TEMAT:
Konstrukcja całki względem miary

   

(, U, ) - przestrzeń z miarą

f: →R

 

I ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIAR

DEFINICJA 5.1    (FUNKCJA PROSTA)

 

f - funkcja prosta  :   jeżeli funkcja przyjmuje skończoną ilość wartości ₁, ..., _n

           

 

 

 

DEFINICJA 5.2    (FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA)

            
           

 

 

 

WNIOSEK 5.1    (POSTAĆ NORMALNA FUNKCJI PROSTEJ)

 

            f - funkcja prosta (definicja 5.1.)

 
          Objaśnienie:
          Gdy:    xE_k ,     to:         L=f(x)= _k           
           L=P

          Każda funkcja prosta jest kombinacją liniową funkcji charakterystycznych.

          Istnieje nieskończenie wiele postaci normalnych funkcji prostej.

 

 

 

TWIERDZENIE 5.1    (WŁASNOŚCI FUNKCJI PROSTYCH)

 

            - zbiór wszystkich funkcji prostych określonych na 

 

 

                        

 

 

1)                f,g    ,R   (f+g) 

 

2)                 f,g    sup{f,g        inff,g 

        x   (supf,g )(x) = maxf(x),g(x)

             x   (inff,g )(x) = minf(x),g(x)

 

3)                 f     f 

 

4)                 f    EU  f_E 

 

5)                 f,g   (fg) 

 

 

 

          Dowód:

             

       

                            x= E_iF_j: i=0, ..., n j=0, ..., m

 

                          
              

     
           Uwaga:

 

          

            gdzie E_iF_j są parami rozłączne,

            tzn. (E_iF_j)( E_iF_k)=Ø     dla j≠k

 

            

            

           

             


             Ad. 2)        korzystając z ad. 1) można zapisać:
                               

                               

                                analogicznie:

                                

             Ad. 3)       

                               

 

             Ad. 4)        

 
 

 

DEFINICJA 5.3    (FUNKCJA PROSTA CAŁKOWALNA)

 

           

 

            f - funkcja prosta całkowalna :    

 

 

 

DEFINICJA 5.4    (CAŁKA Z FUNKCJI PROSTEJ)

 

            f - funkcja prosta całkowalna                    

           

 

 

TWIERDZENIE 5.2

 

            Wartość całki nie zależy od postaci normalnej funkcji prostej.

 

            Z:         f - funkcja prosta całkowalna

                       
       

                        E_i pokrywają  i są parami rozłączne

                        F_j pokrywają  i są parami rozłączne

 

            ^T:      

                       

 

            D:       Analogicznie jak w dowodzie ad. 1.)   (twierdzenie 5.1.)

                               
 

                      
               
        

                                               

                                    

                                           

                         
            L=P

 

 

 

 

 

TWIERDZENIE 5.3      (WŁASNOŚCI CAŁKI Z FUNKCJI PROSTEJ)

 

 

1)               
funkcji prostych całkowalnych

     
całkowalna

     

 

2)                EU        (E)        to:

  bo:     _i=1

 

3)                 f - funkcja prosta całkowalna            f≥0         

 

Dowód:

                        na podstawie dowodu ad. 1.)    (twierdzenie 5.1.)

 

 Ad. 1)     
                 
               

                        

                             

                             
                 

                  
      

                   (zbiory
są parami rozłączne)

 

 Ad. 2)

                  
                

                  

 

 Ad. 3)

                  f > 0    
      
,

 

                   bo:

 

 

 

   II ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

         ε⁺ - zbiór całkowalnych funkcji prostych nieujemnych

TWIERDZENIE 5.4

           Z:        (u_n)_nN ⁺,         u_n

                        (v_n)_nN ⁺,         v_n

           T:        

           D:       ₁⁺= f :→R₊,  (u_n)  ₊,    u_n 




   :  x
  
  

 

 

 

DEFINICJA 5.5     (CAŁKA Z FUNKCJI NIEUJEMNEJ)

                        

            Niech:  f₁⁺   _    
,  (u_n)  ⁺     _      u_n

 

           
  :

 

 

 

WNIOSEK 5.2

 

1)            z twierdzenia 5.4. wynika, że całka z funkcji nieujemnej nie zależy od wyboru ciągu funkcji prostych

 

(u_n)⁺       u_n
        

 

2)             f,g₁⁺     ,R₊  

  (f+g₁⁺        

 

3)             f,g₁⁺,     (fg)₁⁺           supf,g₁⁺         inff,g₁⁺

4)            fg            
     

 

(własności 2), 3), 4) wynikają z odpowiednich własności całki z funkcji prostych i własności granic)

 

            Dowód:

                        Ad. 2)

                                  
,     u_n⁺       u_n

                                  
,      v_n⁺       v_n

 

        ,R₊           (f+g=

 

        ,R₊     u_n
  v_n
         

    
⁺

 

          
₁⁺   

 

         

 

 

 

III ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

 

 

DEFINICJA 5.6     (FUNKCJA CAŁKOWALNA)

 

            Niech:

            f: →R

 

            f₊:   → f₊(x) : max f (x), 0

 

            f_-:   →f_-(x) := max -f (x), 0

 

                                   f  ₌   f₊  - f_-

 

                       f -  - całkowalna      f₊, f_-    są  - całkowalne

 

                                   tzn.        ((u_n) ⁺, u_n
   (v_n) ⁺, v_n
)

 

                                              

 

 

                                              


 

 

                        Uwaga:

                       

                                   L¹()  -  zbiór funkcji - całkowalnych

 

                                               ⁺    ₁⁺    L¹()

 

 

 

KONSTRUKCJA CAŁKI WZGLĘDEM MIARY (PODSUMOWANIE)

 

 

              I.                    Całka z funkcji prostej

                                  
     to       

 

 

              II.                 Całka z funkcji nieujemnej

 

,   u_n ^      u_n
                

 

to:     

 

 

              III.               Całka z dowolnej funkcji - całkowalnej

 

 

fL¹()    f ₌ f₊-f_-      f₊, f_- ₁⁺

 

to:        

 

 

 

DEFINICJA 5.7    (CAŁKA PO ZBIORZE)

           

 

 

 

TWIERDZENIE 5.5     (WŁASNOŚCI CAŁKI)

 

1)            f,gL₁ ()    ,R  

         (f+g L₁()        

2)            fL₁()    fL₁()    

3)             f,gL₁()     fg          

 

4)            (E_n)_nNU         ij     E_iE_j

           to:  

 
 

 

 

   Wszystkie te własności wynikają z odpowiednich właściwości całki z funkcji nieujemnej.

 

               Ważne:   (wniosek)

                1)           (E)=0        


                2)          
       

 

  Dowód:

 

  Ad.1)

  1)          
,    

 (E)=0     i0, ..., n     (EE_i)0 

 

                         

 

  2)           f₁⁺,   
         u_n

 

 
, 

 

  bo   
   (I ETAP)

 

 

  3)           f  ₌   f₊  - f_-=0,    bo    f₊=0,   f_-=0

 

 
 ,       

 

 bo na podstawie 2):      
 

 

 

---