TEMAT:
Cd. Konstrukcja całki względem miary.

 

            Niech (, U, ) - przestrzeń z miarą

 

E  U                                                                                               przypomnienie

                                      

 

TWIERDZENIE 6.1     (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)

Z:         E  U                      E  

Zbiór E jest mierzalny
Miara μ jest skończona
Funkcja f jest  μ-całkowalna

 

 0 <
(E) < +

 f  L¹(
)

                      

T:       

           
            D:      
  ,     
                      
                 

 

Na mocy twierdzenia 5.5, własność 3              Z tw. o monotoniczności całki                               
          
                        

         Całka Lebesque'a

           Niech (R, B_o(R), l) - przestrzeń z miarą, 

           gdzie B_o(R) - s-algebra zbiorów borelowskich uzupełniona o podzbiory zbiorów miary zero

 

 

DEFINICJA 6.1      (CAŁKA LEBESQUE'A)

 Niech
  ,      
¹(l)
          Całką Lebesque'a z funkcji f  będziemy nazywali całkę względem miary Lebesque'a
 

          Niech     EB_o(R),     E jest zbiorem l mierzalnym

         
                                                       

          Oznaczenia:
         

 

 

TWIERDZENIE 6.2    

            Z:   
         l - całkowalna = całkowalna w sensie Lebesque'a

T:    f - całkowalna w sensie Lebesque'a

 

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym jest całkowalna w sensie Lebesque'a

 

Uzasadnienie:

 

     Opis konstrukcji ciągu funkcji prostych:

 

 Niech 

1.      Tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

    n-ty podział

Niech   
  ,     gdzie    
x_k = (x_k - x_k+1)

Ciąg  
   -   nazwiemy normalnym jeżeli   

2.   Niech 
 ,   wówczas  
 

 

  jest funkcją prostą utworzoną dla  n-tego  podziału przedziału  [a,b]

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Taki ciąg funkcji prostych (schodkowych) jest:

 

1.      Niemalejący

2.      Zbieżny do f na przedziale [a, b]

 

Zgodnie z ogólną definicją całki względem miary:

 

oraz dla

 

 

WNIOSEK 6.1

Niech
,    
, wówczas:

 

          

            Jeżeli dla dowolnie małego ε>0 istnieje δ>0 taka, że
x_k nie przekroczy δ to
            wartość całki będzie się różnić od sumy
o wartość nie większą niż ε

           Inaczej:

Wartość całki nie zależy od normalnego ciągu podziałów
i wyboru punktów pośrednich

Całka Lebesque'a z
 jest równa całce Riemana.

Każda funkcja całkowalna w sensie Riemana jest całkowalna w sensie Lebesque'a,

ale nie koniecznie odwrotnie.

 

 

TWIERDZENIE 6.3     (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ DLA CAŁKI LEBESQUE'A)

Z:       

            T:       

 

D:       Niech
                                                         

         

na podstawie wł. funkcji ciągłej na przedziale [a,b] , mamy:                                                    

 

             Na mocy twierdzenia 6.1:

            

 

            

             oraz f przyjmuje każda wartość pośrednia (wł. funkcji ciągłej), wobec tego:

           

         Funkcja górnej granicy całkowania

 

            Niech 
, oraz

 

            zauważmy, że:

           
oraz

 

 

TWIERDZENIE 6.4     (PIERWSZE, ZASADNICZE TWIERDZENIE RACHUNKU CAŁKOWEGO)

Z:       

T:       


 

Udowodnimy, że  jest funkcją ze zbioru funkcji pierwotnych do funkcji podcałkowej

            D:       Niech

 

 
    ,          

           

                                  

                       Pokazaliśmy, że funkcja górnej granicy całkowania jest funkcja pierwotną do f.

           Dla h<0 dowód przebiega w sposób analogiczny.

 

 

TWIERDZENIE 6.5      (NEWTONA-LEIBNIZA)

Z:        f - ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]

F - funkcja pierwotna do f w [a,b]

T:       

D:      

                         i F - funkcje pierwotne do f  (różniące się stałą) =>

 

 

PRZYKŁAD 6.1

 

Obliczyć

            Zauważmy, że:

zatem:

 

 

PRZYKŁAD 6.2

 

1. Sprawdzić, czy istnieje funkcja pierwotna do f(x), jeżeli tak, należy ją znaleźć.

Zauważmy, że f jest ciągła w przedziale
, zatem istnieje funkcja pierwotna.

 

Rozwiązanie:

            I metoda

 

Stałe C₁, C₂, C₃ dobieramy tak, by F była ciągła.

C₂ - dowolne, np. C₂=0

  

Zatem

 

              II metoda

                            Niech 

 

                            1.

                                

 

                            2.

                                

 

                            3.

                                            

 

               Ostatecznie

 

 

Zauważmy, że F(x) i
 różnią się o stałą.

           UWAGI:

             Jeżeli:

                       

                        oraz   

 

to:

 

Dowód:

górna granica całkowania nie musi być większa od dolnej

           

Analogicznie  dla   x>x₀

 

 PRZYKŁAD 6.3

          
                    

 

      rozbijam na sumę całek

 

 

 

           WNIOSEK:

1. Jeżeli
    nieciągła na zbiorze miary Lebesque'a 0 i w każdym punkcie nieciągłości
   istnieje
    to
     jest równa całce z funkcji ciągłej (uciąglonej w punktach
   
   nieciągłości, patrz przykład (6.1)

2. Jeżeli f jest nieciągła w x₀ oraz istnieją
   
   to rozbijamy
   
   całkę na sumę całek po przedziałach [a,x₀] i [x₀,b] (patrz przykład 6.3).

         Całki niewłaściwe

         I typ:

               Nie jest spełnione założenie 1 twierdzenia Newtona-Leibniza f jest nieciągła
               w
 (poza tym jest ciągła)

 

        sprawdzamy czy funkcje można „uciąglić”, jeżeli nie to

        sprawdzamy istnienie i wartości granic jednostronnych

 

               Jeżeli funkcja jest nieograniczona, to mamy całkę niewłaściwą.

 

               Wtedy:

 

                       

Jeżeli granica istnieje i jest skończona to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym razie całka jest rozbieżna.

 

 

PRZYKŁAD 6.4

 

           UWAGA:

  Należy najpierw zwrócić uwagę na założenia, patrzeć na dziedzinę funkcji podcałkowej,
  żeby nie pominąć punktów nieciągłości.

 

 

Całka na przedziale (0,1) zaznaczona kolorem

 zielonym i znakiem „-”

 

Całka na przedziale (1,2) zaznaczona kolorem czerwonym i znakiem „+”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRZYKŁAD 6.5

 

           

 

            Wynikiem jest symbol nieoznaczony, zatem udowadniamy,

            ze granica nie istnieje posługując się definicją Heinego granicy:

            Niech:       

               

            Na mocy definicji Heinego granica nie istnieje, zatem całka jest rozbieżna.

 

Pola zaznaczone kolorem czerwonym

 i zielonym nie redukują się,

gdyż każde z nich jest nieskończone.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          II Typ:

            Nie jest spełnione założenie 2 twierdzenia Newtona-Leibniza, czyli przedział nie jest ograniczony

           
          

          

 

DEFINICJA 6.2      (CAŁKA NIEWŁAŚCIWA)

E - przedział,

E  R,

            Niech
, oraz
 

 

 - jest przedziałem domkniętym i ograniczonym, wtedy

           
 nazywamy całką niewłaściwą, ponadto,

 

jeżeli istnieje:
 i jest skończona, to powiemy, że całka
 

 

niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym wypadku całka jest rozbieżna.
 

---