5.4. Tensor momentu bezwładności i twierdzenie Steinera.

więc

z rachunku wektorowego wiadomo:
więc:

zatem

ale

Zatem

Składowe wektora
:

Porządkując:

gdzie:

skoro
więc:

Tensor momentu bezwładności osi głównych:

Ostatecznie

Własności tensora momentu bezwładności:

1. Symetryczny:

I_xy= I_yx

I_xz= I_zx

I_yz= I_zy

2. 
   Można zdiagonalizować do postaci:
   

Suma jest izotropowa, czyli jest niezależna od orientacji ciała względem osi układu - wyrazy poza przekątną są symetryczne. Gdy ciało ma symetrię osiową np. względem osi OZ to
, ponieważ dla każdego punktu m_i o współrzędnych x_i, y_i istnieje identyczny punkt o współrzędnych x_i, -y_i.

5.5. Przykłady obliczeń momentów bezwładności.

1. Liniowy rozkład masy.

Cienki jednorodny pręt o gęstości liniowej

i długości l.

Obrót wokół osi Z:

oraz

czyli
Jeżeli oś obrotu jest przesunięta do Z' o
:

wówczas z twierdzenia Steinera:

2. Powierzchniowy rozkład masy.

Cienki jednorodny dysk o promieniu R i gęstości powierzchniowej

gdzie ds=2πrdr

więc

pozostałe momenty bezwładności - korzystając z własności ciała o symetrii osiowej:

Dla ogólnego przypadku:

gdzie

a więc

Dla rozważanego dysku gdy
otrzymujemy:

Tak więc
stąd

Lub obliczając inaczej - skoro x²+ y²+ z² =r² oraz x = y a więc r²= 2x²

3. Powłoka kulista.

Gęstość powierzchniowa powłoki o promieniu R wynosi

Skoro jest symetria kulista to:

I_xy= I_xz= I_yz= 0

czyli

Lub obliczając inaczej:

Skoro x²+ y²+ z² =r² oraz x = y= z a więc r²= 3x²

Więc
czyli

4. Objętościowy rozkład masy.

Kula o promieniu R i gęstości objętościowej ρ.

Kulę rozpatrujemy jako zbiór cienkich, kulistych powłok dm o grubości dr, mających gęstość powierzchniową

σ =ρ⋅ dr bo

Skoro
więc

skoro 3x²= r²

więc

ponieważ

więc
stąd po podstawieniu:

różne od zera tylko

wartości osi głównych

---