyznaczyć:

Szeregowe połączenie członów:

Rysunek 2.8.

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku 2.8. wyliczmy transmitancję wypadkową:

(2.13)

Zastępcza transmitancja szeregowo połączonych członów, równa jest iloczynowi transmitancji.

Równoległe połączenie członów:

Rysunek 2.9.

(2.14)

Zastępcza transmitancja równolegle połączonych członów, równa jest sumie transmitancji.

Połączenie członów w układzie ze sprzężeniem zwrotnym:

Rysunek 2.10.

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku 2.10 z sumatora wynika związek:

, stąd:

Ostatecznie otrzymujemy wzór na transmitancję zastępczą:

(2.15)

Każde przekształcenie schematu blokowego liniowego UAR da się sprowadzić do powyższych trzech przypadków elementarnych.

Korzystając z powyższych przekształceń UAR przedstawiony na rysunku 1.6 możemy przedstawić w zwięzłej formie, jak na rysunku 2.11, wyróżniając tylko dwa bloki. Obiekt reprezentuje część technologiczną układu, a regulator elementy automatyki. Zwraca się tu uwagę na dwa sygnały wejściowe
i
ingerujące w pracę układu i dwa wyjścia
i
. Sygnał
ma istotne znaczenie technologiczne, a sygnał błędu
wykorzystywany jest do oceny jakościowej pracy układu.

1. Modele dynamiki obiektów

Najprostszymi pod kątem dynamiki obiektami są konstrukcje, w których uwzględnia się tylko jeden magazyn energii. Interesujące nas związki można opisać równaniem różniczkowym pierwszego rzędu

, (2.16)

a w postaci opisującej cechy dynamiczne i statyczne przy pomocy oddzielnych parametrów

(2.17)

lub w formie transmitancji

(2.18)

Obiekty opisane powyższymi równaniami nazywamy inercyjnymi I-go rzędu.

W szczególnym przypadku gdy
mamy do czynienia z obiektem całkującym, o opisie

;
;
(2.19)

Przykłady obiektów całkujących przedstawiono na rysunku 2.12

Obiekty inercyjne I-go rzędu mogą mieć magazyny energii potencjalnej lub kinetycznej. Przedstawiono ich przykłady odpowiednio na rysunkach 2.13 i 2.14.

Obiekt inercyjne N-go rzędu posiada N niezależnych (mogących być w różnym stanie napełnienia) magazynów energii i można go opisać równaniem różniczkowym N-go rzędu. Można przyjąć, że obiekt np. II-go rzędu powstał z połączenia dwóch obiektów I-go rzędu. Istotny jest sposób połączenia, to czy ma miejsce oddziaływanie wsteczne, bo jeżeli go nie ma to tu można podzielić obiekt na dwa podobiekty i uzyskać prostszy sposób wyprowadzenia transmitancji obiektu przez zajęcie się najpierw osobno każdym z nich.

W sytuacji przedstawionej na rysunku 2.15 w obu przypadkach możemy zapisać formalne związki

(2.20)

ale tylko w przypadku a), w którym między pierwszą częścią i drugą nie ma oddziaływania wstecznego uzyskamy przez podział uproszczenie opisu. W przypadku b) w transmitancji obu członów wystąpią parametry obu części obiektu i podział na podobiekty na ogół nie ma sensu.

a)

(2.21)

2. 
   (2.22)

W układach automatyki podział na bloki dokonuje się w miejscach, w których możemy założyć brak oddziaływania wstecznego. Wykrycie tych miejsc jest istotne, a jest to związane z przemianami energetycznymi lub dopływem energii z zewnątrz. W elektronice stosowane są tym celu wzmacniacze - separatory, lub łącza fotodiodowe.

W sytuacji pokazanej na rysunku 2.15a korzysta się z dodatkowej energii, która nie jest uwzględniona w opisach. Napór cieczy na opory odpowiada wysokościom napełnienia zbiorników, w których mamy inne poziomy odniesienia. Energię związaną z różnicą poziomów trzeba było dostarczyć do układu, a teraz spadająca cieć zamienia ją na ciepło.

Z punktu widzenia regulacji istotna jest możliwość wystąpienia w obiekcie oscylacji. Równanie charakterystyczne obiektu oscylacyjnego musi posiadać parę pierwiastków sprzężonych, a wic obiekt musi być co najmniej II-go rzędu, czyli posiadać najmniej dwa magazyny energii. Dodatkowo muszą to być magazyny energii różnej - kinetycznej i potencjalnej, a przepływ energii między nimi nie może być zbyt mocno tłumiony. Przykłady obiektów oscylacyjnych pokazano na rysunku 2.16 Transmitancję obiektów oscylacyjnych praktycznie jest przedstawiać w postaci

, (2.23)

w której poszczególne stałe opisują cechy obiektu: K - współczynnik proporcjonalności, ω₀ - pulsacja oscylacji własnych, ξ - względny współczynnik tłumienia. Obiekty przedstawione na rysunku 2.16 potraktowano jako autonomiczne - nie określono wejścia i wyjścia, zdeterminowany jest już jednak mianownik transmitancji, który można przedstawić jak w (2.23). Łatwo wyobrazić sobie możemy oscylacyjny przebieg stanów przejściowych przy starcie z niezerowych warunków początkowych.

Przykładem obiektu z czasem transportowym może być przedstawiony na rysunku 2.17 odcinek rurociągu, w którym do przepływającej cieczy dodajemy jakąś substancję chemiczną, a uzyskane stężenie mierzymy analizatorem umieszczonym w odległości L. Jeżeli ciecz przepływa z prędkością V to zakładając przepływ bez mieszania się poszczególnych warstw, ciecz o zmienionym składzie dotrze do analizatora po czasie
.

Czyste opóźnienie zdecydowanie utrudnia regulację. Obiekty inercyjne wyższych rzędów, dla celów doboru sposobu regulacji, przybliża się transmitancją obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z czasem martwym

(2.24)

Parametry: K₀, T, τ wyznaczamy na podstawie odpowiedzi obiektu na skok jednostkowy, rysując styczną do przebiegu w miejscu jego największej stromości (w punkcie przegięcia), jak pokazano na rysunku 2.18.

2.4 Algorytmy regulatorów.

Zadaniem regulatora jest minimalizacja błędu regulacji. Regulatory konwencjonalne wypracowują sygnał sterujący, czyli określają strumień energii kierowany do obiektu zgodnie z określonym algorytmem na podstawie informacji o błędzie, czyli różnicy pomiędzy wielkością wzorcową, a wielkością regulowaną:
. Im prostszy algorytm tym tańsza jest jego realizacja, ale i ograniczony zakres zastosowania. W powszechnym użyciu są regulatory realizujące algorytmy tylko kilku typów:

Regulator dwustawny (dwupołożeniowy) realizuje algorytm:

(2.25)

Sygnał sterujący przyjmuje tylko dwie wartości. Potrzebna do utrzymania pożądanego stanu obiektu energia dostarczana jest na dwóch poziomach związanych ze sterowaniami U₁ i U₂ . Nie dysponuje się możliwością ustawienia pożądanego poziomu energii do utrzymania stanu, w którym
. Dostarczenie właściwej ilości energii może być realizowane tylko jako wartość średnia określona czasem trwania na zmianę dwu jej poziomów. Wielkość regulowana będzie więc oscylować wokół wartości wzorcowej. Możemy liczyć jedynie na zerowanie się średniej wartości błędu, a zadawalającą jakość regulacji uzyskamy przy sterowaniu tylko obiektów łatwych (pod kątem dynamicznym) do regulacji. Takimi są z reguły obiekty cieplne.

Charakterystykę statyczną regulatora dwustawnego zgodną z algorytmem (2.25) przedstawiono na rysunku 2.19a. W rzeczywistości ze względu na skończoną czułość urządzeń, zmiana znaku błędu zostanie stwierdzona po przekroczeniu pewnego progu

i realna charakterystyka regulatora dwustawnego będzie miała histerezę, co przedstawiono na rysunku 2.19b.

Regulator trójstawny (trójpołożeniowy) realizuje algorytm:

(2.26)

W stosunku do regulatora dwustawnego został on uzupełniony o poziom nominalny
dzięki czemu w stanach bliskich znamionowemu, czyli przy małych zakłóceniach, sterowanie na tym poziomie będzie utrzymywać błąd bliski zeru. Jeżeli zmiana sytuacji zewnętrznej spowoduje wzrost błędu to po przekroczeniu poziomu
lub
dojdzie do korekty sterowania. Jeżeli czynnik zakłócający będzie miał charakter trwały dojdzie do regulacji o charakterze dwustawnym na przełączeniu w które spycha go zakłócenie. Ten trochę droższy regulator będzie godny polecenia do układów, w których będzie łatwe wprowadzenie poziomy nominalnego. Typowym zastosowaniem regulatora trójstawnego jest regulacja pozycji w układach napędowych, ponieważ na ogół, niezależnie od poziomu wartości wzorcowej w tych układach
.

Charakterystykę idealną regulatora trójstawnego ilustruje rysunek 2.20a. W regulatorze rzeczywistym przełączenia będą się odbywać z histerezą
, jak pokazano na rysunku 2.20b.

Regulatory wielostawne mają w stosunku do poprzednich algorytmów rozszerzoną ilość poziomów sygnałów sterujących o dodatkowe pozycje. Algorytm ten jest stosowany jako sposób na ominięcie trudności z uciągleniem sygnału sterującego spowodowanej nieliniowością obiektu (nastawnika) lub koniecznością przełączeń różnego typu urządzeń formujących sygnał sterujący. Przykładem sterowania obiektu sygnałem pięciostawnym może być pięć stanów zasilania silnika windy szybkobieżnej.

Idealną charakterystykę regulatora pięciostawnego przedstawiono na rysunku 2.21.

Regulator proporcjonalny P o algorytmie:

;
(2.27)

Ściślej biorąc:
, ale wzór ten ulega uproszczeniu jeżeli zmiany sterowania liczymy od poziomu nominalnego. Współczynnik proporcjonalności
możemy określić jako proporcję zmian
(mierzonych w stanach ustalonych). Charakterystykę statyczną regulatora proporcjonalnego ilustruje rysunek 2.22.

Mamy tu leprze niż poprzednio dopasowanie poziomu sygnału sterującego do zaistniałej sytuacji. Korekta sterowania jest proporcjonalna do zmierzonego błędu. W stanie nominalnym przy dobrze dobranym poziomie sterowania nominalnego błąd jest równy zero. Zakłócenie wywoła powstanie błędu, który jednak jest zdecydowanie ograniczany przez korektę sterowania. Z bilansu energetycznego wynika, że przy utrzymującym się zakłóceniu potrzebna jest korekta sterowania, a ta ma miejsce tylko przy istnieniu błędu. Im większe będzie wzmocnienie
tym błąd statyczny będzie mniejszy, ale nie będzie zerowy. Wzmocnienie nie może być dowolnie duże bo zbyt duże wzmocnienie wywoła silną reakcje dynamiczną regulatora, a ponieważ opóźnienia w torze sprzężenia zwrotnego dezaktualizują informację o stanie obiektu, to duże wzmocnienie spowoduje przedłużanie się stanów przejściowych, a w skrajnym przypadku może doprowadzić do utraty stabilności przez układ polegającej na nieograniczonym wzroście błędu.

Regulator całkujący I realizuje algorytm:

;
(2.28)

Łatwo się zorientować, że korekta sterowania będzie trwała nieustannie dopóki błąd nie zmaleje do zera, więc jeśli warunki zewnętrzne się ustalą to błąd po pewnym czasie powinien zaniknąć. Żeby tak się stało to układ musi dążyć do stanu równowagi, czyli musi być stabilny. Całkowanie zwiększa opóźnienia w przepływie sygnałów i zagrożenie niestabilnością jest większe niż przy algorytmie P.

Stałą
nazywamy jednostkowym czasem całkowania. Możemy ją określić jako czas, który mija od podania na regulator skoku wielkości wejściowej - błędu
(czyli zmiany
o jednostkę
) do momentu zmiany wielkości wyjściowej - sterowania
o jednostkę
. Stała
ma wymiar
/
Na rysunku 2.23 przedstawiono odpowiedź regulatora całkującego na skokową zmianę błędu i sposób wyznaczania stałej
.

Regulator proporcjonalno-całkujący PI łączy w sobie zalety algorytmu P i I, dzięki części P szybko reaguje na powstały błąd, a składnik I doprowadzi do całkowitego zaniku błędu w stanach ustalonych.

;
(2.29)

Stałą
nazywamy czasem zdwojenia, lub czasem izodromu (równej drogi). Określamy ją porównawczo jako czas, który mija od podania na regulator skoku wielkości wejściowej - błędu
do momentu, w którym odpowiedź części całkującej zrówna się z odpowiedzią części proporcjonalnej, której zmiana następuje bez opóźnienia.

Na rysunku 2.24 pokazano reakcję regulatora proporcjonalno-całkującego na zmianę jednostkową sygnału wejściowego i sposób wyznaczania stałej
.

Regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący PID realizuje algorytm:

;
(2.30)

Dzięki dodaniu działania różniczkującego, które przeciwstawia się szybkim zmianom błędu zwiększa się zapas stabilności i można wzmocnić korygujące działanie członów
i
.

Stałe:
i
definiujemy i mierzymy jak poprzednio, natomiast stałą czasową
- czas wyprzedzenia też określamy porównawczo, ale podajemy na wejście regulatora sygnał
i wyznaczamy czas zrównania się odpowiedzi członu proporcjonalnego z odpowiedzią członu różniczkującego. Jeżeli członu całkującego na czas doświadczenia nie można wyłączyć to musimy wyznaczyć odpowiednie styczne.

Idealnego różniczkowania nie da się zrealizować. Realna transmitancja regulatora PID ma postać:

(2.31)

- jest współczynnikiem określającym dobroć różniczkowania.

Na rysunku 2.25a przedstawiono odpowiedź regulatora PID na skok jednostkowy
(linią ciągłą). Na rysunku 2.25b odpowiedź na sygnał
odpowiedni do wyznaczania stałej
. Odpowiedź regulatora PID z rzeczywistym różniczkowaniem przedstawiono na rysunku 2.25a linią przerywaną.

Regulator proporcjonalno - różniczkujący PD rzeczywisty ma transmitancję:

(2.32)

Regulator PD zalecany jest w sytuacjach szybkich zmian sygnałów zakłócających. Część
zwiększa korekcyjne działanie regulatora w momencie narastania błędu i działa stabilizująco. Umożliwia to wzmocnienie korekcji proporcjonalnej, a część całkująca była by w takiej sytuacji co najmniej zbędna.

W analogowej realizacji regulatorów można ocenić w przybliżeniu, że im wybierzemy algorytm bardziej rozbudowany tym regulator będzie droższy. Do zadań łatwiejszych należy oczywiście użyć regulatorów tańszych.

Po aproksymacji cech dynamicznych obiektu do modelu o postaci:

,

stosunek
przyjmowany jest jako wskaźnik trudności regulacyjnych jakie stwarza dynamika obiektu. Szacuje się, że w zakresie
zadawalającą jakość regulacji uzyskamy stosując regulatory dwu i trój-stawne; w zakresie
odpowiednie będą regulatory grupy PID; przy
omówione regulatory nie dadzą zadawalających wyników i wymagane jest zastosowanie regulatorów specjalnych. Orientacyjne zakresy stosowania danego typu algorytmów przedstawiono na rysunku 2.26

3. Wymagania stawiane UAR

Podstawowym warunkiem przydatności UAR jest zapewnienie stabilności. Stabilność układu (obiektu) oznacza takie zachowanie, że przy podaniu na układ (obiekt) skończonych i od pewnego momentu stałych wartości wymuszeń układ (obiekt) dąży do stanu równowagi o skończonych wartościach wszystkich sygnałów określających ten stan. W rzeczywistym układzie utrata stabilności oznacza trwałą tendencję wchodzenia choćby jednego z sygnałów układu na ograniczenia. Sytuacja taka wystąpi nawet bez celowego pobudzenia układu, bo do inicjacji wystarczą występujące wszechobecne szumy. W układach (obiektach) liniowych (bez ograniczeń) amplituda sygnałów rośnie teoretycznie do nieskończoności, sytuacja taka zachodzi gdy nie wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (mianownika transmitancji przyrównanego do zera) mają ujemne części rzeczywiste. Istnieje możliwość oceny stabilności bez wyliczania pierwiastków równania charakterystycznego i problem sprawdzania stabilności wymaga głębszego naświetlenia.

Żądanie odpowiedniej jakości działania UAR formułuje się osobno dla statyki i dynamiki układu. Wymagania statyczne określają wielkość dopuszczalnych błędów statycznych, a odpowiednia dynamika ma zapewnić szybkie zanikanie błędów dynamicznych. Problem jest trudny, bo ma dać nam wytyczne do doboru algorytmu i ustawienia optymalnych nastaw strojeniowych regulatora. Stany nieustalone trwają teoretycznie nieskończenie długo, a związek nastaw z przyjmowanymi kryteriami oceny jakości działania UAR bywa skomplikowany. Dobór odpowiedniego kryterium jest również poważnym problemem.

1. Błąd statyczny.

Przez błąd statyczny rozumiemy wielkość błędu, który pozostaje po zaniku stanów dynamicznych. W układzie liniowym poziom danego sygnału jaki odpowiada nowemu stanowi równowagi, po zmianach wielkości wejściowych, możemy wyliczyć na podstawie znajomości transformat sygnałów wejściowych i transmitancji łączących te sygnały z interesującym nas wyjściem, na podstawie wzorów na wartości graniczne [dowód zamieszczono w rozdziale 4.6]:

(3.1)

Błąd statyczny wywołany określoną zmianą poziomu sygnału wzorcowego i zakłócenia ( w układzie jak na rysunku 2.11) możemy wyliczyć ze wzoru:

(3.2)

gdzie:

;
;

i
są odpowiednio transmitancjami: wymuszeniową i zakłóceniową układu dla wyjścia
, a wejść
i
.

Odnośnie ustalonych sygnałów wejściowych
możemy założyć, że ich zmiana miała charakter skoku jednostkowego i ich transformaty są odpowiednio równe:
;
.

Czyli:
(3.3)

Całkowitą likwidację błędu statycznego pochodzącego od danego wejścia uzyskamy gdy w liczniku danej transmitancji wystąpi mnożnik s, a to ma miejsce gdy w transmitancji sprzężenia zwrotnego, a nie w torze głównym wystąpi astatyzm, czyli całkowanie.

Przykład 3.1. Przyjmijmy, że w układzie jak na rysunku 2.11 regulator jest proporcjonalny,

a obiekt całkujący z inercją:
Odpowiednie transmitancje mają postać:
;
to
:

:

Składowe błędu statycznego wyniosą:

;

W układzie wystąpi uchyb ustalony pochodzący od zakłócenia. Całkowanie zlokalizowane w regulatorze (a nie w obiekcie) całkowicie wyeliminowało by błąd statyczny.

Przykład 3.2. Zauważmy, że sytuację w której sygnał wzorcowy będzie się zmieniał ze stałą prędkością też można traktować jako stan ustalony. Przyjmijmy

, wówczas w rozpatrywanym poprzednio układzie

i w stanie równowagi wystąpi błąd w nadążaniu sygnału wyjściowego za zmieniającym się wzorcem równy:

.

Likwidację tego błędu można osiągnąć przez wprowadzenie podwójnego całkowania w tor sprzężenia zwrotnego.

Zwróćmy uwagę na fakt, że w postaci transformaty sygnału
nie ma rozróżnienia czy jej dynamika została ukształtowana przez określony typ sygnału czy transmitancji.

2. Stabilność liniowych UAR (obiektów)

Rozpatrzmy charakter przebiegu w czasie odpowiedzi sygnału wyjściowego na skokową zmianę sygnału wejściowego. [Dokładne omówienie takiego przypadku zamieszczono w rozdziale 4.1.] Jeżeli w równaniu charakterystycznym nie ma pierwiastków zerowych i wielokrotnych to przebieg w czasie opisuje przejrzysty wzór:

(3.4)

gdzie:
- nowy stan równowagi;
- pierwiastki równania charakterystycznego;
- stałe.

Widać tu wyraźnie stały składnik odpowiadający nowemu stanowi równowagi i część dynamiczną złożoną z sumy składników zależnych od czasu. Łatwo się zorientować, że na to aby część dynamiczna z biegiem czasu zanikła wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego rzeczywiste muszą być ujemne, a zespolone muszą mieć ujemne części rzeczywiste. O układzie powiemy, że jest stabilny.

Wielokrotność pierwiastków nie zerowych wprowadza do sumy dodatkowe człony mnożone przez czas i jego potęgi typu
. Maksymalna potęga
- jest krotnością pierwiastka
. Przy czasie zmierzającym do nieskończoności, dla pierwiastków ujemnych składnik ten przedstawia symbol nieoznaczony, ale stosując regułę de l`Hospitala możemy się przekonać o jego zanikaniu. Pojedynczy pierwiastek zerowy wywoła stały dryf wielkości wyjściowej, ale dryf ten można zatrzymać powrotem do zera wymuszenia. O układzie mówimy, że jest na granicy stabilności. Przy krotności pierwiastka zerowego powrót do zera wymuszenia dryfu nie zatrzyma więc układ jest niestabilny.

Znajomość pierwiastków równania charakterystycznego pozwala jednoznacznie stwierdzić czy układ (obiekt) jest stabilny. Są możliwości oceny stabilności bez wyliczania pierwiastków równania charakterystycznego zwane kryteriami stabilności. Różnią się one między sobą metodyką postępowania i bazują na różnej formie wyjściowej wiedzy o układzie.

Dysponując równaniem charakterystycznym można sprawdzić stabilność układu bez wyliczania jego pierwiastków. Skorzystać w tym celu można z kryterium Hurwitza lub Routha.

Kryterium Hurwitza

Na to aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego

(3.5)

leżały w lewej półpłaszczyźnie zespolonej muszą być spełnione dwa warunki:

1. wszystkie współczynniki
dla
są różne od zera i są tego samego znaku,

2. wszystkie minory główne wyznacznika Hurwitza są dodatnie:

(3.6)

Wyznacznik Hurwitza
ma
wierszy i
kolumn

(3.7)

(W literaturze wyznacznik ten bywa przedstawiany w innych równoważnych postaciach.)

Minor skrajny
nie musi być sprawdzany ponieważ był już sprawdzony, a przy parzystym
znak minora
i też wynika z uprzednio sprawdzonych zależności.

Ułatwieniem w obliczeniach jest występowanie dużej ilości zer w wyznaczniku Hurwitza. Wadą metody są trudności w oszacowaniu wpływu zmian parametrów układu na niebezpieczeństwo utraty stabilności.

Przykład 3.3. Przykład na zastosowanie Kryterium Hurwitza. Sprawdźmy stabilność obiektu o równaniu charakterystycznym:

Warunek 1. jest spełniony - wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są większe od zera.

Warunek 2.

;

Wniosek: - obiekt jest stabilny (i rzeczywiście bo równanie charakterystyczne ma pierwiastki: -1,-2,-3,-4).

Kryterium Routha.

Kryterium Routha o podobnym charakterze do kryterium Hurwitza dostarcza dodatkowo informację o ilości pierwiastków leżących w prawej półpłaszczyźnie zespolonej co w pewnych sytuacjach ma istotne znaczenie. W tym celu buduje się tzw. tablicę Routha:

(3.8)

gdzie:
;
;
; .....

;
;
; .....

;
; ................

Po obliczeniu elementów tablicy Routha sprawdzamy znaki elementów pierwszej kolumny. Liczba pierwiastków leżących w prawej półpłaszczyźnie równa jest liczbie zmian znaku elementów pierwszej kolumny.

Przykład 3.4 - Przykład na zastosowanie Kryterium Routha. Sprawdźmy stabilność obiektu o równaniu charakterystycznym:

Z niespełnienia pierwszego warunku Kryterium Hurwitza wynika, że obiekt nie jest stabilny.

Kryterium Routha da nam odpowiedź ile pierwiastków leży w prawej połowie płaszczyzny zespolonej.

Wypełniamy tablicę Routha:

Wniosek: - w pierwszej kolumnie tablicy Routha wystąpiła dwukrotna zmiana znaku, czyli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki o dodatniej części rzeczywistej

(i rzeczywiście równanie charakterystyczne ma pierwiastki: +1,+2,-3,-4).

Kryterium Michajłowa

Równanie charakterystyczne może być przedstawione w postaci:

(3.9)

gdzie
są pierwiastkami tego równania.

Michajłow zwrócił uwagę na zachowanie się funkcji
przy przyjęciu zmiennej niezależnej
jako czysto urojonej:
. Po tym podstawieniu otrzymamy:

(3.10)

lub:
(3.11)

gdzie:

;

Zauważmy, że każdy z czynników
można przedstawić jako różnicę dwóch wektorów, jak na rysunku 3.1.

Zmiana argumentu każdego czynnika
przy zmianie pulsacji
od
do
dla pierwiastków leżących w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej wynosi
, a w prawej
.

Ponieważ w układzie stabilnym wszystkie pierwiastki musza leżeć w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej zmiennej
, to dla układu stabilnego mamy:

(3.12)

Wykorzystując fakt symetrii funkcji
względem osi rzeczywistej dla dodatnich i ujemnych
, sprawdzenie stabilności można ograniczyć do sprawdzenia przyrostu argumentu tylko dla dodatnich
i przyrostu argumentu stabilnego układu wynosi:

(3.13)

Dla sprawdzenia stabilności możemy wykreślić orientacyjny przebieg krzywej

na płaszczyźnie zespolonej, zwracając uwagę na kolejność przejść krzywej
przez osie wykresu i położenie jej asymptoty. Wykres
odpowiadający stabilnemu układowi przejdzie przy zmianie
od 0 do
przez n ćwiartek w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (w stosunku do początku układu współrzędnych), gdzie n jest najwyższą potęgą
równania charakterystycznego. Na rysunku 3.2 przedstawiono przebiegi
obiektów trzeciego rzędu stabilnego i dwu niestabilnych.

Kryterium Nyquista

Jest to kryterium o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Ocenia ono stabilność układu zamkniętego na podstawie badania przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego powstałego przez otwarcie pętli sprzężenia zwrotnego UAR.

Jeżeli sygnał sinusoidalnie zmienny, który może być składnikiem widma wszechobecnych szumów wniknie w dowolnym miejscu do układu, to po obiegnięciu pętli jaką tworzą elementy zamkniętego UAR ulega przetworzeniu polegającemu na zmianie amplitudy i fazy. Ze względu na ujemny znak sprzężenia zwrotnego, sygnał o takiej częstotliwości, przy której po przejściu przez elementy tworzące pętlę zmieni fazę na przeciwną, ulegnie podtrzymaniu. Jeżeli moduł transmitancji widmowej [rozdział 4.5] pętli będzie dla tej częstotliwości większy od jedności to po każdym obiegnięciu pętli amplituda sygnału zwiększy się. Sygnał będzie rósł teoretycznie nieograniczenie, a więc UAR będzie niestabilny.

Niezależnie od tego jak zdefiniujemy transmitancję układu przedstawionego na rysunku 2.11, mianownik będzie miał w każdym przypadku tą samą postać:

(3.14)

gdzie
jest wypadkową transmitancją elementów pętli, która w omawianym przykładzie jest równa
.

Przyjmując:
, (3.15)

równanie charakterystyczne pętli ma postać
, natomiast

, (3.16)

równanie charakterystyczne układu zamkniętego jest równe:

. (3.17)

Ponieważ w realnych przypadkach stopień wielomianu
jest mniejszy, lub co najwyżej równy stopniowi wielomianu
, więc mianowniki
i
są tego samego stopnia. Istotne wnioski można wyciągnąć z faktu, że:

(3.18)

1. Jeżeli transmitancja reprezentująca pętlę jest stabilna i zamknięty układ też ma być stabilny to na podstawie Kryterium Michajłowa musi być spełniony warunek:

(3.19)

2. W przypadku gdy pętla jest niestabilna i równanie charakterystyczne pętli
ma
pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, a więc
w lewej to

(3.20)

Zamknięty układ może być stabilny, ale wymaga to spełnienia warunku:

(3.21)

(3.22)

Potrzebną informację o rozkładzie pierwiastków równania charakterystycznego pętli możemy uzyskać stosując kryterium Routha. Na ogół jednak zadanie jest znacznie prostsze. Punktem wyjścia do określenia transmitancji pętli są transmitancje tworzących ją szeregowo połączonych bloków. Pierwiastki równań charakterystycznych tych bloków są z reguły łatwe do wyznaczenia, a ich suma stanowi wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego pętli. Najczęściej pętla jest stabilna, lub jej transmitancja posiada jeden pierwiastek zerowy.

Zmianę fazy członu
możemy zobaczyć po naniesieniu tej zależności na płaszczyznę zespoloną. Stabilność układu wymaga aby przy stabilnej pętli zmiana fazy wyniosła zero, a więc wykres nie może okrążyć początku układu (przy zmianie
od
do
wykres musi się zaczynać i kończyć na tej samej prostej przechodzącej przez początek układu). Procedurę można uprościć wykreślając jedynie
, ale wówczas rolę początku układu w ocenie zmiany fazy musi przejąć punkt ( -1,j0). Idąc krzywą
w kierunku rosnących ω punkt ( -1,j0) musimy pozostawić po lewej stronie. Sytuację w obu przypadkach zilustrowano na rysunku 3.3.

Rozpatrzmy przypadek gdy pętla jest na granicy stabilności bo jej transmitancja posiada jeden pierwiastek zerowy. Zakładając, że pierwiastek zerowy reprezentuje granicę członu
,
możemy zaliczyć do pierwiastków ujemnych, wówczas obraz funkcji
możemy traktować jako przypadek graniczny w którym zamyka się ona w nieskończoności po stronie dodatnich wartości rzeczywistych. Oczywiście możemy postąpić przeciwnie i zaliczyć
do pierwiastków dodatnich. W konsekwencji zamknięcie funkcji nastąpi po stronie ujemnej części osi rzeczywistej i nastąpi okrążenie punktu ( -1,j0), ale wniosek co do stabilności układu ( w myśl punktu 2) będzie oczywiście taki sam.

Przypadek obiektu z jednym zerowym pierwiastkiem zilustrujemy na przykładzie najprostszego obiektu pierwszego rzędu:

Na płaszczyźnie zespolonej wykres
przy zmianie
przedstawia koło o średnicy
. Przy
pierwiastek
, a średnica
co zilustrowano na rysunku 3.4.

Kryterium Nyquista pozwala na ocenę zapasu stabilności. Zapas stabilności definiuje się osobno po module
i po fazie
, co przedstawiono na rysunku 3.5.

Dla ilościowej oceny zapasu stabilności i oceny wpływu zmian parametrów układu, wygodniej jest stosować wersję logarytmiczną Kryterium Nyquista. Rysujemy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa [rozdział 4.5]

(3.23)

w decybelach, a fazę
przedstawia się w stopniach, lub w radianach. Zmienną niezależną
nanosi się na wykresach w skali logarytmicznej. Stabilność układu wymaga aby przy wzroście ω logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
spadła poniżej zera [
] zanim zmiana fazy
spadnie poniżej poziomu -180^o. Określenie zapasu stabilności
i
przedstawiono na rysunku 3.6.

W praktyce przyjmuje się, że poprawne działanie układu wymaga zapasów stabilności:
i

Istotną korzyścią stosowania charakterystyk logarytmicznych jest fakt bardzo prostych relacji przy szeregowo połączonych członach. Iloczynom transmitancji odpowiadają sumy logarytmicznych charakterystyk modułów i faz:

(3.24a)

(3.24b)

Korzysta się ponadto z prostej aproksymacji popularnych członów.

Pomocne są tu znane związki [rozdział 4.3]:

;
;
.

W rozpatrywanych układach otwartych tak w mianowniku jak i w liczniku występują iloczyny członów typu:
. Rozpatrzymy i przedstawimy wykresy ich logarytmicznych charakterystyk amplitudowych i fazowych. Rysunek 3.7

a. Człon proporcjonalny

(3.25a)

b. Człon całkujący

(3.25b)

c. Człon różniczkujący

(3.25c)

d. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu

(3.25d) Człony pod pierwiastkiem przy
zwanej częstotliwością sprzęgającą, są sobie równe, ale ze zmiennością
ich stosunek znacznie się zmienia. Wykorzystując ten fakt wprowadzamy aproksymację, pomijając przy
wyrażenie mniejsze. Wówczas otrzymamy:

Dla

To oznacza, że zależność przybliżamy dla
linią prostą na poziomie zero (przy współczynniku proporcjonalności równym 1), a dla
również linią prostą opadającą w dół -20 decybeli na dekadę zmiany ω.

Charakterystykę fazową:
przybliża się trzema odcinkami linii prostej:

1.
dla
;

2. odcinkiem linii prostej opadającej -45^o/dk dla
;

3.
dla
.

5. Człon proporcjonalno-różniczkujący (idealny - bez inercji).

(3.25e)

Łatwo się zorientować, że dla członu
stojącego w liczniku odpowiednie wykresy będą podobne do poprzednich, z tym że wyrażenia ujemne zmienią się w dodatnie, jak na rysunku 3.7e.

Przy aproksymacji świadomie popełniamy błędy, które w razie potrzeby można łatwo skorygować dysponując tabelami poprawek, lub ich wykresami.

Na rysunku 3.8 przedstawiono rzeczywisty przebieg krzywej i jej aproksymację dla obiektu inercyjnego pierwszego rzędu, czyli członu
stojącego w mianowniku.

Trochę gorzej przedstawia się sytuacja przy potrzebie aproksymacji członów oscylacyjnych (równanie charakterystyczne obiektu ma pierwiastki zespolone sprzężone), ale też można skorzystać z charakterystyk przybliżonych, gotowych tabel, lub wykresów. Transmitancję obiektu oscylacyjnego II-go rzędu przedstawiamy w postaci:

(3.26)

Parametr
-współczynnik tłumienia w obiektach oscylacyjnych jest
. W granicznym przypadku przy
możemy przyjąć, że mamy podwójny pierwiastek rzeczywisty. Przybliżone charakterystyki logarytmiczne otrzymamy sumując po dwa przebiegi z rysunku 3.7d. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywiste obiektu oscylacyjnego będą znacznie odbiegać od tego przybliżenia tylko w okolicy częstotliwości
. Charakterystyka rzeczywista w tym zakresie silnie zależy od
. Na rysunku 3.9 przedstawiono przebiegi funkcji przy
i
.

Reprezentacja czystego opóźnienia
stanowi pewien wyjątek bo jej prostym zależnościom w układzie liniowym
i
odpowiada w przyjętej logarytmicznej skali
mocno nieliniowa charakterystyka fazowa. Charakterystyki przedstawiono na rysunku 3.10.

Przykład 3.5 Zastosowanie Kryterium Nyquista .

Zbadamy stabilność układu jak na rysunku 3.11.

Rysunek 3.12

Transmitancja pętli:

Przyjmijmy wartości:
; T_i=500[s]; T₁=100[s]; T₂=50[s]; T_CZ=1[s].

Uproszczone charakterystyki amplitudowo-fazowe każdego z sześciu członów nanosimy osobno, po czym sumujemy. Na rysunku 3.12 przedstawiono uproszczone charakterystyki składowe i wypadkowe, a na rysunku 3.13 charakterystyki dokładne uzyskane na drodze obliczeniowej (w MATLABIE).

Układ po zamknięciu będzie stabilny. Zapas stabilności wynosi ~50[dB].

(Zapas stabilności jest za duży. Należy zwiększyć wzmocnienie aby układ mógł działać skuteczniej)

Rysunek 3.13

W obecnej sytuacji łatwego dostępu do odpowiednich programów komputerowych znaczenie metod aproksymacyjnych zmniejszyło się, ale przedstawiona metoda pomaga w wyrobieniu sobie poglądu na wpływ możliwych zmian w układzie i zalecana jest jako sprawdzian jakościowy prowadzonych operacji z użyciem komputera.

Dodatkowo istotną zaletą kryterium Nyquista jest możliwość wykorzystania do analizy pracy układu charakterystyk częstotliwościowych zdjętych doświadczalnie.

1. Stabilność układów (obiektów) nieliniowych

Cechy obiektów nieliniowych mogą zależeć od poziomu sygnałów zewnętrznych. Jednemu poziomowi sterowania może odpowiadać jeden, dwa, lub więcej stanów równowagi.

Poglądowym przykładem sytuacji, w której mamy kilka punktów równowagi mogą być możliwe pozycje kulki umieszczonej w płaskim naczyniu o nierównym dnie, jak na rysunku 3.14. Mamy trzy miejsca - punkty równowagi
. Kulka może spocząć tylko w dwu z nich:
. Na szczycie w punkcie
nie utrzyma się, stan równowagi jest tam niestabilny.

Badając stabilność obiektu (układu) nieliniowego należy określić poziom sygnałów zewnętrznych i wyznaczyć odpowiadający im punkt (punkty) równowagi.

Inaczej niż dla obiektów liniowych definiowane jest pojęcie stabilności

Oceniając stabilność punktu równowagi posłużymy się definicją stabilności lokalnej Lapunowa: punkt równowagi nazywamy stabilnym, jeżeli dla każdego, dowolnie małego obszaru
odchyleń od stanu równowagi można dobrać taki obszar
warunków początkowych, że cała trajektoria startująca z obszaru
będzie zawarta w obszarze
.

Jeżeli dodatkowo trajektoria zmierza do wymienionego punktu równowagi to stan równowagi w tym punkcie nazywamy stabilnym asymptotycznie. W przypadku obiektu drugiego rzędu powyższą definicję możemy zilustrować na płaszczyźnie stanu - rysunek 3.15.

Stabilność niezależną od wielkości odchylenia początkowego od punktu równowagi nazywamy stabilnością globalną.

Do badania stabilności lokalnej stosujemy I metodę Lapunowa.

I metoda Lapunowa

Po wyznaczeniu punktów równowagi, w celu zbadania ich stabilności, w badanym punkcie równowagi umieszczamy początek (nowego) układ współrzędnych. Opis obiektu (układu) przedstawmy (w nowym układzie współrzędnych) w formie równań stanu [rozdział 4.1]

(3.27)

Funkcje nieliniowe rozwijamy w szereg Taylora

gdzie:
(3.28)

Uwzględniając tylko liniowe człony rozwinięcia otrzymamy zlinearyzowany układ równań

(3.29)

Do tak zlinearyzowanego układu stosujemy dowolne kryterium stabilności dla układów liniowych i jeżeli wynik jest jednoznaczny to rozstrzyga on o stabilności danego punktu równowagi. Jeżeli natomiast stwierdzimy, że zlinearyzowany układ jest na granicy stabilności to nie musi tak być w układzie nieliniowym. Rozstrzygające znaczenie mają wówczas pominięte reszty reprezentujące nieliniowości.

Przykład 3.6 Zbadamy stabilność obiektu nieliniowego:

przy sterowaniu
. Po podstawieniu
otrzymamy równanie

.

W stanie statycznym
i do tego punktu równowagi przesuniemy nowy układ współrzędnych
, przy czym gdy
.

W tym celu podstawiamy
, a z tego wynika
i
.

W nowym układzie współrzędnych mamy:

Po podstawieniu:
model obiektu zapiszemy w formie równań stanu:

Równania te bez dalszej obróbki możemy zlinearyzować, więc zbadamy stabilność postaci zlinearyzowanej:

Równanie charakterystyczne tego obiektu to

i ma na tyle prostą postać, że możemy obliczyć jego pierwiastki

Wniosek: badany obiekt przy wymuszeniu
ma punkt równowagi
, który jest stabilny.

Przykład 3.7 Zbadamy stabilność obiektu nieliniowego

przy

W stanie równowagi obowiązuje związek:

To równanie ma pierwiastki:
, a więc dwa punkty równowagi. Ich stabilność zbadamy kolejno:

- Podstawiamy do równania wyjściowego:
i otrzymamy:

Zlinearyzowane równanie charakterystyczne ma postać:

Sprawdzimy stabilność stosując kryterium Hurwitza

1. Pierwszy warunek jest spełniony - wszystkie współczynniki są dodatnie.

2.
,

(wyrażeń w nawiasach nie musiało się sprawdzać, bo wynikają z pierwszego warunku.)

- sprawdzony punkt równowagi jest stabilny.

- Podstawiamy do równania wyjściowego:
i otrzymamy:

Zlinearyzowane równanie charakterystyczne ma postać:

1. Pierwszy warunek Hurwitza jest niespełniony - nie wszystkie współczynniki są dodatnie.

- sprawdzony punkt równowagi jest niestabilny.

Wniosek: sprawdzany obiekt przy wymuszeniu
ma dwa punkty równowagi:
, ale stabilny jest tylko
.

II metoda Lapunowa służy do badania stabilności globalnej. Metoda ta polega na spostrzeżeniu, że w stabilnych punktach równowagi ma miejsce minimum energetyczne układu i jeżeli poza punktem równowagi energia układu nieustannie maleje to stan układu będzie nieuchronnie do tego punktu zmierzał. Ubytek energii można by obserwować po wyznaczeniu hiperpowierzchni ekwienergetycznych, w stosunku do których trajektoria układu stabilnego stale będzie schodzić na coraz niższy poziom. Niestety na ogół wyznaczenie hiperpowierzchni ekwienergetycznych dla układu nieliniowego jest bardzo trudne. Lapunow do stwierdzenia stabilności globalnej zaproponował przyjęcie funkcji o podobnych cechach, ale prostych w opisie. Funkcja Lapunowa ma mieć wartość zero tylko w punkcie równowagi i coraz większą wartość w miarę oddalania się od tego punktu. Jeżeli stwierdzimy, że wzdłuż trajektorii układu pochodna funkcji Lapunowa będzie stale ujemna, czyli stan układu schodzi na coraz niższy jej poziom to musi kiedyś dojść do punktu równowagi. Czyli układ jest globalnie stabilny. Jeżeli jednak tą drogą nie stwierdzimy stabilności to o niczym to nie świadczy, bo może układ być rzeczywiście niestabilny, lub tylko niefortunnie wybraliśmy funkcje Lapunowa.

W celu sformalizowania II metody Lapunowa korzysta się z pojęcia funkcji dodatnio i ujemnie określonej: Funkcja rzeczywista
zmiennych rzeczywistych
nazywamy dodatnio (ujemnie) określoną w obszarze D zawierającym początek układu współrzędnych n-wymiarowej przestrzeni, jeżeli funkcja ta w każdym punkcie obszaru D poza początkiem układu współrzędnych przyjmuje wartość dodatnią (ujemną), a wartość równą zeru tylko w początku układu współrzędnych.

Analogicznie wprowadza się pojęcie funkcji nieujemnie (niedodatnio) określonej.

Przykładem funkcji dodatnio określonej w n-wymiarowej przestrzeni może być funkcja
, a ujemnie określonej
. Natomiast funkcja

jest w przestrzeni trójwymiarowej nieujemnie określona.

Warunkiem dostatecznym (ale nie koniecznym) stabilności globalnej obiektu opisanego równaniami stanu (3.27) jest aby w rozpatrywanym obszarze pochodna po czasie funkcji Lapunowa

(3.29)

była ujemnie określona.

Po podstawieniu równań stanu (3.27) możemy napisać
(3.30)

sprawdzamy czy funkcja ta jest ujemnie określona.

Twierdzenie Lapunowa: Układ nieliniowy opisany równaniami stanu (3.27) jest stabilny w obszarze D zawierającym początek układu współrzędnych, jeśli można dobrać taką funkcję
dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna względem czasu jest ujemnie określona w tym obszarze.

Jeżeli funkcja
jest w obszarze D niedodatnio określona to rozpatrywany układ jest stabilny ale nie asymptotycznie.

Analizując sytuację na podstawie II metody Lapunowa czasami prostsze może być stwierdzenie niestabilność układu.

Przykład 3.8 Zbadamy czy wyznaczony w przykładzie 3.6 stabilny punkt równowagi jest globalnie stabilny.

Przyjmijmy funkcję Lapunowa
.

Pochodna po czasie funkcji Lapunowa wzdłuż trajektorii stanu na podstawie równania (3.30) jest równa:
. Wyrażenie to będzie ujemnie określone
przy
czyli
, a ponieważ
to warunek powyższy wymaga aby
.

Wniosek: wyznaczony w przykładzie 3.6 punkt równowagi
jest stabilny globalnie w obszarze
.

W układach nieliniowych występuje czasem zjawisko, że punkt równowagi wraz z bliskim otoczeniem jest niestabilny, natomiast w obszarze o większym oddalaniu od punktu równowagi układ zachowuje się jak stabilny. Dochodzi wówczas do przejścia stanu układu w cykl graniczny, w którym układ drga ze stałą amplitudą. Praktycznie układy regulacji traktowane jako liniowe po utracie stabilności wchodzą w obszar ograniczeń (założenie liniowości jest tu już bezpodstawne) i dalszy wzrost amplitudy zostaje ograniczony - układ przechodzi w stan drgań ze stałą amplitudą. Zjawisko to wykorzystywane jest do budowy generatorów. Cykle graniczne to specyficzny stan równowagi układu, który może być stabilny lub niestabilny. Do wykrywania takich stanów pomocna może być metoda pierwszej harmonicznej.

Metoda pierwszej harmonicznej ( metoda funkcji opisującej).

Metodę pierwszej harmonicznej możemy stosować do analizy pracy układów, których schemat da się sprowadzić do dwu członów, z których jeden reprezentuje statyczny element nieliniowy, a drugi jest liniowy i reprezentuje pełną dynamikę układu, jak na rysunku 3.16.

Zakładamy że wzmocnienie nieliniowego członu K(A) zależy tylko od amplitudy sygnału wejściowego ε, a członu liniowego G(jω) od częstotliwości sygnału u.

Metoda pierwszej harmonicznej jest metodą przybliżoną (nie spełnia warunków koniecznych, ani dostatecznych), a opiera się na spostrzeżeniu, że większość obiektów wykazuje cechy filtrów dolnoprzepustowych i im wyższa jest częstotliwość sygnałów tym są one silniej tłumiona. Wówczas z okresowego, niesinusoidalneso sygnału wprowadzonego na wejście członu dynamicznego na wyjście przedostaje się praktycznie tylko pierwsza harmoniczna. W członie nieliniowym sygnał ten jest wzmacniany i deformowany.

Dla przykładu na rysunku 3.17 przedstawiono taką sytuację, w której sygnał sinusoidalny podlega obróbce w idealnym (pozbawionym histerezy) przekaźniku dwupołożeniowym. Niezależnie od amplitudy sygnału wejściowego sygnał wyjściowy zawarty będzie w przedziale pomiędzy
. Stosunek amplitudy pierwszej harmonicznej do amplitudy sygnału wejściowego będzie silnie zależał od amplitudy sygnału wejściowego.

Jeżeli wprowadzimy sygnał wejściowy

(3.31)

to na wyjściu otrzymamy sygnał okresowy

(3.32)

Pierwsza harmoniczną tego sygnału
możemy wyliczyć ze wzoru:

(3.33)

gdzie
są współczynnikami szeregu Fouriera:

(3.34)

(3.35)

Uwzględniając, że
otrzymamy

(3.36)

Całka
jest równa polu powierzchni zamkniętej przez niejednoznaczną charakterystykę (histerezę)
. Współczynnik
jeżeli charakterystyka nieliniowa jest jednoznaczna. Funkcja opisująca człon nieliniowy

(3.37)

jest funkcją rzeczywistą. Jeżeli
to jest ona funkcją zespoloną

(3.38)

1. Przekaźnik dwupołożeniowy

2. Człon trójpołożeniowy

3. Człon proporcjonalny z nasyceniem.

4. Wzmacniacz ze strefę nieczułości

5. Przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą.

6. Przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą.

Rysunek 3.18

Rysunek 3.18

Z kryterium Nyquista wiemy, że na granicy stabilności spełniona jest równość

(3.39)

To możemy zapisać

(3.40)

Jeżeli na płaszczyźnie zespolonej narysujemy charakterystyki
i
to ich ewentualne przecięcie wyznacza możliwy stan pracy układu.

Na rysunku 3,18 zamieszczono charakterystyki kilku popularnych członów nieliniowych, wzory do wyliczenia funkcji opisującej
i wykresy funkcji
.

W ocenie stabilności układu charakterystyka
zastępuje punkt
i jeżeli cała krzywa leży na lewo od charakterystyki
to do wzbudzenia układu nie dojdzie. Jeśli krzywe się przecinają i po prawej stronie charakterystyki
leży część krzywej
odpowiadająca małym amplitudom A, a po stronie lewej dużym, to układ w zakresie małych amplitud jest niestabilny, a po stronie dużych stabilny i niezależnie od stanu początkowego będzie dążyć do punktu przecięcia. Stan określony takim przecięciem krzywych jest trwały - stabilny. Układ będzie oscylować z amplitudą A_0S i częstotliwością ω_0S, które to wielkości możemy odczytać z parametrów punktu przecięcia.

Przykład 3.9.a - W układzie jak na rysunku 3.16 mamy obiekt o transmitancji widmowej

,

a regulator dwustawny idealny o charakterystyce statycznej jak na rysunku 3.18/1 i u_m=10. Ponieważ założyliśmy, że charakterystyka jest jednoznaczna wykres -1/K(A) leży na osi rzeczywistej. Należy więc wyznaczyć parametry punktu przecięcia się krzywej
z tą osią. Po wykonaniu działań w mianowniku transmitancji i wydzieleniu części rzeczywistej i urojonej, przyrównujemy tą ostatnią do zera. Część urojona jest równa zero przy ω=0 i ω=±0.14 . Charakterystyki przecinają się przy ω_os=+0.14, co przedstawiono na rysunku 3.19. Podstawiając wartość ω_os do części rzeczywistej wyliczymy moduł
. Czyli w punkcie przecięcia krzywych
. Z wzoru podanego na rysunku 3.18/1 wyliczymy amplitudę oscylacji;
.

Przykład 3.9b - W układzie jak w przykładzie 3.19a zastosujmy regulator proporcjonalny z nasyceniem o charakterystyce jak na rysunku 3.18/3 i przyjmijmy e=0.1, k=100. Punkt -1/k znajdzie się po lewej stronie charakterystyki G(jω) i charakterystyki przecinają się. Układ w zakresie liniowym będzie niestabilny i niezależnie od warunków początkowych ustali się stan odpowiadający parametrom punktu przecięcia. Na rysunku 3.20 przedstawiono przebieg odpowiednich trajektorii stanu z widocznym cyklem granicznym ( uzyskane na drodze modelowania w MATLABIE).

Należy mieć świadomość, że jest to metoda przybliżona i wynik jest godny zaufania przy obiekcie spełniającym założenie coraz mocniejszego tłumienia ze wzrostem częstotliwości i zdecydowanego przecięcia krzywych, a przytoczone na rysunku 3.18 wzory obowiązują przy symetrii charakterystyk nieliniowych (względem stanu równowagi dla danego wymuszenia).

Kryterium Kudrewicza-Cypkina

Jeżeli w układzie jak na rysunku 3.16 funkcję nieliniową
da się zawrzeć pomiędzy dwoma prostymi u=k₁ε i u=k₂ε jak na rysunku 3.21a, to rolę punktu (-1,j0) do oceny stabilności z Kryterium Nyquista, dla obiektów liniowych przejmie koło o środku leżącym na osi rzeczywistej i przecinające tę oś w punktach -1/k₁ i -1/k₂ jak na rysunku 3.21b.

3.4 Kryteria oceny cech dynamicznych UAR.

Podstawą oceny jakości działania układu powinien być rachunek ekonomiczny. Niestety przeliczenie wpływu wybranego algorytmu regulatora, czy jego nastaw na wynik ekonomiczny jest niemożliwy. Na przeszkodzie stoi bardzo skomplikowany i fragmentaryczny wpływ strojonego parametru na wartość produktu finalnego, a rzeczywistą wartość produktu możemy poznać dopiero po jego sprzedaniu. Decyzję o wyborze odpowiednich nastaw nie można oprzeć na ocenie, która dopiero nastąpi w bliżej nieokreślonej przyszłości. Wytyczne strojeniowe powinny być w miarę proste i łatwe w zastosowaniu, a ich związek z oceną ekonomiczną ma z konieczności charakter raczej intuicyjny. Jest oczywiste, że wywołane zakłóceniami odstępstwo o stanu uznanego za optymalny powinno być jak najskuteczniej zwalczane. Dla celów strojeniowych ocenę jakości trzeba sformalizować. Odpowiednie formuły matematyczne nazywamy kryteriami.

Kryteria ze względu na swój charakter możemy podzielić na trzy rodzaje:

1. Kryteria uniwersalne, które koncentrują się na cechach UAR.

2. Kryteria oceniające zachowanie się UAR w konkretnej sytuacji w tym głównie kryteria całkowe.

3. Kryteria mnemotechniczne powiązane z poprzednimi, ale dające możliwość doboru nastaw regulatora na podstawie gotowych wzorów, lub procedur postępowania.

Kryteria uniwersalne.

Kryterium optymalnego rozkładu pierwiastków równania charakterystycznego. Tłumienie stanów przejściowych zależy od pierwiastków równania charakterystycznego, których rozkład możemy obserwować na płaszczyźnie zespolonej. Stabilność wymaga aby wszystkie pierwiastki leżały w lewej części tej płaszczyzny. O szybkości zanikania stanów przejściowych decydują pierwiastki położone najbliżej osi urojonej. Jeżeli dominującą jest para pierwiastków zespolonych to stany przejściowe będą zanikać oscylacyjnie. Jeśli wyraźnie dominuje pierwiastek rzeczywisty zanikanie stanu przejściowego będzie w końcowej fazie monotoniczne, bez przeregulowania (bez zmiany znaku błędu). Stany przejściowe zanikają tym szybciej im pierwiastki leżą dalej od osi urojonej. Na rozkład pierwiastków mamy wpływ przez dobór parametrów strojeniowych regulatora. Niestety związki te są skomplikowane i wiemy, że powyżej drugiego rzędu równania charakterystycznego nie da się ich przedstawić (w ogólnym przypadku) w formie analitycznej. Warto również zauważyć, że przy cofaniu dominujących pierwiastków na pozycje „bardziej ujemne” inne zaczną się przesuwać w przeciwnym kierunku. Pewną pomocą może tu być metoda linii pierwiastkowych [rozdział 4.4], która pozwala na analizę tras przemieszczania się pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyźnie zespolonej przy uzmiennieniu jednego parametru (wzmocnienia).

Częstotliwościowy wskaźnik jakości regulacji

Określa wpływ tłumiącego charakteru pętli sprzężenia zwrotnego na widmo sygnałów zakłócających. Definiowany jest jako stosunek modułu widma sygnału błędu
w UAR do modułu widma sygnału błędu jaki by wystąpił w układzie bez regulatora
:

(3.41)

Postać wskaźnika jest taka sama dla oceny wpływu zmian wielkości wzorcowej jak i zakłóceń działających na obiekt, ale trzeba pamiętać, że pochodzące od nich widma
są różne.

Na rysunku 3.22 przedstawiono typowy przebieg częstotliwościowego wskaźnika jakości regulacji. Zwróćmy uwagę, że dla
wskaźnik ten określa stosunkowy błąd statyczny ε_st. Z wykresu wynika, że sprzężenie zwrotne wywiera korzystny wpływ tylko dla części widma zakłóceń o małych częstotliwościach - poniżej ω_o, przy nieco wyższych częstotliwościach działanie sprzężenia zwrotnego jest niekorzystne, a przy jeszcze wyższych prawie żadne. Okazuje się, że przy transmitancji pętli reprezentującej obiekt rzędu wyższego od II obowiązuje zależność:
, to oznacza, że poprawa tłumiącego działania pętli sprzężenia zwrotnego w jednym zakresie częstotliwości pogorszy go w innym. Istotny jest jednak głównie wpływ pętli sprzężenia zwrotnego przy małych częstotliwościach, bo część widma o wysokich częstotliwościach i tak jest mocno tłumiona we wszystkich rzeczywistych obiektach. Parametry strojeniowe regulatora wykorzystujemy do dopasowania charakterystyki wskaźnika jakości do widma spodziewanych zakłóceń.

Kryteria oceniające zachowanie się UAR w konkretnej sytuacji.

Kryteria całkowe mają charakter bilansu strat wywołanych konkretnym czynnikiem zakłócającym. Ocenia się tłumienie stanów przejściowych wywołanych skokową zmianą wielkości wzorcowej lub zakłócenia. W układach stabilnych stan przejściowy zanika całkowicie i okres bilansu można teoretycznie rozciągnąć do nieskończoności. Wynik w postaci skalarnej pozwala na łatwe porównanie efektów. Przyjmowane postaci funkcji podcałkowych uwzględniają przesłanki technologiczo-ekonomiczne i praktyczną użyteczność związaną z możliwością stosowania określonych metod matematycznych. Stosowane są następujące kryteria całkowe:

(3.42)

- Całka z błędu dynamicznego. Ma sens tylko w przypadkach gdy błąd nie zmienia znaku. W obliczeniach można skorzystać z ze związku:

(3.43)

- Całka z bezwzględnej wartości błędu dynamicznego. Wartość bezwzględna utrudnia obliczenia.

(3.44)

- Całka z kwadratu błędu dynamicznego. Jest to kryterium najchętniej stosowane. W literaturze [10] podawane są wzory o charakterze rekurencyjnym wiążące wartość całki
z
.

(3.45)

- Całka z kwadratu błędu dynamicznego i jego pochodnych. Uwzględnia się w ten sposób niekorzystny wpływ takich czynników jak nadmierne prądy, siły itp.

Wymienione powyżej kryteria bywają dodatkowo jawnie uzależniane od czasu. Np.:

; (3.46)

(3.47)

Oznacza to zaostrzenie negatywnej oceny w przypadku przedłużania się stanów przejściowych.

Kryterium czasu regulacji
. Przez czas regulacji rozumiemy czas trwania stanu przejściowego, liczony od momentu wywołującego go skoku jednostkowego wielkości wejściowej do trwałego zmniejszenia się błędu regulacji poniżej określonego poziomu. Poziom ten zwykle wiąże się z dopuszczalnym błędem statycznym. Ocenę tą łatwo przeprowadzić dysponując zdjętym wykresem stanu przejściowego, ale ciężko powiązać wynik z wpływem nastaw strojonych, a przy przebiegach oscylacyjnych mała zmiana parametru może wywołać skokową zmianę oceny czasu regulacji.

Na rysunku 3.23 przedstawiono przykładowy rozkład pierwiastków równania charakterystycznego i przebiegi czasowe odpowiedzi obiektów na skok jednostkowy:

1. z dominującym pierwiastkiem rzeczywistym,

2. oscylacyjnego - z dominującą parą pierwiastków zespolonych.

Zaznaczono czasy regulacji t_r przy założonym dopuszczalnym błędzie dynamicznym

Kryteria mnemotechniczne.

Kryterium Zieglera i Nicholsa zalecane przez producentów konwencjonalnych regulatorów grupy PID ma zastosowanie do strojenia nastaw już pracującego UAR. Procedura jest następująca:

1. regulator ustawiamy na działanie wyłącznie proporcjonalne;

2. obserwując przebieg któregokolwiek sygnału w pętli sprzężenia zwrotnego dobieramy krytyczne wzmocnienie
   , to jest takie przy którym układ będzie na granicy stabilności. Stan ten charakteryzują drgania o stałej amplitudzie;

3. mierzymy okres powstałych drgań
   ;

4. na podstawie
   i
   wyliczamy zalecane nastawy z podanych przez autorów metody wzorów:

dla regulatora P:

dla regulatora PI:
;
(3.48)

dla regulatora PID:
;
;

Procedura jest prosta, ale trzeba się liczyć z dość czasochłonnym poszukiwaniem stanu krytycznego i należy go osiągnąć przy małych amplitudach drgań, aby mieć pewność, że działamy w zakresie liniowym i nie dochodzi do ograniczeń amplitudy drgań z powodu wejścia któregoś z sygnałów na ograniczenia.

Dobór nastaw do zidentyfikowanego obiektu prowadzić można na podstawie cytowanych w literaturze wzorów [2] [6] [10]. Najczęściej spotykane w praktyce obiekty inercyjne przybliżamy modelem inercyjnym pierwszego rzędu z czasem martwym:
. Na podstawie wyznaczonych parametrów wyliczamy z podanych wzorów zalecane nastawy. Wzory są podawane dla kilku kryteriów, takich jak: minimalny czas regulacji
przy przebiegu bez przeregulowania i z 20% przeregulowaniem; minimum całki z kwadratu błędu. Podawane są również parametry spodziewanych przebiegów. Dla przykładu;

Przy min
i regulatorze PID jego parametry:
wyliczymy ze wzorów:
. Przy tych nastawach czas regulacji powinien wynieść

4. Wybrane zagadnienia z metod matematycznych wykorzystywanych w automatyce

1. Równania stanu

Układ o jednym wejściu i jednym wyjściu.

Najprostszym układem dynamicznym jest układ stacjonarny, liniowy, o jednym magazynie energii - jednej zmiennej stanu x i jednej zmiennej wejściowej u. Podstawowym modelem matematycznym takiego układu jest równanie stanu

(4.1)

Równanie to pokazuje uzależnienie prędkość zmian zmiennej stanu od aktualnej wartości tej zmiennej i zmian wielkości wejściowej. W układzie liniowym i stacjonarnym współczynniki a i b są stałe. Przy braku wymuszenia mamy do czynienia z układem dynamicznym swobodnym

(4.2)

przy starcie układu z niezerowych warunków początkowych uzyskujemy rozwiązanie swobodne. Przyjmując
mamy rozwiązanie

(4.3)

W zadaniach automatyki najczęściej rozpatruje się wpływ sterowania na stan przy starcie układu z zerowych warunków początkowych. Zmienna dostępna dla obserwatora y może zależeć od stanu i sterowania. Opisujemy to równaniem wyjścia

(4.4)

Na rysunku 4.1 przedstawiono schemat ilustrujący związki opisane powyższymi równaniami.

Układ posiadający n magazynów energii i podlegający jednemu sterowaniu u można opisać układem n równań pierwszego stopnia

(4.5a)

i równaniem wyjścia

(4.5b)

lub zwięźlej w zapisie macierzowo-wektorowym

(4.6a)

(4.6b)

Duże ułatwienie w rozwiązywaniu typowych zadań i uproszczenie opisu uzyskuje się przez skorzystanie z transformaty Laplace'a i wprowadzenie pojęcia transmitancji operatorowej. Zakładamy, że wymuszenie u(t) pojawia się wyłącznie dla t>0 i ma transformatę u(s), a sygnał wyjściowy y(t) ma transformatę y(s).

W najprostszym przypadku układu dynamicznego dysponujemy równaniami

(4.7a)

(4.7b)

Korzystając z przekształcenia Laplace'a przy zerowych warunkach początkowych otrzymamy

(4.8a)

(4.8b)

Wyznaczamy powiązanie wyjście z wejściem

(4.9)

Funkcję
nazywamy transmitancją.

W układzie wyższego rzędu o jednym wejściu i jednym wyjściu

(4.10a)

(4.10b)

postępując analogicznie otrzymamy

(4.11a)

(4.11b)

Stąd

(4.12)

gdzie I jest macierzą jednostkową o wymiarze n.

Następnie wyliczamy

(4.13)

zatem

(4.14)

Transmitancja układu

(4.15)

jest skalarem. Stała d ma wpływ tylko na relację statyczną pomiędzy y, a u.

Pisząc równania stanu w przyjęciu zmiennych stanu mamy pewną swobodę, czyli ten sam układ można opisać na różne sposoby. Związek łączący wyjście z wejściem jest jednoznaczny i może być przedstawiony w formie jednego równania różniczkowego rzędu n.

(4.16)

Równanie to możemy wyliczyć z równań stanu lub wyprowadzić bezpośrednio ze znajomości budowy obiektu i praw rządzących zachodzącymi w nim zjawiskami.

Jeden z czynników w powyższym równaniu (4.16) można zredukować do jedności (przez podzielenie), zwykle redukuje się a_n lub a₀. W równaniach reprezentujących układ rzeczywisty obowiązuje nierówność n ≥ m. Przy niespełnieniu w modelu tej relacji naruszamy zasadę przyczynowości - jest to równoznaczne założeniu, że skutek zmian może wyprzedzać ich przyczynę.

Równanie (4.16) wiążące wyjście z wejściem przy zerowych warunkach początkowych możemy zapisać w dziedzinie zmiennej s jako

(4.17)

Stosunek Y(s)/U(s) jest równy transmitancji
, która opisuje obróbkę sygnału w danym obiekcie

(4.18)

Transformatę wyjściową obliczamy ze związku

(4.19)

Sygnał wyjścia w dziedzinie czasu obliczymy jako transformatę odwrotną tego wyrażenia

(4.20)

W szczególnym przypadku bardzo krótkotrwałego wymuszenia u(t) o bardzo wysokim poziomie i polu równym jedności, sygnał taki można w przybliżeniu uznać za tzw. funkcję Diraca, której transformata jest równa jedności. Mamy wówczas
oraz

(4.21)

nazywamy charakterystyką impulsową.

Stosując bardziej realne wymuszeniu tzw. skok jednostkowy

o transformacie
mamy
, a wówczas

(4.22)

nazywamy charakterystyką skokową.

Powyższe charakterystyki czasowe są pomocne przy identyfikacji układów. Istotne są związki

;
(4.23)

Podobnie pomocna może być całka splotowa. Z przekształcenia Laplace'a i uczynionych założeń wynika, że iloczynowi
w dziedzinie czasu odpowiada tzw. całka splotowa

(4.24)

Odpowiedź obiektu na skok jednostkowy.

Rozpatrzmy odpowiedź układu na najpopularniejszy sygnał używany do badania obiektów - skok jednostkowy 1(t).

Jeżeli zapiszemy
to

(4.25)

Przy przyjęciu sygnału wejściowego jako skok jednostkowy
mamy

(4.26)

Przy założeniu, że wielomian N(s) nie ma pierwiastków wielokrotnych ani równych zeru, możemy go przestawić w postaci

(4.27)

Poprzednie wyrażenie (4.26) rozłóżmy na ułamki proste

(4.28a)

(4.28b)

Stałą A₀ wyliczymy mnożąc obie strony powyższego równania przez s i podstawiając s=0

(4.29)

Dla określenia pozostałych współczynników A_k trzeba pomnożyć obie strony równania przez
i podstawić
. Otrzymamy

(4.30)

Człon w nawiasie jest symbolem nieoznaczonym, ponieważ s_k jest jednym z pierwiastków wielomianu
. Skoro
zastosujemy regułę de l'Hospitala

gdzie

Ostatecznie stałe A_k obliczymy ze wzoru

(4.31)

Po podstawieniu otrzymanych wyrażeń na stałe A do wzoru (4.28) mamy

(4.32)

lub zwięźlej

(4.33)

Transformaty tych prostych członów łatwo jest obliczyć lub znaleźć w tablicach.

(4.34)

A₀ określa nowy stan statyczny y₀ . Ostatecznie

(4.35)

Żeby sygnał y(t) zmierzał do y₀ wszystkie pierwiastki wielomianu N(s) (równania charakterystycznego) muszą być mniejsze od zera s_k<0

W przypadku kiedy wielomian N(s) ma pierwiastki zerowe, lub wielokrotne

(4.36)

w rozkładzie
na ułamki proste w miejsce pojedynczego ułamka związanego z danym pierwiastkiem
pojawią się człony
gdzie m_k jest krotnością pierwiastka s_k, z tym że dla s=0 członów będzie o jeden więcej, z najwyższą potęga mianownika m₀+1. Pełne równanie można zapisać

(4.37)

Współczynnik liczbowy A₀₀ obliczymy mnożąc obie strony równania przez
i podstawiając s=0. Dla wyliczenia pozostałych współczynników trzeba jak poprzednio korzystać z reguły de l'Hospitala, z tym że dla obliczenia wartości współczynnika A_ki różniczkowanie trzeba będzie przeprowadzić i razy. Tą drogą uzyskamy ostatecznie wzór ogólny na przebieg w czasie sygnału wyjściowego przy wymuszeniu skokowym

(4.38)

Układ wielowymiarowy.

W ogólnym przypadku układu o r wejściach i m wyjściach równania stanu i wyjść można zapisać

(4.39a)

(4.39b)

lub zwięźlej w zapisie macierzowo-wektorowym

(4.40a)

(4.40b)

Układ ten możemy zilustrować rysunkiem 4.1, z tym że w miejsce wielkości skalarnych pojawią się symbole macierzy i wektorów.

W przypadku rozwiązania swobodnego

(4.41)

i starcie z ze stanu początkowego
możemy zapisać

. (4.42)

Wyrażenie
nazywamy macierzą podstawową i można ją obliczyć korzystając z przekształcenia Laplace'a.

, a więc

. (4.43)

Z powyższego wynika, że macierz
jest transformatą odwrotną macierzy
. Wspólnym mianownikiem wszystkich elementów tej macierzy jest wyznacznik
, czyli wielomian charakterystyczny, a ten można zapisać w postaci rozłożonej na czynniki

. (4.44)

Wobec tego transformata odwrotna macierzy
powinna zawierać wśród swoich elementów wszystkie wyrażenia o postaci
. Wynika stąd, że wartości własne determinują możliwą postać rozwiązania swobodnego.

Transformując równania stanu (4.40a) w dziedzinę zmiennej s, przy zerowych warunkach początkowych, po uporządkowaniu możemy zapisać

(4.45)

na podstawie splotu i faktu, że macierz
jest transformatą odwrotną macierzy
możemy wyrazić

(4.46)

oraz równanie wyjścia

(4.47)

w dziedzinie czasu

(4.48)

Natomiast

(4.49)

jest transmitancją macierzową łączącą wyjście z wejściem.

(4.50)

Pełny obraz przebiegu wyjścia
z uwzględnieniem sterowania
i warunków początkowych stanu
można zapisać jako

(4.51)

Sterowalność i obserwowalność

W układzie wielowymiarowym niektóre współrzędne stanu mogą być niesterowalne lub nieobserwowalne, jak przedstawiono na rysunku 4.2.

Zmienna stanu jest niesterowalna jeżeli w skończonym czasie nie można jej przeprowadzić z jednego określonego stanu do drugiego, a nieobserwowalna jeżeli przy znanym wymuszeniu w skończonym czasie nie da się jej określić na podstawie przebiegu wyjścia. Niesterowalność, lub nieobserwowalność niektórych zmiennych stanu może wynikać z identycznej obróbki sygnału na drodze sterowanie - te zmienne stanu, lub zmienne stanu - wyjście, oraz z przypadku skracania się biegunów i zer. Przypadki te przedstawiono kolejno na rysunkach 4.3a, b, c.

2. Modele dyskretne, równania różnicowe.

Potrzeba stosowania modeli dyskretnych wynika z okresowego działania niektórych urządzeń. Np. często analizatory składu chemicznego działają tak, że pobieranie próbek i podawanie wyników analizy odbywa się w stałych odstępach czasu - zwanego czasem próbkowania T_P. Podobnie działają obliczeniowe urządzenia cyfrowe. Jeżeli jednak okres próbkowania jest nieznacząco krótki w stosunku do istotnych zmian przebiegu zdyskretyzowanego sygnału to układ możemy traktować jako ciągły. Istnieją jednak układy nie spełniające tego warunku, a dodatkowo są sytuacje w których celowo wprowadza się dyskretyzację i próbkowanie do sterowania procesów ciągłych.

W układzie ciągłym posługujemy się pojęciem pochodnej po czasie zdefiniowanej jako
. W układzie dyskretnym przyrost zmiennej odnotowywany jest w odstępach czasu próbkowania T_P.
.

Jeżeli czas bieżący t również zdyskretyzujemy i kolejne okresy ponumerujemy to zamiast
zapiszemy
.

Równanie stanu (4.1) po uwzględnieniu okresu próbkowania możemy zapisać

,

a po przyjęciu założenia T_P=1 mamy

stąd

Pamiętając o różnicy polegającej na oznaczeniu (a+1) jako a, przez analogię do równania różniczkowego (4.1) różnicowe równanie stanu zapiszemy:

(4.52a)

oraz równanie na zmienną wyjściową

(4.52b)

Schemat struktury równań pokazano na rysunku 4.4.

Podobnie przedstawiamy układ dyskretny wielowymiarowy w zapisie wektorowo-macierzowym

(4.53a)

(4.53b)

Układ o jednym wyjściu i podlegający jednemu sterowaniu.

(4.54a)

(4.54b)

Zapis łączący wyjście z wejściem przedstawiony w formie jednego równania różnicowego

(4.55)

W celu sprowadzenia równania różnicowego do równania algebraicznego, analogicznie do transformaty Laplace'a
dla układów ciągłych wprowadza się transformatę Z

(4.56)

Zauważmy, że całka przeszła w sumę, a
.

Przy zerowych warunkach początkowych po transformacji równania różnicowego mamy

(4.57)

Wprowadzając pojęcie transmitancji dyskretnej otrzymamy

(4.58)

Wskazując nadal na analogie do układów ciągłych, z wymuszonej odpowiedzi w dziedzinie Z,

(4.59)

na podstawie sumy splotowej, możemy obliczyć jej przebieg w zdyskretyzowanym czasie k

(4.60)

gdzie
jest dyskretną charakterystyką impulsową, stanowiącą transformatę odwrotną transmitancji
.

Śledząc nadal analogie do układów ciągłych, dyskretny układ wielowymiarowy po transformacji przy zerowych warunkach początkowych zapiszemy

(4.61a)

(4.61b)

i można określić dyskretną transmitancję macierzową

(4.62)

Wnioskując podobnie jak w przypadku układu ciągłego pierwiastki równania charakterystycznego
, będące zarazem wartościami własnymi macierzy A, są wartościami własnymi układu i biegunami transmitancji dyskretnej. Te wartości własne z_i pojawią się w rozwiązaniach czasowych jako z_i^k , a przy pierwiastkach wielokrotnych - kz_i^k, k² z_i^k....

Macierz
wystąpi także w transformacie rozwiązania swobodnego.

(4.63)

Po transformacji

(4.64)

(4.65) czyli

(4.66)

Transformata odwrotna wyrażenia
jest macierzą podstawową rozwiązań równania stanu. Dla układu dyskretnego macierz podstawową można wyrazić znacznie prościej metoda rekurencyjną.

(4.67)

Widzimy, że macierz podstawowa jest równa
, a pełne równanie wyjścia wyrażone przy pomocy macierzy podstawowej ma postać

(4.68)

W rozwiązaniach równania różnicowego wystąpią wartości własne podniesione do potęgi k (zdyskretyzowanego czasu) -
. Warunkiem stabilności jest więc aby wartości bezwzględne wszystkich wartości własnych były mniejsze od jedności

Przy pojedynczym pierwiastku rzeczywistym
, lub parze pierwiastków zespolonych o module równym jeden układ będzie na granicy stabilności (stabilny, ale nie asymptotycznie), co odpowiada przypadkowi
w układzie ciągłym.

Podobnie wygląda sprawa sterowalności i obserwowalności układów ciągłych i dyskretnych, z tym że dodatkowo w wyjściu układu dyskretnego może się nie ujawnić przebieg okresowy jeżeli jego okres będzie zsynchronizowany z okresem próbkowania T_P.

W tabeli na stronie 78 zestawiono transformaty i oryginały podstawowych funkcji.

Opis dynamiki układów ciągłych ma bogatszą historię od opisu układów dyskretnych, więc uzasadnione jest odwoływanie się częste do analogii i zaznaczanie różnic mających tu miejsce. Warto również pokazać możliwości przejścia z opisu obiektów w dziedzinie transformaty
na dyskretną transformatę
.

Porównując transformatę Laplace'a z transformatą
widzimy, że miejsce całki zajęła suma, a wyrażenia
zmienna
. Przy bardzo małym jednostkowym
odstępie próbkowania
w stosunku do czasu zauważalnych zmian sygnałów, wynik całkowania i sumowania będzie praktycznie taki sam. Można wówczas przyjąć, że
. Jeżeli następnie skorzystamy ze stosowanego i traktowanego jako dobre rozwinięcia
w szereg Fouriera

i ograniczymy się tylko z dwu pierwszych wyrazów rozwinięć to otrzymamy związek
.

Przejście z transformaty
do
nie jest jednoznaczne, a różne możliwości tego przejścia można uzyskać z interpretacji transformat całki.

Licząc całkę
ze zmiennej
o przebiegu jak na rysunku 4.5 i korzystając tylko z informacji o wartościach
w dyskretnych momentach czasu
przyrost wartości całki po jednym okresie
możemy w sposób przybliżony obliczyć na kilka sposobów:

1. 
   - z niedomiarem,

2. 
   - z nadmiarem;

3. 
   - jako średnia arytmetyczna.

Odpowiada to w dziedzinie zmiennej
wyrażeniom:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Transmitancja całki
w dziedzinie zmiennej
jest równa
.

Wyliczona ta sama transformata w dziedzinie zmiennej

prowadzi w kolejnych przypadkach do związków:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Najczęściej korzysta się z relacji 2.

Na przykład na podstawie tego podstawienia możemy wychodząc z postaci ciągłej uzyskać dyskretną transmitancję regulatora PID:

co można przekształcić do postaci

gdzie:

;
;

1. Płaszczyzna stanu.

Pełne odwzorowanie stanu na płaszczyźnie możemy przedstawić tylko dla obiektów pierwszego i drugiego rzędu. Płaszczyzna stanu może też być pomocna w analizie obiektów nieliniowych i w zrozumieniu wpływu różnych czynników na cechy obiektów również wyższych rzędów.

Obiekt II rzędu autonomiczny (odizolowany od otoczenia) możemy przedstawić zapisem

(4.69)

Obraz trajektorii w układzie współrzędnych
jest funkcją dwóch parametrów b i c.

Na rysunku 4.6 przedstawiono wszystkie jakościowo różne typy trajektorii umieszczając je na płaszczyźnie b, c w miejscach odpowiadających danym wartościom b i c w układzie współrzędnych
.

Zwróćmy uwagę na pewne charakterystyczne cechy obrazów trajektorii.

1. Ruch punktu stanu leżącego powyżej (poniżej) osi x może się odbywać tylko w kierunku zgodnym (przeciwnym) do zwrotu osi x. Jest to uzasadnione tym że z racji zawsze dodatniego przyrostu czasu przyrost dx ma ten sam znak co
   . (W podręcznikach można spotkać nieścisłe stwierdzenie - że jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.)

2. Poza osią x nie może istnieć żaden punkt równowagi.

3. Każde przejście punktu stanu przez oś x musi się odbyć po trajektorii do niej prostopadłej. Ponieważ tangens kąta nachylenia trajektorii określa zależność

(4.70)

to przy
Kąt ten może być różny od prostego tylko gdy równocześnie
zmierzają do 0, a to oznacza zatrzymanie się na trwałe punktu stanu na osi x.

4. Przecięcia trajektorii z osią
   (w sytuacji odizolowania od wpływów otoczenia) mają nachylenia określone zależnością
   . Uzasadnimy to następująco: równania trajektorii w postaci parametrycznej, przy pierwiastkach równania charakterystycznego
   mają postać

(4.71) oraz
(4.72)

z wzorów tych i określenia funkcji
w poprzednim punkcie wynika, że przy x=0 mamy
(4.73)

Przy
wynik jest taki sam.

5. Tor punktu stanu na płaszczyźnie
   opisany równaniami (4.71) możemy traktować w przypadku pierwiastków rzeczywistych jako złożony z dwu zmieniających się w czasie wektorów leżących na kierunkach
   (4.74)

Rysunek 4.6

wektory te, których długość w chwili t=0 wynosi odpowiednio
z biegiem czasu w zależności od znaku
maleją do zera, lub wykładniczo rosną do nieskończoności. Różna zmienność tych wektorów jest powodem, że trajektoria złożona z tych dwu

prostoliniowych składowych jest linią krzywą. Ruch prostoliniowy otrzymamy tylko przy starcie z punktu leżącego na którymś z wymienionych kierunków. W przypadku pierwiastków podwójnych odpowiednikiem równań (4.70) jest postać
(4.75)

Składowe wektory leżą na kierunkach
(4.76)

Z wzorów (4.70 - 71) wynika, że jeżeli założymy
to wszystkie krzywoliniowe trajektorie z biegiem czasu zmierzają do nachylenia
, a wyszły przy
z kierunku
. Przy
zasada powyższa też obowiązuje i każda z trajektorii krzywoliniowych zatoczy łuk równy 180^o.

W przypadku pierwiastków zespolonych powyższa interpretacja możemy nadal stosować, ale wygodniej będzie skorzystać z innej postaci wzorów (4.71).

Jeżeli przyjmiemy

to równanie parametryczne trajektorii na postać
(4.77)

gdzie
, a
określają warunki początkowe.

Punkt stanu okrąża początek układu współrzędnych zgodnie z ruchem wskazówek zegara z okresem
zmieniając odległość od początku układu współrzędnych za każdym obrotem o mnożnik
.

W przypadku obiektów wyższych rzędów możemy nadal interpretować trajektorie jako złożone z tak samo pojętych składowych, ale ilość składowych jest równa rzędowi równania i na płaszczyźnie rozkład wektora wodzącego za punktem stanu na składowe nie jest jednoznaczny.

1. Linie pierwiastkowe

Linie pierwiastkowe są to krzywe na płaszczyźnie zespolonej obrazujące przemieszczanie się pierwiastków równania charakterystycznego zamkniętego UAR w funkcji zmian współczynnika wzmocnienia K układu otwartego tworzącej go pętlę.

Jeżeli transmitancję układu otwartego zapiszemy jako
gdzie transmitancja
reprezentuje dynamikę pętli o wzmocnieniu 1, to równanie charakterystyczne układu zamkniętego możemy zapisać jako

W skrajnych przypadkach zmiany wzmocnienia K mamy:

1. 
   i pierwiastki układu otwartego stają się pierwiastkami układu zamkniętego

2. 
   , zera układu otwartego stają się pierwiastkami układu zamkniętego.

Istnieją pewne reguły umożliwiające oszacowanie kształtu wykresu linii pierwiastkowych:

1. Przy układzie rzędu n wykres ma n gałęzi zaczynających się przy K=0 w n biegunach transmitancji
   .

2. Wykres jest symetryczny względem osi rzeczywistej płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

3. Każdy punkt osi rzeczywistej należy do wykresu, jeżeli na prawo od niego znajduje się ogółem nieparzysta liczba zer i biegunów rzeczywistych transmitancji
   .

4. Przy
   m gałęzi wykresu dąży do m zer transmitancji
   , pozostałych n-m gałęzi ucieka asymptotycznie do punktów leżących w nieskończoności. Asymtoty te przecinają się na osi rzeczywistej w punkcie
   

gdzie: s_i - to n biegunów, a s_0j - m zer transmitancji
i tworzą z osią rzeczywistą kąty
; k= 0,1,...,(n-m-1)

Na rysunku 4.7 pokazano kilka przykładów kształtów linii pierwiastkowych dla wybranych transmitancji
.

Rysunek 4.7

1. Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe.

Fourier wprowadził przekształcenie, które umożliwia opisywanie sygnałów i układów w sposób częstotliwościowy

(4.78a)

i przekształcenie odwrotne

(4.78b)

Formalne ograniczenia tych przekształceń skłoniły Laplace'a do zastąpienia jω zmienną zespoloną s=σ+ jω i bardziej ogólne przekształcenie Laplace'a znalazło szersze zastosowanie. Obecnie można interpretować transmitancję widmową jako powstałą z transmitancji operatorowej
przez podstawienie zamiast zmiennej s, zmiennej jω. Gdzie j jest jednostką urojoną, a ω jest liczbą rzeczywistą - częstotliwością kątową (pulsacją) mierzoną w radianach na sekundę. ω =2πf, przy czym f jest zwykłą częstotliwością przebiegu harmonicznego mierzoną w hercach.

Transmitancja widmowa

(4.79)

określa sposób obróbki w danym bloku sygnału harmonicznego o pulsacji ω. Jeżeli wymuszenie ma postać
to przebieg odpowiedzi ma postać
, zatem moduł transmitancji widmowej
określa wzmocnienie sygnałów harmonicznych, a argument
przesunięcie fazy tych sygnałów.

Obowiązują związki

;
;

;
(4.80)

W zagadnieniach automatyki istotną rolę odgrywają częstotliwościowe charakterystyki logarytmiczne [rozdział 3.2]

i
(4.81)

Ułatwiają one opis i analizę UAR przy powszechnie występującym szeregowym połączeniu członów. Iloczynom modułów odpowiadają sumy charakterystyk logarytmicznych

, (4.82)

podobnie sumują się charakterystyki fazowe

(4.83)

Wynik
podajemy w decybelach - dB. (Mnożnik 20 wprowadzili geodeci dla ułatwienia obliczeń pamięciowych.) Przy zastosowaniu na wykresach logarytmicznej skali ω uzyskujemy możliwość aproksymacji powyższych zależności (w większości przypadków) charakterystykami złożonymi z odcinków prostych.

Charakterystyki częstotliwościowe można uzyskać na drodze pomiarowej. Na wejście danego bloku należy wprowadzić wymuszenie harmoniczne o pulsacji ω₁ i zmierzyć w stanie ustalonym stosunek amplitud sygnału wyjściowego do wejściowego oraz ich przesunięcie fazowe. Pomiar należy powtarzać dla kolejnych pulsacji ω_i, aż do uzyskania dostatecznej ilości danych do wykreślenia charakterystyki.

Charakterystyki częstotliwościowe opisujące obróbkę sygnału harmonicznego w funkcji częstotliwości są przedstawiane na kilka sposobów, które pokazano na rysunku 4.8:

1. charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista),

na osiach nanosimy
i wykreślamy
;.

2. charakterystyki rzeczywista i urojona,

na osobnych wykresach przedstawiamy
w funkcji ω;

3. charakterystyki amplitudowa i fazowa,

na osobnych wykresach przedstawiamy
w funkcji ω;

4. charakterystyki logarytmiczna - amplitudowa i fazowa (wykres Bodego),

na osobnych wykresach przedstawiamy
w funkcji ω w skali logarytmicznej;

5. charakterystyka moduł logarytmiczny-argument (wykres Blacka)

na osiach wykresu nanosi się
, ω jest parametrem wykresu. Przedstawienie to zastosowane do kryterium Nyquista przejrzyście uwidacznia zapasy stabilności. Oś
umieszcza się wówczas tak że przecina się oś
w punkcie
.

1. Podstawowe własności i twierdzenia rachunku operatorowego.

Własności rachunku operatorowego wynikają z transformaty Laplace'a

Wzór ten przyporządkowuje funkcji zmiennej rzeczywistej
funkcję zmiennej zespolonej
. Przekształcenie to prowadzi do linearyzacji równań różniczkowych, co ułatwia wiele obliczeń.

Podstawowe własności:

1. Transformata iloczynu stałej przez funkcję
   .

2. Transformata sumy funkcji
   

3. Transformata pochodnej funkcji
   gdzie
   jest wartością początkową w punkcie
   
   w zastosowaniach automatyki z zasady opisy zdarzeń zaczyna się od zerowych warunków początkowych
   i wówczas stosuje się wzór uproszczony
   .

4. Transformaty całek funkcji
   ogólnie
   

5. Transformata funkcji przesuniętej w czasie - opóźnionej o czas
   
   

6. Transformata funkcji dającej przesunięcie zespolone
   

7. Twierdzenie o wartości końcowej
   Przeprowadzenie dowodu opieramy na wzorze transformaty pochodnej
   obliczmy granice obu stron tego równania przy
   
   
   a więc
   

8. Twierdzenie o wartości początkowej
   Dowodu opieramy tak jak poprzednio na wzorze transformaty pochodnej
   Obliczmy granice obu stron tego równania przy
   
   , a więc
   

Transformaty i oryginały
Transformata F^*(z) ( t=kTp)	Oryginał f(t)	Transformata F(s)
1	δ(t)	1
	1(t)
	t
;
	cos
	sin
	cosh
	sinh
;

5. Bibliografia

1. Gessing R.: „Podstawy automatyki” WPŚ Gliwice 2001

2. Górecki R. Marusak J.: Poradnik inżyniera elektryka tom I rozdział 8.1 Automatyka i robotyka WNT Warszawa, 1994,96.

3. Górecki H.: „Analiza i synteza układów regulacji z opóźnieniem” WNT Warszawa, 1971,

4. Kaczorek T.: „Teoria sterowania” Tom I i II, PWN Warszawa, 1977 i 1981

5. Kaczorek T.: „Teoria sterowania i systemów” PWN Warszawa, 1993

6. Markowski A. Kosko J. Lewandowski A.: „Automatyka ,w pytaniach i odpowiedziach”, PWN Warszawa, 1979

7. Nowacki P. Szklarski L. Górecki H.: „ Podstawy teorii układów regulacji automatycznej”

tom II (zagadnienia specjalne układów liniowych; układy nieliniowe) PWN Warszawa, 1974

8. Philippe de Larminat Yves Thomas: „Automatyka układy liniowe” tomy I II III WNT Warszawa, 1983

9. Węgrzyn S.: „Podstawy automatyki” , PWN Warszawa, 1972

10. Żelazny M.: „Podstawy automatyki”, PWN Warszawa, 1976

8







Rysunek 2.12

ω α

U_y

H_y

q_u

i_u

c

a)

b)

C

silnik

c)




Rysunek 2.13

R

R

U_u

U_y

H_y

H_u

c

a)

b)

c

c)




R

p_y

_C

P_u

Rysunek 2.15

b)

q_P

q_y

R₁

q_u

c₁

R₂

c₂

I

II

H₁

R₂

a)

q_P

q_y

c₂

R₁

q_u

c₁

I

II

H₂




b)

C

R

m

L

R

7. C

a)

c)

m

R

k

Rysunek 2.16

t

u

u(t)=u₁1(t)

y₁=K₀u₁

τ

y

t

T

Rysunek 2.18










+40

0

-40

-80

-120

-160

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

1

6

3

2

5

4

2










+90

0

-90

-180

-270

-360

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

3

1

6

5

4

2













u -1/K(A) Im

+u_m A=∞ A=0 Re


-u_m ε

u +u_m -1/K Im

-e +e ε A=0 Re


-u_m A=∞ A=



u -1/K Im

u=kε
Re


-e +e ε -1/k


u Im


Re


-e +e ε -1/k


u -1/K Im

Δu=kΔε A=0 A=∞ Re


-e +e ε -1/k


u +u_m -1/K Im

-e +e A<e Re


-u_m ε -∞

A=∞ A=e



u +u_m -1/K Im


-e -λe A<e Re

-u_m λe e ε -∞ A ≥ e

A=∞ A=e



9. Im s

10. Re s

11. 0

12. s₁

13. K

14. a)

15. Im s

16. Re s

17. 0

18. s₁

19. s₀

20. s₂

21. K

22. K

23. b)

24. Im s

25. Re s

26. 0

27. c)

28. s₂

29. s₁

30. K

31. K

32. Im s

33. Re s

34. 0

35. s₁

36. s₀

37. K

38. d)

ω

M(ω)




ω

Q(ω)




ω

P(ω)




-40

-80

-160

b)

ω

ϕ(ω)[rad]




0,1

1

10

100

ω

L(ω)[dB]

d)

-6

-4

-2

0

-80

-60

-40

-20

-π

L(ω)[dB]

ϕ(ω)[rad]

e)

c)

-π

-5

-4

-3

-2

-1

0

0

1

2

ϕ(ω)[rad]

ω

-π

-120




P(ω)

Q(ω)

a)

ω

φ(ω)

M(ω)

6. charakterystyka amplitudowo-fazowa

7. charakterystyki rzeczywista i urojona,

8. charakterystyki amplitudowa i fazowa,

9. charakterystyki logarytmiczna

- amplitudowa i fazowa

10. charakterystyka moduł logarytmiczny

-argument

Rysunek 4.8



















---