Szeregi

Kryterium porównawcze:

Zad.1

=A

Szereg
, który jest zbieżny jest majorantą szeregu A

Zad.2

Szereg B jest majorantą szeregu A. Szereg B jest rozbieżny, zatem o szeregu A nie możemy wnioskować. Ale
jest minorantą szeregu A, zatem szereg A jest rozbieżny.

Zad.3

log n <n

Majorantą jest zbieżna, zatem szereg A jest zbieżny.

Zad.4

Majorantą szeregu A jest szereg
. Jest to szereg o ilorazie q=1/3, jest zbieżny, zatem szereg A jest zbieżny.

Zad.5

a_n=

Szereg B jest szeregiem geometrycznym o ilorazie ¾, jest, zatem zbieżny. Majoranta zbieżna, zatem szereg A zbieżny.

_Zad.6

=B

---Kryterium Cauch'ego

Majoranta zbieżna, zatem szereg A-zbieżny

_Zad.7

Szereg A zbieżny, bo ma majorantę zbieżną

Zad.8

Majoranta zbieżna, zatem szereg A-zbieżny

Zad.9

-jest zbieżny jako szereg geometryczny o q=1/e <1.Majoranta zbieżna, zatem szereg A zbieżny.

Zad. 10

Szereg A zbieżny, bo ma majorantę zbieżną.

Zad.11

Szereg B jako geometryczny o ilorazie q=1/2<1 jest zbieżny. Szereg A zatem jest zbieżny

Zad.12

Szereg A jest zbieżny.

Zad.13

Szereg A jest rozbieżny.

Zad.14

Szereg B jest zbieżny, zatem szereg A jest zbieżny.

Zad.15

Szereg B -harmoniczny: rozbieżny

Zad.16

*
=A

Szereg A rozbieżny z W.K

Zad.17

Szereg B jest zbieżny, zatem szereg A też jest.

Zad.18

*

1.Sposób:

Szereg A zbieżny z W.K

2.Sposób

Szereg A zbieżny, bo ma majorantę zbieżną.

Zad.19

(1) Zauważmy, że

Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem zatem na mocy kryterium porównawczego wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.

Zad.20

Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; zachodzi nierówność liczbowa

więc dla dowolnego
mamy

Zatem na mocy kryterium porównawczego wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.

Zad.21

Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy nierówność:

Przekształcamy ją równoważnie

Następnie logarytmujemy obie strony

Zatem pokazaliśmy, że

Na mocy kryterium porównawczego szereg
jjest, więczbieżny.

Zad.22

Ponieważ
jest rozbieżny, zatem szereg A również jest rozbieżny.

Zad.23

Zad.24

Zad.25

Zad.26

Zad.27

Zad.28

Zad.29

Zad.30

Zad.31

Zad.32

Zad.33

Zad.34

Zad.35

Zad.36

Zad.37

Zad.38

Zad.39

Zad.40

Zad.41

a więc dla dowolnego
>0 można znaleźć takie N, że

dla n>N

Przyjmując
=1, dla n>N mamy

czyli

-zbieżny.

1

---