Wariant A

1. Transmitancja układu automatyki G(s) to:

Odp: $G\left( s \right) = \frac{x(s)}{u(s)}$

2. Dla jakich nastaw regulatora układ będzie stabilny?

Sygnał s traktuję jako zakłócenia i do obliczania stabilności jest on pomijany.

$$1 + G_{0}\left( s \right) = 0;\ \ \ \ \ G_{R}\left( s \right) = K_{p};\ \ \ \ \ G_{S}\left( s \right) = \frac{1}{1 + s}$$

G₀(s) = G_R(s) * G_S(s)

$$1 + K_{p}*\frac{1}{1 + s} = 0$$

s + K_p + 1 = 0

$$1^{o}A_{0} = K_{p} + 1;\ \ \ \ \ \ A_{1} = 1;\ \ \ \ \ T = \frac{A_{0}}{A_{1}} = \frac{K_{p} + 1}{1}$$

K_p + 1 > 0;     = >K_p > −1

Odp: Kp>1

3.Narysować układ automatycznej regulacji z opisem występujących członów i sygnałów dla regulacji stałowartościowej. Co to jest regulacja stałowartościowa?

Odp: Regulacja stałowartościowa to taka, której algorytm działania realizuje utrzymanie wielkości regulowanej na stałym poziomie (Krócej: reg. Stałowartościowa- utrzymanie sygnału wyjściowego na stałym poziomie). Przykładem może być klimatyzator utrzymujący stałą temperaturę w pomieszczeniu. Najczęściej stosowany układ regulacji.

w- wielkość zadana; e- uchyb regulacji; u- wielkość nastawiana; Z- zakłócenia; x- wielkość regulowana

4.Rysunek przedstawia odpowiedź skokową obiektu regulacji. Zaproponować postać transmitancji operatorowej identyfikującej układ. Podać typ członu i współczynnik transmitancji.

Odp: Po odpowiedzi skokowej widać, że mamy do czynienia z członem różniczkującym rzeczywistym.

Równanie różniczkowe członu: $A_{1}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + A_{0}\left( t \right) = B_{1}\frac{\text{du}}{\text{dt}}$ ->$T\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + x\left( t \right) = T_{D}\frac{\text{du}}{\text{dt}}$

$T = \frac{A_{1}}{A_{0}}\lbrack s\rbrack$ – stała czasowa inercjalności

$T_{D} = \frac{B_{1}}{A_{0}}\lbrack s\rbrack$ – stała czasowa różniczkowania

Transmitancja operatorowa: $G\left( s \right) = \frac{T_{D}*s}{1 + T*s}$

5. Na czym polega linearyzacja członu automatycznej regulacji?

Odp: Często zdarza się, że model matematyczny układu regulacji jest nieliniowy. Wtedy przybliża (aproksymuje) się daną funkcję nieliniową, funkcją liniową. Oznacza to odrzucenie w rozwinięciu funkcji nieliniowej w szereg Maclaurina składowych rzędu wyższego niż pierwszy. Jeżeli charakterystyka statyczna układu jest krzywoliniowa, niezbędna jest znajomość obu części opisu, gdyż współrzędne równania różniczkowego są zmienne wzdłuż charakterystyki statycznej. Linearyzacja polega na zastąpieniu krzywoliniowego odcinka charakterystyki odcinkiem prostoliniowym stycznym do krzywej w wybranym punkcie.

6. Czy układ o charakterystyce statycznej przedstawionej na rysunku jest liniowy, czy nieliniowy? Odpowiedź uzasadnij.

W układach liniowych jest spełniona zasada superpozycji. Oznacza to, że gdy wejściu u1 odpowiada wyjście x1, a wejściu u2 odpowiada wyjście x2, to wejściu a1u1+a2u2 odpowiada wyjście a1x1+a2x2, gdzie a1,a2 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zasada ta nie jest spełniona dla układów nieliniowych. W powyższej charakterystyce statycznej jednemu wejściu u1 odpowiadają dwa wyjścia x1 i x2, co oznacza, że układ ten jest nieliniowy.

Wariant B

1.Graficzne charakterystyki częstotliwościowe przedstawiono na rysunkach:

Odp: B- wykres Bode (α(ω)), D- wykres NYQUIST’a (Q(P))

1. Wykres charakterystyki statycznej, C- charakterystyka dynamiczna (nie jestem pewien bo nie widzę co jest na zdjęciu)

2.Czy dla obiektu astatycznego można zastosować regulator całkujący? Odpowiedź uzasadnij.

Gdy obiekt jest astatyczny, jego transmitancja wynosi: $G_{s}\left( s \right) = \frac{1}{T*s}*\frac{k_{s}}{1 + T_{1}s + T_{2}s^{2} + \ldots}$

Transmitancja regulatora całkującego I wynosi: $G_{R}\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s}$ sprawdźmy więc czy układ jest stabilny. Do obliczeń przyjmę $G_{s}\left( s \right) = \frac{1}{s}$

1 + G₀(s) = 0;       G₀(s) = G_R(s) * G_S(s)

$$1 + \frac{1}{T_{i}s}*\frac{1}{s} = 0$$

T_i * s² + 1 = 0

1^o Warunek konieczny stabilności

A₀ = 1;   A₁ = 0;   A₂ = T_i

A₁ = 0    uklad niestabilny

Odp: Nie można zastosować regulatora całkującego do obiektu astatycznego ponieważ układ ten byłby niestabilny.

3.Narysować układ automatycznej regulacji z opisem występujących członów isygnałów dla regulacji programowej. Co to jest regulacja programowa?

w- wielkość zadana; e- uchyb regulacji; u- wielkość nastawiana; Z- zakłócenia; x- wielkość regulowana

Regulacja programowa toregulacja automatyczna, w której zadana wartość wielkości regulowanej jest znaną z góry funkcją czasu i zmienia się wg określonego programu; stosowana np. w obrabiarkach automatycznych wykonujących elementy o zadanym kształcie.

4.Napisać i narysować równanie charakterystyki statycznej dla układu o równaniu ruchu:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{\text{dx}}{\text{dt}} + 0,5x^{2}\left( t \right) = 6u\left( t \right) + \frac{\text{du}}{\text{dt}}$

$$t \rightarrow \infty,\ wiec\ \frac{d^{2}x}{dt^{2}},\frac{\text{dx}}{\text{dt}},\frac{\text{du}}{\text{dt}} \rightarrow 0,\ \ \ \ \ wiec\ \ \ \ \ \ \ 0,5x^{2}\left( t \right) = 6u(t)$$

x(t) = x_s,       u(t) = u_s

$$x_{s} = \sqrt{12u_{s}}$$

5.Układ automatycznej regulacji ma następujący schemat blokowy. Napisać transmitancję operatorową.

Wyznaczam transmitancję zastępczą dla G2 oraz drugiego od lewej sumatora, oznaczam przez G3:

Gs=xs/us G₃=G₂/(1+G₂) G(s)=G₁G₃/(1+G₁G₃)=[G₁*(G₂/(1+G₂))]/ [1+G₁*(G₂/(1+G₂))].

6.Dana jest transmitancja obiektu regulacji.$\text{\ G}\left( s \right) = \frac{x(s)}{u(s)} = \frac{1 + s}{1 + s + s^{2}}$Wyznaczyć i narysować jego charakterystykę statyczną.

x(s) * (1+s+s²) = u(s) * (1 + s)

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{\text{dx}}{\text{dt}} + x\left( t \right) = u\left( t \right) + \frac{\text{du}}{\text{dt}}$$

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\ \frac{\text{dx}}{\text{dt}},\ \frac{\text{du}}{\text{dt}} \rightarrow 0$$

x(t) = u(t)

x(t) = x_s,   u(t) = u_s,    →  x_s = u_s

Wariant C

1.Czy układ dynamiczny to układ w którym rozpatruje się:

Odp: a,c

2.Dany jest schemat układu automatycznej regulacji. Napisać równanie charakterystyczne. Czy układ będzie stabilny? Odpowiedź uzasadnij.

Pomijamy zakłócenia

$$G_{s}\left( s \right) = \frac{x_{s}}{u_{s}} = \frac{\frac{1}{2s}*\frac{2s}{s + 1}}{5 + \frac{1}{2s}*\frac{2s}{s + 1}} = \frac{\frac{1}{s + 1}}{5 + \frac{1}{s + 1}} = \frac{1}{5s + 6}$$

Równanie charakterystyczne: 5s+6=0

Stabilność:

$$G_{R}\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s},\ \ \ \ \ 1 + G_{R}G_{S} = 0,\ \ \ \ \ \ 1 + \frac{1}{T_{i}s}*\frac{1}{5s + 6} = 0$$

T_is(5s+6) + 1 = 0,         5T_is² + 6T_is + 1 = 0

1^o Warunek konieczny :     A₀ = 1,     A₁ = 6T_i,     A₂ = 5T_i

$${2^{o}\text{\ Wyznacznik\ Hurwit}r^{'}a:\ \ \ \ }_{2} > 0,\ \ \ \ \ _{2} = \begin{matrix} 6T_{i} & 5T_{i} \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} = 6T_{i}$$

T_i > 0 zawsze spelnione

Układ jest stabilny

3.Narysować układ automatycznej regulacji z opisem występujących członów i sygnałów dla regulacji nadążnej. Co to jest regulacja nadążna?

w- wielkość zadana; e- uchyb regulacji; u- wielkość nastawiana; Z- zakłócenia; x- wielkość regulowana

Regulacja nadążna: układ, którego algorytm realizuje pewien przebieg wielkości sterowanej, przy czym przebieg ten nie jest znany. Sygnał sterujący jest nieznaną funkcją czasu a zmiany tego sygnału nie zależą od procesów zachodzących wewnątrz układu regulacji, tylko od zjawisk zachodzących poza nim. Zmiany wartości zadanej są również nie znane w=f(t). Zadaniem tego układu jest takie sterowanie obiektem, aby zmiany wielkości regulowanej nadążały za zmianami wartości zadanej.

4.Rysunek przedstawia charakterystykę amplitudową czujnika pomiarowego. Podać wartość częstotliwości granicznej tego czujnika. Odpowiedź uzasadnić.

$${f}_{\text{gr}} = \frac{\omega}{2\pi},\ \ \ \omega = 1,\ \ f_{\text{gr}} = \frac{1}{6,28} \cong 0,16\lbrack Hz\rbrack$$

Częstotliwość graniczna to taka, dla której kończy się umowne pasmo przenoszenia. Jej wartość oblicza się dla ω=1 gdyż jest to szczyt rezonansowy. Z charakterystyki widać, że tłumienie w tym czujniku jest małe (ζ=0,1:0,2). Jest to układ sterowania dolnoprzepustowy.

5.Rysunek przedstawia odpowiedź skokową układu automatycznej regulacji. Na podstawie przebiegu odpowiedzi wyznacz:-uchyb w stanie ustalonym (zaznaczyć również na rysunku),-przesterowanie, -współczynnik wzmocnienia układu

Czerwone strzałki: uchyb regulacji e_s = w_s − x_s = 0, 8 − 0, 7 = 0, 1

Przesterowanie $D = 100\%*\frac{x_{\max} - x_{s}}{x_{s}} = \frac{1 - 0,7}{0,7}*100\% = 42,86\%$

Współczynnik wzmocnienia układu Kp=0,8

6.Opisać i narysować zapas stabilności układu automatycznej regulacji.

Od układu automatycznej regulacji żąda się rezerwy w postaci bezpiecznej odległości krzywej Go(jω) od punktu krytycznego [Pk(-1; j0)] w postaci zapasu fazy φ₀(>30) oraz zapasu amplitudy $\frac{1}{\alpha_{0}}( > 2)$.

Wariant D

1.Dana jest charakterystyka częstotliwościowa w układnie Nyquista. Wyznaczyć częstotliwość rezonansową ω_R oraz amplitudę α_R(orientacyjnie). Narysować tę charakterystykę w układzie Bode.

Maksymalna wartość amplitudy α(ω)=|G(jω)| odpowiada pulsacji rezonansowej ωr. Wartość α(ω) przyjmuje największą wartość dla ωr=15 ponieważ $\alpha\left( \omega \right) = \left| G(j\omega) \right| = \sqrt{\text{Im}^{2} + \text{Re}^{2}} \cong \sqrt{{2,55}^{2} + {0,2}^{2}} \cong 2,56 = max$

2.Podać podstawową definicję stabilności układu liniowego.

Stabilność układu sterowania to zdolność układu do powrotu do stanu równowagi po dowolnym wyprowadzeniu go z tego stanu, zdolność do ograniczonej odpowiedzi na dowolne ograniczone wymuszenie.

3.Narysować układ automatycznej regulacji z opisem występujących członów i sygnałów dla regulacji nadążnej. Co to jest regulacja nadążna?

W=f(t), regu. nadążna-algorytm działania, realizuje pewien przebieg wlk.sterowanej przy czym przebieg ten nie jest zmienny. Sygnal sterujący jest niezmienna funkcja czasu. Na zmiany sygnalu wpływają tylko zjawiska zachodzące poza układem. z-zakłucenia,e-uchyb regulacji, ψ-sygnał zadany,x-syg.regulowany,Q-syg.wyjscio. (RYS)

4.Rysunek przedstawia charakterystykę częstotliwościową układu. Podać transmitancję tego członu i wyznaczyć jej współczynniki. Jak to człon?

Ponieważ, czytając z wykresów, kąt fazowy nie zmienia się w stosunku do pulsacji (wynosi 0) tak samo jak amplituda (która wynosi 3), stwierdzam iż na wykresie Nyquista był by on punktem na osi liczb rzeczywistych o współrzędnych (3,0). Taką charakterystyką częstotliwościową charakteryzuje się człon proporcjonalny. Transmitancja operatorowa tego układu wynosi G_RP(s) = K_p, gdzie Kp jest współczynnikiem wzmocnienia regulatora. Równanie różniczkowe to A₀x(t) = B₀u(t),  równanie standardowe $x\left( t \right) = K_{p}*u\left( t \right);\ \ \ \ K_{p} = \frac{B_{0}}{A_{0}}.$

5.Na wejście członu o transmitancji G(s)=5s podano sygnał harmoniczny u(t)=3sin(4t). Podać postać sygnału wyjściowego x(t)=?

$G\left( s \right) = \frac{X(s)}{U(s)}$ , X(s) = G(s) * U(s) ; x(t) = ℒ⁻¹[X(s)] ; U(s)=ℒ[u(t)]

$\mathcal{L}\left\lbrack \sin\left( \text{at} \right) \right\rbrack = \frac{a}{s^{2} + a^{2}}$ , $U\left( s \right)\mathcal{= L}\left\lbrack 3\sin\left( 4t \right) \right\rbrack = 3*\frac{4}{s^{2} + 16} = \frac{12}{s^{2} + 16}$ ; $X\left( s \right) = 5s*\frac{12}{s^{2} + 16} = \frac{60s}{s^{2} + 16}$

X(s)=ℒ[x(t)] , $\mathcal{L}\left\lbrack \cos\left( \text{at} \right) \right\rbrack = \frac{s}{s^{2} + a^{2}}$ , Odpowiedź: x(t) = 60cos(4t)

6.Opisać nastawy układu automatycznej regulacji wg Metody Zieglera-Nicholasa.

Przyjmuje się, ogólnie, że obiekt sterowania ma transmitancję typu:

$$G_{s}\left( s \right) = \frac{K_{s}}{1 + T_{s}*s}*e^{- T*s}$$

Procedura odnosi się do trzech typów regulatorów: P, PI, PID. Reguły doboru nastawień regulatora:

1)Nastawić regulator na działanie proporcjonalne (P), przyjmując T_i = ∞,  T_d = 0. Zwiększając wartość współczynnika wzmocnienia regulatora, K_p, doprowadzić układ sterowania do granicy stabilności; wartość współczynnika regulatora w tym stanie nazywa się krytycznym

2)Określić wartość okresu oscylacji występujących na granicy stabilności układu sterowania, $T_{k} = \frac{2\pi}{\omega_{k}},\ \ \ \ \omega_{k}$- pulsacja drgań własnych układu

3)W zależności od typu regulatora, przyjąć:

*Regulator P: K_p = 0, 5K_pk,

*Regulator PI: K_p = 0, 45K_pk,  T_i = 0, 85T_k,

*Regulator PID: K_p = 0, 6K_pk,  T_i = 0, 5T_k,  T_d = 0, 12T_k

Wariant E

1.Czy przedst.charakt.statyczn.to charakt.Członu:BCD. 2.Ukł.ze sprzę.zwrot.w torze gł.zastosow.wzmac...G(s)=1/T₁s… -

Tor bezinercyjny G₀=(1/T_iS)*K G₀=K/T_iS G=(1/T_iS)/[1+(1/(T_iS)*K] G=1/(T_iS+K).

3.Nary.schem.blok.i opisać regul.ekstremalną:Regul.ekstremalna-to ukł reg.w którym regul.przebieg.tak aby wlk.regulowane przybrały wartości ekstremalne, w ukł.takich stosuje się obiekty których charakt. statyczne posiadają max i min.(RYS.)//

4.Schem.blok.UAR przedst.jest na rys. zastosow.regulat.typu PI dla jakich nastaw regul. ukł. jest stabilny : $G\left( s \right) = k_{p}\left( 1 + \frac{1}{\text{Tis}} \right)*\frac{1}{s + 1}$,$\ 1 + kp\left( 1 + \frac{1}{\text{Tis}} \right)*\frac{1}{s + 1} = 0$ , k_pTis + k_p + Tis² + Tis = 0, Tis² + s(kpTi+Ti)kp = 0, A₂=Ti, A1= kpTi+Ti, A0= kp//// 5.Rys.przedst.odp…obiektu regul.zaproponow… transmitancji operator…-układ człon prpoprcjonalnie inercyjny równ.:Tx (t)+x(t)=k*u(t) transmitancja: G(s)=k/(1+Ts) G(s)=x(s)/u(s) , k=2, T=2s./// 6.Na rys.podano charakte. ... czy w ukł...jezeli tak to wyznaczyć M_śr=|ξ (jw)max|/G_o=2,6/1=2,6 ukł.proprcjonalnie oscylacyjny: współczynnik wzmocnienia k=B_o/A_o współczynnik tłumienia z=0,5*pierw(A₁²/(A₀*A₂)).

Wariant F

1.Charakterystyka statyczna to: Odp: C

2.Przedstawiono charakterystykę częstotliwościową układu otwartego. Czy po zamknięciu układ będzie stabilny? Odpowiedź uzasadnić.

-ukł.regulacji po zamknięciu NIE jest stabilny, ponieważ P_k nie leży po lewej stron.charakterystyki częstotliwościowej układu tylko po prawej str.tego ukł.

3.Zbadać stabilność UAR z regulatorem typu I oraz obiektem o transmitancji: $G\left( s \right) = \frac{2}{0,1s(1 + 2s)}$

G(s)=$\frac{2}{0,1s\left( 1 + 2s \right)}$ , $G_{R} = \frac{1}{\text{TiS}}\ ,\ 1 + G_{s\ }G_{R}\ 1 + \frac{2}{0,1s\ \left( 1 + 2s \right)}*\frac{1}{\text{TiS}} = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

1 + 0, 1s(1+2s) * TiS = 0,     1 + 0, 3 TiS² = 0 ,,, A₂ = Ti,   A₁ = 0 − uklad niestabilny,   A₀ = 1

4.Narysować układ automatycznej regulacji z opisem występujących członów i sygnałów.

5.Układ ze sprzężeniem zwrotnym. W torze głównym zastosowano wzmacniacz całkujący o transmitancji $G\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s}$. Tor sprzężenia zwrotnego jest bezinercyjny. Podać transmitancję operatorową powstałego układu. G(s)== $\frac{1}{\text{Tis}}$, G₀ = $\frac{1}{\text{Tis}}$*k; G₀ = $\frac{k}{\text{Tis}}$; G = $\frac{\frac{1}{\text{Tis}}}{1 + \frac{1}{\text{Tis}}*k}$ = $\frac{\frac{1}{\text{Tis}}}{1 + \frac{k}{\text{Tis}}}$; G = $\frac{1}{\text{Tis} + k}$.

6.Rysunek przedstawia charakterystykę częstotliwościową układu. Podać postać transmitancji tego członu i wyznaczyć jej współczynniki. Jaki to człon?

Taką charakterystyką częstotliwościową charakteryzuje się człon proporcjonalny (P). Transmitancja operatorowa tego układu wynosi G_RP(s) = K_p, gdzie Kp jest współczynnikiem wzmocnienia regulatora. Równanie różniczkowe to A₀x(t) = B₀u(t),  równanie standardowe $x\left( t \right) = K_{p}*u\left( t \right);\ \ \ \ K_{p} = \frac{B_{0}}{A_{0}}.$ Amplituda α=2=const, φ=0=const.