Opis ćwiczenia 7

Temat: Badanie drgań wahadła sprężynowego

Wprowadzenie

Ruch drgający harmoniczny:

Ruch drgający - rodzaj ruchu w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze

Ruch harmoniczny prosty: występuje gdy siła działająca na ciało drgające jest proporcjonalna do wychylenia ciała z pozycji równowagi i przeciwnie do niego skierowana.

Ruch harmoniczny prosty jest to taki ruch, w którym współrzędna opisująca ruch ciała zmienia się okresowo w sposób sinusoidalny. Wielkości występujące w poniższej funkcji charakteryzują ruch harmoniczny:

x = A cos (ωt+ φ)

φ-faza początkowa ruchu; jest to kąt, który określa wartość współrzędnej x w chwili t=0

A-amplituda drgań

ω - częstość kołowa drgań spełniająca zależność

ω = 2Πf = 2Π / T

Okres drgań - czas, w którym wykonane jest jedno pełne drganie. W czasie okresu ciało przejdzie dwukrotnie każdy punkt swojej drogi i wraca do stanu początkowego.

Częstotliwość drgań - jest to liczba drgań przypadających na jednostkę czasu.

Okres i częstotliwość związane są zależnością:

f ∙ T = 1

Zależność pomiędzy współrzędną położenia ciała, jego przyspieszeniem i częstością kołową drgań w ruchu harmonicznym:

a = - ω²x.

Ruch drgający ciała zawieszonego na sprężynie:

Celem naszego doświadczenia jest obserwacja ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie, tzw. wahadła sprężynowego. Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, Które jest położeniem równowagi. Jeśli ciężarek pociągniemy w dół poniżej położenia równowagi i puścimy, zacznie on wykonywać drgania w dół i w górę. Zgodnie z prawem Hook'a, przy małych odkształceniach, siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia x₀:

F₀ = -kx₀

Stała k jest tutaj współczynnikiem sprężystości sprężyny.

Współrzędną spoczynkowego odkształcenia x₀ otrzymamy z warunku równowagi sił: P+F₀=0.; wartości tych wektorów muszą być więc jednakowe: mg=kx₀. Jeśli zmierzymy x₀ dla znanej masy m zawieszonej na sprężynie, możemy wyznaczyć jej współczynnik sprężystości k:

Jeszcze wzór na okres drgań:

Jak widać okres drgań nie zależy od amplitudy A - jest to prawo izochronizmu wahadła sprężynowego.

Z energetycznych rozważań o ruchu drgającym można wyprowadzić wzór uwzględniający fakt, że sprężyna ma swoją masę. Ma on postać:

Wykonanie ćwiczenia:

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny:

1. Zawieszamy sprężynę na statywie i do jej końca przymocowujemy lekki plastykowy wskaźnik. Na podziałce liniowej połączonej ze statywem odczytujemy położenie poziomej kreski zaznaczonej na wskaźniku.

2. Do wskaźnika doczepiamy odważnik o znanej masie i ponownie odczytujemy położenie kreski wskaźnika. Obliczamy wydłużenie sprężyny.

3. Obliczamy ciężar zawieszonej masy i współczynnik sprężystości k.

4. Pomiary wykonujemy dla trzech różnych ciężarków i obliczamy średnią wartość k.

Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła :

1. Obciążmy sprężynę odważnikiem, odciągamy go w dół o pewną wielkość i mierzymy czas n pełnych drgań wahadła. Dla tej samej amplitudy drgań powtarzamy te pomiary trzykrotnie. Obliczamy średni czas n drgań, a następnie okres ruchu drgającego.

2. Pomiary okresu powtarzamy jeszcze przy dwóch innych, odpowiednio powiększonych amplitudach drgań.

Wyznaczanie masy ciężarka :

Masa m. jest sumą masy badanej m_x i masy wskaźnika m._w. Masę m._x obliczamy więc ze wzoru:

Analiza wyników:

1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny:

Ciężarek		Położenie wskaźnika		Wydłużenie	Współczynnik
masa mi	ciężar Pi	bez obciążenia	z obciążeniem	x0i = li - loi	ki = Pi / x0i
[kg]	[N]	l0i [m]	li [m]	[m]	[N / m]
0,1	0,981	0,261	0,278	0,017	57,71
0,2	1,962	0,261	0,299	0,038	51,64
0,05	0,4905	0,261	0,267	0,006	81,75
Wartość średnia współczynnika sprężystości k = (k1 + k2 + k3) / 3					63,7

2. Sprawdzanie prawa izochronizmu wahadła:

Amplituda Ai [m]	Czas n = 10 drgań, ti [s]			Okres drgań T = tśr. / n [s]
0,1	2,74	2,98	3,05	0,3
0,2	3,12	3,03	3,08	0,31
0,3	3,11	3,27	3,2	0,32

3. Wyznaczanie masy ciężarka:

Czas n = 10 drgań ti [s]	2,46	2,53	2,43
Okres drgań Ti = ti / n	0,246	0,253	0,243
Średni okres drgań T [s]	0,247

Masa sprężyny ms	[kg]	0,02744	Masa wskaźnika mw	[kg]	0,00514
Masa ciężarka oblicz. mx	[kg]	0,0944	Wynik ważenia ciężarka	[kg]	0,0609
Błąd bezwzględny	[kg]	0,021413	Błąd względny	[%]	22,7

Rachunek błędów:

Wnioski:

Ćwiczenie polegało na zbadaniu drgań wahadła sprężynowego. Potwierdziło się tu prawo izchronizmu wahadła - rzeczywiście okres drgań nie zależy od amplitudy.

Szukane wielkości: współczynnik sprężystości sprężyny k=63,7, natomiast obliczona masa ciężarka mx=0,0944 kg.

Dość duży błąd procentowy (22,7%) wynika głównie z niedokładności pomiarów, niedoskonałości osób wykonujących doświadczenie (chodzi tu o pomiar czasu drgań - dwie osoby mierzące czas miały inną reakcję przy odliczaniu na stoperze ) oraz z małej dokładności urządzeń mierzących.

1

---