KINEMATYKA - RUCH JEDNOWYMIAROWY
Kinematyka zajmuje się związkami między położeniem, prędkością i przyspieszeniem badanej cząstki czy ciała.
W KINEMATYCE nie obchodzi nas skąd bierze się przyspieszenie czy siła - tym się zajmuje DYNAMIKA.
RUCH JEDNOWYMIAROWY - to jest ruch po linii prostej.
Definicja:
PRĘDKOŚĆ to jest zmiana odległości w jednostce czasu
2.1. Prędkość stała:
Wykres położenia samochodu w funkcji czasu dla samochodu poruszającego się ze stałą prędkością v :
(2.1)
Prędkość chwilowa (definicja):
Właśnie tak definiuje się w rachunku
różniczkowym pierwsza pochodna x względem t, co zapisujemy jako:
(2.2)
Dla funkcji wykładniczej ogólnie pochodna tn jest
Przykład 1
Przypuśćmy, że x rośnie jako kwadrat czasu, czyli . Jaka będzie prędkość chwilowa w chwili t1 ?
Rozwiązanie w oparciu na rachunek różniczkowy:
Rozwiązanie nie używając rachunku różniczkowego:
W granicy drugi składnik znika, czyli .
Linia prosta ma nachylenie
(x-x0)/(t-t0).
To ilustruje, że nachylenie krzywej przedstawiającej zależność x od t jest prędkością chwilową:
W granicy drugi składnik znika, czyli .
2.2. Prędkość średnia
Definicja prędkości średniej : (2.3)
Definicja średniej ważonej:
(2.4)
Gdybyśmy zamiast t1 i t2 użyli x1 i x2 jako czynników wagowych, otrzymalibyśmy prędkość średnią względem odległości. W kinematyce przejmuje się konwersję, że termin prędkość średnia oznacza prędkość średnią względem czasu, a jeśli jest inaczej trzeba to wyraźnie stwierdzić.
W przypadku bardziej ogólnym, kiedy prędkość staje się zmienna
(2.5)
gdzie
.
Każdy składnik w tym wzorze jest odległością którą ciał przebywa w czasie tj . Równanie (2.5) można więc zapisać następująco
. Suma , która się nazywa przesunięciem wypadkowym, jest algebraicznie równa , gdzie jest położeniem początkowym, a jest położeniem po czasie . A więc: .
Równanie (2.5) można zapisać przy użyciu
sumy lub całki .
2.3 Przyspieszenie
Definicja: Przyspieszenie jest tempem zmiany prędkości
Przyspieszenie jednostajne:
Przyspieszenie jest stałe, gdy ,
czyli (stałe przyspieszenie) (2.6)
gdzie jest wzrostem prędkości w czasie .
Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę kwadrat (m/s2).
Przyspieszenie chwilowe:
Jeżeli przyspieszenie zmienia się z czasem, musimy mierzyć zmianę prędkości w ciągu krótkiego odstępu czasu . Wówczas , czyli
definicją przyspieszenia jest:
(przyspieszenie chwilowe) (2.7)
Przyspieszenie grawitacyjne:
W pobliżu powierzchni Ziemi każdy przedmiot upuszczony swobodnie spada ku środkowi Ziemi ze stałym przyspieszeniem równym 9.8 m/s2.
Przyspieszenie to jest niezależne od masy ciała, jego składu, ani od jego prędkości.
Tej specjalnej wartości przyspieszenia nadano symbol
(przyspieszenie grawitacyjne)
Traktujemy jako wielkość dodatnią. Jeśli więc skierujemy oś w górę, to przyspieszenie będzie .
Zauważcie, że w tym przykładzie uzyskaliśmy prędkość nieco większą od prędkości światła która jest równa
2,998.108 m/s !!!???
Efekt relatywistyczny
Jeśli chcemy być ściśli, to musimy raczej uważać równań z teorii względności Einsteina niż z równań takich jak (2.6).
Równaniem równań z teorii względności, które odpowiada równaniu jest , gdzie jest prędkością światła, zaś stałym przyspieszeniem, takim jakie mierzy obserwator na przyspieszającym się ciele.
Jeżeli jest znacznie mniejsze od , wtedy .
Ruch jednostajnie przyspieszony
Często chcemy określić nie prędkość lecz położenie ciała które jest w ruchu. Z równania (2.3) otrzymujemy
(2.8)
W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od wartości do wartości . Średnia wartość prędkości, jak widać to z rys. 2.3, jest , co jest średnią wielkością narysowanej tam prostej.
W równaniu (2.8) zamiast podstawiamy i otrzymamy wtedy . Z równania (2.6) mamy . Teraz w poprzednim równaniu zamiast podstawiamy
(2.9) (dla stałego )
Droga przebyta przez ciało, które na początku było w stanie spoczynku i które podlega stałemu przyspieszeniu, rośnie jako kwadrat czasu.
Rys. 2.4 Fotografia stroboskopowa dwóch swobodnie spadających kul o różnych masach. Zdjęcia zrobiono co 1/30 s.
Rys. 2.5.
a - Wykres wg. równania (2.9); b - pochodna tej krzywej; c - pochodna krzywej (b), a więc przyspieszenie.
Związek między prędkością a odległością
Rozwiązując równanie (2.6) względem czasu t podstawiając wynik do równania (2.9) ,
,
(2.10) (przy stałym a).
Podsumowanie
Ruch po linii prostej ze stałą prędkością jest opisany równaniem
Takie samo równanie jest prawdziwe dla prędkości średniej
Prędkość chwilowa jest równa
Przy stałym przyspieszeniu mamy
i również
przyspieszenie chwilowe jest równe
7
8
Fizyka Semestr 1 RUCH JEDNOWYMIAROWY
Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki Prof. dr hab. Aleksy Patrin