STATYSTYKA

WYKŁAD

2000/2001

ROK: I

SEMESTR: II

WYŁADOWCA:

dr hab. ANDRZEJ BALICKI

SPIS TREŚCI

• STATYSTYKA

STATYSTYKA - odrębna dyscyplina naukowa, nauka metodologiczna zajmująca się metodami badań

STATYSTYKA:

1. opisowa

2. matematyczna - metody wnioskowania o zbiorowości na podstawie zbadania jej części wylosowanej. Ta wylosowana część to reprezentacja

STATYSTYKA:

1. teoria statystyki - dział matematyki

2. zastosowanie statystyki

• BADANIA STATYSTYCZNE

BADANIA STATYSTYCZNE - zespół czynności zmierzających do wykrycia za pomocą metod statystycznych prawidłowości w zbiorowości objętej badaniem, prawidłowości w kształtowaniu się zjawisk i procesów masowych

BADANIA STATYSTYCZNE:

1. eksperymentalne - ingerencja badającego w przebieg zjawiska, sterowanie pewnymi wielkościami

2. obserwacyjne - badający jest biernym obserwatorem i nie ingeruje w przebieg, prosta rejestracja tego, co zachodzi

ETAPY BADAŃ STATYSTYCZNYCH:

1. programowanie badania

2. obserwacja statystyczna (gromadzenie i kontrola danych)

3. opracowanie danych

4. analiza statystyczna

ZBIORY DANYCH STATYSTYCZNYCH (materiał statystyczny):

1. pierwotny - zgromadzony dla celów badania

2. wtórny - materiał użytkowy zebrany w innym celu i przez kogoś innego

• CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE W ANALIZIE STRUKTURY

WŁAŚCIWOŚCI	MIARY KLASYCZNE	MIARY POZYCYJNE
Tendencja centralna	Średnia arytmetyczna	Dominanta Mediana Kwartyle Decyle
Dyspersja	Wariancja Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności	Rozstęp Rozstęp międzykwartylowy Rozstęp międzydecylowy Odchylenie ćwiartkowe Współczynnik zmienności
Asymetria	Moment trzeci centralny Moment trzeci względny Współczynnik asymetrii oparty o miary średnie	Współczynnik asymetrii oparty o kwartyle Współczynnik asymetrii oparty o decyle
Spłaszczenie (kurtoza)	Moment czwarty centralny Moment czwarty względny	Wskaźnik spłaszczenia
Nierównomierny podział globalnej wartości cechy (koncentracja)	Współczynnik koncentracji Pearsona	- - -

MIARY KLASYCZNE - liczymy na podstawie wszystkich wartości w szeregu; odpowiednie dla szeregów symetrycznych i zbliżonych do symetrycznych

MIARY POZYCYJNE - związane z pewną pozycją w szeregu

Szeregi W Y K R E S Y:

symetryczne

skośne - prawostronne

skośne - lewostronne

błędne - prawdopodobnie połączenie 2 podgrup (np. wzrost mężczyzn i dziewcząt w 22 wieku)

• CHARAKTERYSTYKI OPISUJĄCE WŁASNOŚCI ROZKŁADU CECHY ILOŚCIOWEJ

1. WSKAŹNIK STRUKTURY

2. MIARY POŁOŻENIA

1. Średnia arytmetyczna

(A)

(B)

2. Dominanta

Jest to wartość cechy najliczniej reprezentowana w zbiorowości; służy do wyznaczenia dokładniejszej wartości dominanty w danym przedziale; nie liczymy jej z szeregu szczegółowego przy małych liczebnościach; nie możemy jej policzyć, gdy przedział najliczniejszy i dwa sąsiednie przedziały mają różną rozpiętość

3. Mediana

Wartość środkowa szeregu uporządkowanego od wartości najmniejszych do największych; kwartyl drugi

4. Pozycja mediany

5. Kwartyl pierwszy

6. Kwartyl trzeci

7. Decyl

3. MIARY DYSPERSJI (POŁOŻENIA)

1. Rozstęp

R = x_max - x_min

2. Rozstęp międzykwartylowy

Rozstęp 50% środkowych wartości po odznaczeniu 25% największych i 25% najmniejszych

R(Q) = Q₃ - Q₁

3. Rozstęp międzydecylowy

Odznaczamy 10% najwyższych wartości I 10% najniższych

R(D) = D₉ - D₁

4. Wariancja

Nie ma interpretacji, ale jest miarą

(A)

(B)

5. Odchylenie standardowe

Miara zróżnicowania wyników (wartości cechy), określa o ile średnio różnią się wartości cechy od średniej arytmetycznej

6. Odchylenie ćwiartkowe

7. Współczynniki zmienności

Dobre do porównań, gdy mamy różne zmienne np. odchylenie pracowników według wieku i płac

4. MOMENTY

Momentem rzędu r - średnia arytmetyczna z podniesionych do potęgi r odchyleń wartości cechy od pewnej stałej

1. Momenty zwykłe c=0

średnia arytmetyczna

2. Momenty centralne c=x

wariancja

miara skośności

miara koncentracji wokół średniej

3. Moment względny trzeci

miara skośności; zawiera się między -2 i 2;
jeśli =0 rozkład symetryczny

>0 skośność prawostronna

<0 skośność lewostronna

4. Moment względny czwarty

mierzy koncentrację wokół średniej;

α4 < 3 koncentracja większa od normalnej
α4 > 3 koncentracja mniejsza od normalnej

jeśli α₄ = 3 nazywamy krzywą Gausa

5. MIARY SKOŚNOŚCI

Na wykresie DOMINANTA znajduje się pod najwyższym punktem wykresu.

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA jest pod punktem ciężkości wykresu. W stosunku do dominanty średnia będzie w kierunku dłuższego ogona.

MEDIANA jest w miejscu przecięcia osi x przez prostopadłą dzielącą powierzchnię pod krzywą na dwie równe części. Znajduje się między średnią i dominantą.

• WSKAŹNIK SKOŚNOŚCI A∈<-1, 1>, znak mówi o skośności, jeśli 0 to rozkład symetryczny

1. KONCENTRACJA - jako nierównomierny podział wartości globalnej cechy

Koncentrację stosuje się, gdy mamy wartości cechy (xi), liczby jednostek (ni), wartości cechy * liczebność (xi * ni)

• Współczynnik koncentracji Pearsona K∈ <0,1>, jeśli jest 0 to podział jest równomierny

• ELEMENTY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

1. ZDARZENIE LOSOWE

Jest to takie zdarzenie, które może wystąpić w próbie; każdy pomiar podzbioru zbioru zdarzeń elementarnych.

2. DOŚWIADCZENIE LOSOWE

Jest to każde dowolne doświadczenie, w wyniku którego mogą wystąpić pewne zdarzenia np. rzut monetą, każdy pomiar.

3. ZBIÓR ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH

Jest to zbiór zdarzeń podstawowych związanych z danym doświadczeniem np. liczba oczek w rzucie kostką

4. ZDARZENIE ZŁOŻONE

Jest to zdarzenie, które da się rozłożyć na zdarzenia elementarne np. w rzucie monetą parzyste

5. PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Jest to funkcja, której argumentami są zdarzenia losowe zaś wartościami liczby z przedziału 0 - 1.

R Y S U N E K

1. Własności prawdopodobieństwa

1. A - zdarzenie losowe 0 <= P(A) <= 1

2. zdarzenie pewne P(E) = 1

3. dla każdego ciągu zdarzeń rozłącznych (nie mogą zajść równocześnie)
   gdzie u - alternatywa zdarzeń

1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

Dla zmiennej skokowej; zmienna losowa - X, wartość zmiennej losowej - x; wykonano rzut trzema monetami

{OOO OOR ORO ROO RRO ROR ORR RRR}

3 2 2 2 1 1 1 0

Xi	0	1	2	3
pi	1/8	3/8	3/8	1/8

2. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Dla zmiennej ciągłej. Własności:

f(x) > 0

1. ZMIENNA LOSOWA

Jest to wielkość (funkcja), która poszczególnym zdarzeniom elementarnym przyporządkowuje określone liczby rzeczywiste

1. Skokowe

2. Ciągłe

1. DYSTRYBUANTA

F(x) = P(X<x) x∈R

Własności:

1. 
   

2. 
   

przebieg funkcji dystrybuanty, jeżeli rozkład jest symetryczny:

• WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Jest to proces uogólniania zaobserwowanych wyników w próbie losowej na całą zbiorowość statystyczną.

Budową reguł wnioskowania zajmuje się statystyka matematyczna. Reguły te umożliwiają wyprowadzenie wniosków o populacji na podstawie próby oraz ocenę ich dokładności i wiarygodności.

Podstawowym założeniem dla wszystkich reguł wnioskowania jest to, że próba losowa jest pobrana w sposób niezależny z populacji nieskończonej.

Losowanie zależne - bezzwrotne

Losowanie niezależne - zwrotne

1. PODZIAŁ WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

1. estymacja statystyczna - szacowanie, ocenianie - jest procesem wnioskowania o numerycznych wartościach nieznanych wielkości charakteryzujących populację generalną na podstawie danych próbkowych. Najczęściej estymacja dotyczy parametrów populacji Θ

2. weryfikacja hipotez statystycznych

1. PARAMETRY POPULACJI Θ

PARAMETR	ESTYMATOR
Średnia wartość cechy μ
Wariancja σ^2	s^2
Proporcja p - jednostek wyróżnionych np. proporcja kobiet w danej populacji

2. ESTYMATORY T_n

Estymator T_n (gdzie n oznacza n-elementową próbę, n-obserwacji) służy do oszacowania parametrów.

Jest to statystyka będąca funkcją wartości w próbie

T_n = f(X₁, X₂, …., X_n)

Która może posłużyć do oszacowania nieznanego parametru Θ w populacji.

Statystyka w próbie jest zmienna losową bo możliwe wyniki w próbie też są zmiennymi losowymi.

Możliwe wyniki losowania:

X₁ X₂ ... X_n

↓ ↓ ↓ ↓

x₁ x₂ ... x_n

t_n = (x₁, x₂, ..., x_n) - jeśli do T podstawimy dane liczbowe to otrzymamy realizację estymatora (wartość estymatora)

Najlepszym estymatorem średniej populacji to średnia

- liczymy gdy próba mała n ≤ 30

Zliczamy obiekty, które są przez nas wyróżnione:

k - liczba elementów wyróżnionych w próbie estymator proporcji p jest

n - elementów w próbie

(wykłady z 28-05-2001)

3. liczebność próby dla średniej

	- próba wstępna - liczebność próby wstępnej d - założony, dopuszczalny max. błąd bezwzględny, ustalany przez nas d=kD(tn) - dla

4. weryfikacja hipotez statystycznych

Jest to każde przypuszczenie dotyczące własności badanej populacji. Są to parametry rozkładu, relacje między parametrami, przypuszczenia co do rozkładu badanej cechy populacji. Hipotezy stawiamy dlatego, że nie znamy populacji. Rozstrzygać o prawdziwości lub fałszywości należy na podstawie próby pobranej z danej populacji.

Podział hipotez na kategorie

• Parametryczne - jeżeli dotyczą parametru lub parametrów jednej lub wielu populacji.

• Nieparametryczne - nie dotyczy parametrów np. rozkład cechy jest normalny, dwie badane cechy są nie zależne, zbiór obiektów stanowi próbę losową itp.

Zbiór hipotez dopuszczalnych - jest to zbiór sensownych hipotez dotyczących interesującej nas własności populacji generalnej, składa się z hipotez prostych.

Hipoteza prosta - można ją wyrazić tylko w jeden sposób, jako hipotezę nierozkładalną.

Weryfikacja - ze zbioru hipotez dopuszczalnych wybieramy jedną i ją sprawdzamy.

Hipoteza zerowa - jest to jedna prosta hipoteza, wyróżniona w zbiorze hipotez dopuszczalnych, którą chcemy sprawdzić (zweryfikować). Oznaczamy ją np.: H₀ : μ = 26

Hipoteza alternatywna - jest to hipoteza przeciwna do hipotezy zerowej, powstaje przez usunięcie ze zbioru hipotez dopuszczalnych hipotezy zerowej. Oznaczamy ją H₁ : μ ≠ 26

Test hipotezy statystycznej (test statystyczny) - należy zbudować specjalną regułę postępowania, która określi nam przy jakich ewentualnych wynikach z próby hipotezę testowaną należy przyjąć, a przy jakich odrzucić.

Testowanie hipotezy H₀

Decyzja	hipoteza prawdziwa
		H0	H1
przyjąć H0	decyzja słuszna P(Tn∉Rα(H0)=1-α	błąd II rodzaju P(Tn∉Rα(H1)=β
odrzucić H0	błąd I rodzaju P(Tn∈Rα(H0)=α	decyzja słuszna P(Tn∈Rα(H1)=1-β

T_n - oznacza punkt próbkowy

Błąd I rodzaju - odrzucenie hipotezy zerowej gdy jest ona prawdziwa (jego konsekwencje są poważniejsze)

Błąd II rodzaju - przyjęcie hipotezy zerowej gdy jest ona fałszywa.

Poziom istotności - prawdopodobieństwo błędu I rodzaju α

α ≤ 0,10 np. 0,05 - badanie mniej ważne; 0,01 - badanie ważniejsze

istota testowania hipotezy H₀ polega na tym, że przestrzeń punktów próbkowych (zbiór możliwych wartości z próby) jest dzielona na dwie części: jedna część R_α oraz pozostała Ω-R_α .

Odrzucać będziemy hipotezę H₀ jeżeli zaobserwowany punkt próbkowy należy do zbioru R_α.

W przeciwnym wypadku przyjmować będziemy hipotezę H₀ , jeśli punkt próbkowy należeć będzie do Ω-R_α

obszar krytyczny tez (obszar odrzucenia) - nazywamy zbiór R_α przestrzeni punktów próbkowych Ω, który związany jest z odrzucaniem hipotezy zerowej.

		zbiór krytyczny Rα = ( -∞, -zα ) ∪ ( zα, +∞ )

Przyjęliśmy jako μ = 26 lat teoretycznie

Wyszło x = 28 lat

Z_obl = 16,6 ∈ R_α ⇒ odrzucamy hipotezę zerową (H₀), wiek 28 lat przeczy hipotezie zerowej.

1. Procedura testowania hipotez statystycznych

Jeśli H1 ; μ ≠ 26 to Rα jest dwustronne	jeśli μ<26 to Rα jest lewostronne	a jeśli μ>26 to Rα jest prawostronne

sformułować hipotezy H0 i H1

↓

wybrać statystykę testową (z, t, F, x^2 itp.)

↓

określić poziom istotności α

↓

zdefiniować obszar krytyczny Rα

↓

nie odrzucamy H0	←	podjąć decyzję statystyczną	→	odrzucamy H0
↓				↓
konkluzja: H0 może być prawdziwa				konkluzja: H1 jest prawdziwa

1

3

STATYSTYKA WYKŁAD opracowanie: Alicja i Wojciech Makowiec - grupa 101

---