ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

CIĄGI LICZBOWE RZECZYWISTE

DEF.
; Ozn.
lub

Monotoniczność:

jest rosnący (niemalejący)

jest malejący (nierosnący)

Ciąg
jest monotoniczny wtedy gdy jest rosnący lub malejący (mówimy wówczas, że jest ściśle monotoniczny) lub niemalejący lub nierosnący.

Ograniczoność:

nazywamy ograniczonym (z dołu, z góry)

(
,
),

natomiast nieograniczonym - w przypadku przeciwnym.

Zbieżność i rozbieżność:

nazywamy zbieżnym
.

Mówimy również, że ciąg
ma granicę właściwą (skończoną)
.

W przeciwnym przypadku mówimy, że ciąg jest rozbieżny ( nie istnieje granica skończona albo jest rozbieżny do
i piszemy:

lub

.

PRZYKŁADY:

1)
rosnący, nieograniczony, rozbieżny do
;

2)
arytmetyczny (dla
stały)

3)
geometryczny (dla
stały)

4)
malejący, ograniczony, zbieżny do 0

5)
ograniczony, rozbieżny.

BADANIE ZBIEŻNOŚCI CIĄGÓW:

I Rachunek na granicach skończonych:

Granice podstawowe: 1)
; 2)
; 3)

4)
.

Tw. 1

Tw. 2 Iloczyn ciągu zbieżnego do 0 i ciągu ograniczonego dąży do 0.

Tw. 3 (o trzech ciągach)

Jeśli wyrazy ciągu są od pewnego miejsca (wskaźnika m) zawarte między odpowiednimi wyrazami dwóch ciągów zbieżnych do wspólnej granicy, to ten ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy.

II Twierdzenie 4 (rachunek na „nieskończonościach”)

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   , w szczególności
   ,

6. 
   ,

7. 
   ,

8. 
   ,

9. 
   ,
   

10. 
    (ciąg ograniczony) =
    .

Symbole nieoznaczone (7):

III Badanie rozbieżności ciągów

Niech
będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych zwanym ciągiem wskaźników, a
dowolnym ciągiem. Podciągiem tego ciągu odpowiadającym ciągowi wskaźników
nazywamy nowy ciąg
będący złożeniem (superpozycją) tych ciągów, czyli ciąg
.

Przykłady:
.

Tw. 5 a) ze zbieżności ciągu wynika jego ograniczoność ;

b) każdy podciąg ciągu zbieżnego do
jest też zbieżny do
;

c)
.

Komentarz: Z twierdzenia a) wynika, że każdy ciąg nieograniczony jest ciągiem rozbieżnym. Implikacje odwrotne nie są prawdziwe (jeśli ciąg jest ograniczony, to nie musi być zbieżnym lub jeśli ciąg jest rozbieżny, to nie musi być nieograniczonym), ale można pokazać, że dla ciągów monotonicznych ograniczoność (nieograniczoność) ciągu jest równoważna jego zbieżności (rozbieżności).

Twierdzenia b) i c) mają zastosowanie do wykazywania, że ciąg jest rozbieżny (nie istnieje jego granica). Wystarczy bowiem do tego wskazanie jakiegoś podciągu rozbieżnego lub podciągów zbieżnych do różnych granic lub pokazanie, że ciąg
nie jest zbieżny do 0.

IV Liczba e i granice z nią związane

Tw. 6. Każdy ciąg niemalejący (nierosnący (od pewnego miejsca) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.

Inaczej: z monotoniczności i ograniczoności ciągu wynika jego zbieżność.

Wykazuje się, że ciąg
typu
jest rosnący i ograniczony z góry (np. liczbą 3), więc jest zbieżny.

Jego granicę oznaczamy literą e (zwana liczbą Nepera lub Eulera).

Mamy więc:

Dodajmy, że wybór jej jako podstawy logarytmów jest szczególnie dogodny i logarytmy o tej podstawie nazywamy logarytmami naturalnymi i oznaczamy
(czytamy: logarytm naturalny dodatniej liczby x ) .

Mamy:

stąd
,
,

Tw. 7 (o liczeniu granic związanych z symbolem
)

Przykłady:

a)
, b)
, c)
;

d)
;

e)
,
,

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI LICZBOWEJ

Niech
, czyli
jest punktem skupienia dziedziny funkcji
, tzn.

i
.

Zapis
oznacza, że funkcja f ma w punkcie
granicę g.

Definicja ciągowa granicy - Heinego:

.

Wniosek (nieistnienie granicy odwzorowania). Funkcja f nie ma granicy w punkcie
, jeśli wskażemy jeden taki ciąg
, że odpowiadający mu ciąg wartości
jest rozbieżny lub istnieją dwa ciągi
o wartościach różnych od
takie, że odpowiadające im ciągi wartości
mają różne granice.

Definicja epsilonowo-deltowa lub otoczeniowa granicy - Cauchy'ego:

.

Dwie równoważne definicje ciągłości funkcji otrzymujemy z odpowiednich definicji granic zakładając, że
należy do dziedziny funkcji (opuszczając założenie, że
w definicji ciągowej i zastępując sąsiedztwo
przez otoczenie
w definicji otoczeniowej) oraz podstawiając w miejsce punktu g wartość funkcji
.

Niech
; zapis
oznacza, że funkcja f jest ciągła w
, w przeciwnym przypadku mówimy, że punkt
jest punktem nieciągłości tej funkcji, co zaznaczmy
. Mamy:

Definicja ciągłości f na zbiorze
:
.

Uwaga. Mówimy krótko, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w swojej dziedzinie, tzn.

w każdym jej punkcie.

Rozszerzenie pojęcia granicy:

Granica jednostronna:

Granica niewłaściwa:

Granica w
:

(uwaga: podobnie inne kombinacje granic, np.
).

Szczególnie godne zapamiętania są granice:

► Ogólne własności funkcji liczbowych ciągłych

Podstawowe twierdzenia o ciągłości (wynikające z definicji i twierdzeń o ciągach)

1. 
   ;

2. 
   

WNIOSEK: Zakładając: istnienie granicy
i
, otrzymujemy związek przydatny do obliczania granicy złożenia:

.

3) (
i różnowartościowa )
;

4) Podstawowe funkcje:

const:
, id:
, exp:
, sin:

są ciągłe (w każdym punkcie dziedziny
).

Każda funkcja elementarna (tzn. powstała z podstawowych za pomocą skończonej ilości działań arytmetycznych oraz operacji składania, odwracania i obcinania), jest funkcją ciągłą na swojej dziedzinie. Oznacza to, że dla takiej funkcji f :
.

Do funkcji elementarnych zaliczamy funkcje określone wzorami - wielomiany, wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz wszystkie ich skończone złożenia.

Technika liczenia granic (w tym granic niewłaściwych lub w
) (patrz skrypt)

- definicja, twierdzenia, rachunek na nieskończonościach

- granice prowadzące do symboli nieoznaczonych, chwyty algebraiczne,

reguła H

- granice standardowe (służące do obliczania pochodnych funkcji sin i exp):

;

Nowe funkcje:

,

► Własności funkcji liczbowych ciągłych

Twierdzenie 1 (o lokalnym zachowaniu znaku)

,

tzn. funkcja ciągła w pewnym punkcie i przyjmująca w nim wartość różną od 0 zachowuje swój znak w pewnym otoczeniu tego punktu i np. gdy jest dodatnia w punkcie
, to nie może przybierać wartości ujemnych lub równych zeru dowolnie blisko tego punktu.

Uwaga: Założenie ciągłości jest istotne, np. funkcja
jest nieciągła w
i nie zachowuje znaku w żadnym otoczeniu tego punktu (w sąsiedztwie prawostronnym przyjmuje wartość 1, a w lewostronnym wartość -1).

Twierdzenie 2 (Weierstrassa - o osiąganiu kresów)

.

Twierdzenie 3 ( o własności Darboux przyjmowania wartości pośrednich)

i f jest różna od funkcji stałej

własność Darboux

Twierdzenie to wypowiadamy: funkcja rzeczywista ciągła na przedziale (różna od stałej) ma własność Darboux, tzn. przyjmuje każdą wartość pośrednią y pomiędzy dwoma dowolnymi i różnymi wartościami funkcji, oznaczonymi przez
.

Bezpośrednią konsekwencją tego twierdzenia (przez przyjęcie
) jest:

Twierdzenie 4. (Cauchy'ego o przechodzeniu przez zero)

.

Interpretacja powyższego faktu jest na wykresie prosta: z założenia, wykres funkcji zawiera punkty położone po różnych stronach osi OX, a ponieważ funkcja jest ciągła (wykres nie ma „przerw”), więc przechodząc z jednej strony osi na drugą musi w pewnym punkcie ją przeciąć.

Przykład. Wykazać, że równanie
ma pierwiastek w przedziale
.

Dowód.

Funkcja zadana wzorem
,
jest ciągła i
(patrz tw.4), stąd
. ■

Uwaga. Dokładniejsza lokalizacja pierwiastka wymaga dodatkowego obliczania wartości funkcji w wybranych punktach przedziału (np. w powyższym przykładzie można metodą prób stwierdzić, że pierwiastek równania znajduje się pomiędzy liczbami 1,8 i 1,9).

2

---