Krystyna Gronostaj

Zespó* Fizyki, Akademia Rolnicza

Do użytku wewnętrznego

ĆWICZENIE 2

POMIAR CIĘŻARU WŁAŚCIWEGO CIAŁ

STAŁYCH I CIECZY PRZY POMOCY WAGI

HYDROSTATYCZNEJ

Krak*w 1998.09.20

I. Część teoretyczna

I. Część teoretyczna

1. Definicja ciężaru właściwego

Ciężar właściwy ciała γ jest to ciężar jednostki objętości tego ciała i wyraża się stosunkiem ciężaru ciała do jego objętości.

(1)

gdzie - ciężar ciała

V - objętość

Jednostką ciężaru właściwego w układzie SI jest 1 N/m³.

Ciężar właściwy nie jest niezmienną cechą danego rodzaju substacji, ponieważ w różnych miejscach na Ziemi ta sama substancja ma różny ciężar właściwy.

Wielkością, która charakteryzuje substancję i nie zależy od miejsca na powierzchni Ziemi jest gęstość lub inaczej masa właściwa ciała. Gęstość jest to masa jednostki objętości ciała i wyraża się stosunkiem masy ciała do jego objętości

w przypadku ciał jednorodnych (1')

oraz dla ciał niejednorodnych. Gęstość wyrażamy w kg/m³.

Gęstością względną nazywamy stosunek gęstości dwóch substancji. Najczęściej gęstość względną określa się w stosunku do wody destylowanej.

Ciężar właściwy i gęstość są związane zależnością:

(2)

Jak wiadomo, objętość ciała zależy od warunków zewnętrznych, w jakich ciało się znajduje tj. temperatury i ciśnienia.

Na ogół ze wzrostem temperatury objętość wzrasta co prowadzi do zmniejszenia zarówno gęstości ciała jak i jego ciężaru właściwego.

Niektóre ciecze, a zwłaszcza woda, wykazują pewne charakterystyczne anomalie. W zakresie temperatur od 0° - 4°C objętość wody maleje, a powyżej 4° C rośnie jak dla innych ciał.

Ze wzrostem ciśnienia objętość ciał maleje, co prowadzi do zwiększenia ich ciężaru właściwego i gęstości.

Metoda pomiaru ciężaru właściwego przyjęta w tym ćwiczeniu polega jedynie na ważeniu ciał i wykorzystaniu prawa Archimedesa. Przedstawienie tej metody wymaga podania kilku faktów dotyczących zachowania się płynów w polu grawitacyjnym. Do płynów zaliczamy ciecze i gazy. W szczególności interesować nas będzie dział mechaniki płynów zwany statyką płynów. Przedmiotem badań statyki płynów jest równowaga płynów poddanych działaniu sił.

2. Ciśnienie wewnątrz płynu

Aby opisać działanie siły na płyn wprowadzamy ciśnienie p. Ciśnienie jest zdefiniowane jako stosunek siły F prostopadłej do powierzchni do wielkości tej powierzchni S

(3)

W statyce płynów traktujemy ciśnienie jako wielkość skalarną. Jednostką ciśnienia jest 1 pascal (1Pa). Jest to wartość ciśnienia wywieranego przez siłę 1N na powierzchnię 1 m².

Rozważmy pewien płyn o ciężarze właściwym γ znajdującym się w równowadze. W równowadze jest więc każdy element objętości tego płynu. Jeżeli przyjmiemy, że element ten ma kształt dysku o powierzchni S i grubości dz, wówczas jego ciężar

Siły wywierane na wybrany element przez otaczający płyn są w każdym punkcie prostopadłe do jego powierzchni (rys. 1).

Siły działające na boczną ściankę wybranego elementu objętości są skierowane poziomo, natomiast na ściankę dolną i górną - pionowo.

Warunkiem równowagi elementu objętości jest równoważenie się sił działających zarówno w kierunku poziomym jak i pionowym. W kierunku poziomym działają jedynie siły wywierane przez otaczający płyn. Ze względu na symetrię siły te równoważą się na każdej wysokości z. W kierunku pionowym działają następujące siły (rys. 2):

- siła wywierana przez otaczający płyn na górną powierzchnię elementu cieczy

- siła wywierana przez otaczający płyn na dolną powierzchnię elementu cieczy

- ciężar rozpatrywanego elementu cieczy.

Aby siły działające w kierunku pionowym równoważyły się, wypadkowa sił F₁ i F₂ musi być różna od zera i skierowana przeciwnie do ciężaru rozpatrywanego elementu objętości.

Rys. 2. Siły działajce w kierunku pionowym na wybrany element objętości.

W wybranym układzie współrzędnych warunek równowagi przyjmuje postać:

(4)

(5)

(6)

(7)

Aby wykonać całkowanie (7), należy znać gęstość q jako funkcję wysokości z, oraz należy uwzględnić zależność przyspieszenia ziemskiego g od wysokości.

a) W przypadku cieczy gęstość jest praktycznie stała, gdyż ciecze są prawie nieściśliwe. Zmiany wysokości są na tyle małe, że można zaniedbać zmiany przyspieszenia ziemskiego wraz z wysokością. Przyjmując w równaniu (7) q i g za stałe otrzymujemy dla jednorodnych cieczy

(8)

Jeśli jako poziom odniesienia przyjmujemy powierzchnię swobodną cieczy, wówczas ciśnienie p₂ jest równe zazwyczaj ciśnieniu atmosferycznemu p₀, różnica poziomów (z₂ - z₁), jest równa głębokości cieczy h, ciśnienie na dowolnym poziomie z₁ wynosi p. Wzór (8) przybiera postać:

(9)

Ciśnienie p panujące w cieczy na głębokości h jest zatem sumą ciśnienia zewnętrznego p₀ i wielkości ρgh zwanej ciśnieniem hydrostatycznym.

Graficznie zależność tę dla wody przedstawia rys. 3.

Rys. 3. Ciśnienie w wodzie na różnych głębokościach.

We wszystkich punktach znajdujących się na tej samej głębokości w cieczy ciśnienie jest jednakowe.

b) Dla gazów gęstość ρ jest w porównaniu z gęstością cieczy , a więc i zmiana gęstości wraz z wysokością, spowodowana ściśliwością gazów, jest również niewielka. W przypadku gazu znajdującego się w naczyniu można z dobrym przybliżeniem przyjąć, że ciśnienie jest jednakowe we wszystkich punktach.

Gdy wysokość słupa gazu jest duża, powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe. W tym przypadku należy uwzględnić zmiany gęstości gazu wraz z wysokością.

Aby obliczyć ciśnienie powietrza na wysokości h nad poziomem morza przyjmujemy następujące założenia:

a) przyspieszenie ziemskie jest stałe,

b) temperatura powietrza jest stała (założenie to znacznie ułatwia rachunki, ale nie jest całkowicie poprawne),

c) powietrze traktujemy jak gaz doskonały.

Uwzględniając powyższe założenia oraz wzór (7) otrzymujemy zależności ciśnienia atmosferycznego p od wysokości h (rys. 4).

(10)

gdzie: p₀ - ciśnienie na poziomie morza

ρ₀ - gęstość na poziomie morza

g - przyspieszenie ziemskie

Wzór 10 znamy jako „wzór barometryczny”

Rys. 4. Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości.

W rzeczywistości zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości różni się od przedstawionej na rysunku 4. Główne przyczyny różnic to:

1) ruch mas powietrza w atmosferze ziemskiej,

2) zmiana przyspieszenia ziemskiego wraz z wysokością.

Atmosfera Ziemi rozciąga się na wysokości około 100 km, przy czym 9/10 masy atmosfery ziemskiej mieści się w warstwie o wysokości 16 km: jest to tzw. troposfera. Względna zmiana przyspieszenia ziemskiego na wysokości 16 km nad poziomem morza wynosi około 0.5%.

3) obniżanie się temperatury w miarę wzrostu wysokości.

Temperatura powietrza w troposferze maleje o około 6,5° na km, przyjmując na wysokości 15 km wartość 190 K (-83°C). Wynika to z faktu, że powietrze nie jest ogrzewane bezpośrednio przez promienie słoneczne, lecz pośrednio od nagrzanej powierzchni Ziemi i dlatego temperatura dolnych warstw atmosfery jest wyższa. Jak widać, założenie, że temperatura powietrza jest stała, nie jest prawdziwe.

Jak wynika ze wzrów (7) i (10) ciśnienie hydrostatyczne w wodzie na głębokości 1 km ma wartość p = 100 p₀, natomiast ciśnienie atmosferyczne na wysokości 1 km ma wartość p = 0.88 p₀ (p₀ - ciśnienie na poziomie morza).

3. Paradoks hydrostatyczny

Zgodnie ze wzorem (9) ciśnienie hydrostatyczne zależy jedynie od wysokości słupa cieczy (od głębokości zanurzenia) i jej ciężaru właściwego. Ciśnienie wywierane przez ciecz na dno naczynia nie zależy więc od kształtu naczynia. Załóżmy, że w trzech naczyniach o różnych kształtach znajduje się ta sama ciecz (rys. 5). Przyjmujmy, że zarówno pola powierzchni dana jak i wysokości słupów cieczy są we wszystkich naczyniach jednakowe. Wynika stąd, że ciśnienie wywierane na dno oraz parcie P = p⋅ S są jednakowe we wszystkich przypadkach, mimo, że ciężary cieczy są różne.

Rys. 5. Parcie cieczy na dno naczynia.

Z powyższych rozważań wynika, że jedynie w przypadku naczynia cylindrycznego parcie cieczy na dno jest równe ciężarowi cieczy, natomiast parcie cieczy na dno niecylindrycznego naczynia jest równe ciężarowi fikcyjnego walca nad dnem (rys. 6) .

Stwierdzenie to nosi nazwę paradoksu hydrostatycznego.

Rys. 6. Parcie cieczy na dno niecylindrycznego naczynia.

Aby wyjaśnić paradoks hydrostatyczny, należy uwzględnić oddziaływanie cieczy ze ściankami naczynia. Aby obliczyć siłę oddziaływania cieczy na ścianki naczynia konieczne jest zastosowanie rachunku całkowego. Składowa pionowa tej siły ma bezpośredni wpływ na parcie wywierane przez ciecz na dno naczynia. Na przykład w przypadku naczynia w kształcie stożka całkowicie napęłnionego cieczą o ciężarze Q, parcie cieczy na dno tego naczynia wynosi P = 3Q.

4. Równowaga cieczy w naczyniach połączonych

Najprostszym naczyniem połączonym jest rurka szklana w kształcie litery U (rys. 7). Załóżmy, że w rurce znajduje się jednorodna ciecz.

Rys. 7. Różnica ciśnień w punktach A i B.

Jeżeli punkty A i B połączymy linią łamaną składającą się z odcinków poziomych i pionowych, to jak wiadomo wzdłuż odcinków poziomych nie występuje różnica ciśnień, natomiast wzdłuż odcinków pionowych całkowita różnica ciśnień pomiędzy punktami A i B jest równa Δp = ρg(z₂-z₁).

W stanie równowagi, ciśnienia w obu ramionach na tym samym poziomie są jednakowe.

Jeżeli rurka zawiera w obu ramionach różne, lecz nie mieszające się ciecze, wówczas ciśnienia na tym samym poziomie nie muszą być równe (rys. 8).

Rys. 8. Różnica ciśnień w punktach A i B.

Ciśnienia w punktach A i B nie są jednakowe, ponieważ punkty te znajdują się w cieczach o różnych gęstościach (wzór 9). W punktach C i D ciśnienia są jednakowe, ponieważ punkty te znajdują się w tej samej cieczy i na tym samym poziomie. W stanie równowagi ciśnienia w obu ramionach na poziomie CD zetknięcia się obu cieczy są sobie równe, co możemy zapisać:

gdzie h₁, h₂ - wysokości słupów cieczy w obu ramionach liczone od poziomu zetknięcia się obu cieczy.

Podstawowymi prawami hydrostatyki i aerostatyki są: prawo Pascala i prawo Archimedesa.

5. Prawo Pascala

Jak wiadomo, ciśnienie p jest zdefiniowane jako stosunek siły F działającej prostopadle do powierzchni do wielkości tej powierzchni S (wzór 1).

W każdym wewnętrznym punkcie płynu (cieczy lub gazu) możemy umieścić powierzchnię ograniczającą (np. wsunąć przegrodę lub zanurzyć kawałek ciała stałego) i określić ciśnienie na tej powierzchni. Możemy powiedzieć, że jest to ciśnienie wewnątrz płynu nawet wówczas, gdy nie ma tam żadnej rzeczywistej powierzchni ograniczającej. Pascal odkrył, że ciśnienie w danym punkcie płynu w stanie równowagi nie zależy od ustawienia powierzchni, na którą działa. W nieobecności sił grawitacyjnych ciśnienie w każdym punkcie płynu jest jednkowe. Natomiast w obecności sił grawitacyjnych, ciśnienie w punkcie znajdującym się na głębokości h, dane jest wzorem: p = p₀ + ρhg.

Jeśli ciśnienie zewnętrzne zwiększy się o Δp, wtedy ciśnienie na dowolnej głębokości wzrośnie o tę samą wartość Δp. Na głębokości h wynosić będzie:

Ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest więc przekazywane niezmienione na każdą część płynu i na ścianki naczynia.

6. Prawo Archimedesa

Rozważmy płyn znajdujący się w równowadze dynamicznej. Każdy element objętości tego płynu znajduje się więc w rónowadze. Wyróżnijmy element płynu o objętości V i dowolnym kształcie. Ciężar płynu zawartego w tej objętości wynosi Q = ρgV. Ponieważ rozważany element płynu znajduje się w rónowadze, oznacza to, że siła , z jaką otaczający płyn działa na wybrany element, równoważy siłę ciężkości Q.

stąd wynika, że

Siła jest skierowana przeciwnie do siły ciężkości i nazywa się siłą wyporu.

Jeśli wyróżnioną porcję płynu zastąpimy przez dowolne ciało o takim samym kształcie i objętości V, wówczas otaczający płyn będzie działał na to ciało z taką samą siłą F. Wypadkowa siła działająca na ciało będzie równa:

gdzie: Q_c - ciężar ciała.

Prawo Archimedesa możemy sformułować następująco: na każde ciało zanurzone częściowo lub całkowicie w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do góry i równa co do wartości ciężarowi wypartego przez to ciało płynu.

(8)

gdzie: V - objętość zanurzonej części ciała

ρ - gęstość cieczy

g - przyspieszenie ziemskie

Korzystając z prawa Archimedesa możemy wyznaczyć ciężar właściwy zarówno dla ciał stałych jak i dla cieczy, dokonując jedynie ich ważenia.

7. Waga hydrostatyczna

Ciężar ciała oraz siłę wyporu działającą na ciało zanurzone w cieczy wyznaczamy przy użyciu wagi hydrostatycznej. Zwykłą wagę laboratoryjną można użyć jako wagę hydrostatyczną, przy czym nad jedną z szalek należy umieścić ławeczkę, na której ustawia się zlewkę z cieczą (rys.9).

Rys. 9. Waga hydrostatyczna.

Za pomocą wagi hydrostatycznej możemy wyznaczać ciężar właściwy ciał stałych, zwłaszcza wtedy, gdy mają postać brył nieforemnych, a ich objętość wynosi 10 - 20 cm³, gdyż przy mniejszych objętościach błąd względny wyznaczenia objętości jest stosunkowo duży (na przykład dla ciała o objętości 2 cm³ wynosi około 0.2%).

Ciało ważone zawieszamy na druciku, którego masę możemy pominąć, jeśli jest mniejsza od czułości wagi (Δm = 0.01 g).

Aby wyznaczyć objętość ciała, ważymy je zanurzone w cieczy o znanej gęstości. Należy tak dobrać ciecz, aby badane ciało nie rozpuszczało się w niej i aby ciecz zwilżała powierzchnię ciała. Najczęściej używamy wody destylowanej, a jeśli nie spełnia ona powyższych warunków, wówczas możemy użyć na przykład: alkoholu, nafty lub toluenu.

Waga hydrostatyczna może być wykorzystana również do pomiaru, ciężaru właściwego cieczy.

8. Pomiar ciężaru właściwego ciał przy pomocy wagi hydrostatycznej

a) Wyznaczanie cieżaru właściwego ciała stałego o gęstości większej niż gęstość wody.

Załóżmy, że badane ciało (o objętościV) ważone w powietrzu ma ciężar P₁, a po zanurzeniu całkowicie w wodzie ma ciężar P₂ jest wypadkową dwóch sił: ciężaru P₁ (skierowanego pionowo w dół) i siły wyporu F_w (skierowanej pionowo w górę). Zatem możemy zapisać:

(9)

Zgodnie ze wzorem (8): F_w = γ_w V_w

Uwzględniając (8) i (9) oraz przyjmując V_w = V otrzymujemy:

(10)

Stąd objętość ciała wynosi:

(11)

Ciężar włąściwy ciała obliczamy korzystując z definicji podstawiając za objętość ciała wyrażenie (11).

Wyszukiwarka