5.6. Równania Eulera.

Moment sił działających na bryłę względem środka układu inercjalnego

XYZ jest:

Wygodniej jest prowadzić obliczenia względem układu sztywno związanego z ciałem - układu nieinercjalnego X'Y'Z'. Transformacja wektora
przy przejściu z układu inercjalnego do układu obracającego się z prędkością kątową ω:

gdzie

Wektor
jest więc rozpatrywany w układzie wirującym.

Zatem równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:

Gdy M_x= M_y= M_z= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy (precesja swobodna).

Kula.

I_xx= I_yy= I_zz wówczas równania Eulera są następujące:

Obręcz.

Cienka obręcz o promieniu R.

I_xx= I_yy

I_zz=mR²

równania Eulera

dla osi X :

dla osi Y :

dla osi Z :

co możemy odpowiednio zapisać:

⇒ ω_z = const; L_z = const

podstawiając
otrzymujemy:
(1)

oraz
(2)

różniczkując te równania po czasie dostajemy:

skoro z (1) wynika, że
to ostatecznie:

Jest to równanie analogiczne do równania ruchu harmonicznego:

m⋅a = - k⋅x czyli
gdzie

rozwiązaniem tego równania jest: x =Asin(ωt + ϕ)

W przypadku obręczy: rozwiązaniem jest:

oraz

Jeżeli więc
to wektor
jest stały w przestrzeni, natomiast składowe x i y wektora
są prostopadłe do osi symetrii obręczy i wektor
obraca się wokół osi Z ze stałą prędkością kątową
gdzie
jest tzw. częstością precesji obręczy.

5.7. Precesja - przykłady: bąk i spin elektronu.

Bąk symetryczny.

gdzie
jest momentem pędu w układzie własnym

czyli:

skoro M = mgRsinα to

mgRsinα = ω'Lsinα

stąd

oznacza to, że prędkość kątowa precesji jest stała !!

czyli

prędkość kątowa precesji:

Precesja spinu.

Elektron krążący po orbicie.

Moment pędu (orbitalnego):

czyli

L = ⋅r⋅m⋅V =r²m⋅ω

Moment magnetyczny elektronu o wartości:

ponieważ
więc

ostatecznie:

współczynnik giromagnetyczny
czyli

Jeżeli teraz przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne B (0, 0, B_z)

Działa wówczas moment siły:

czyli jest precesja spinu !!

stąd

a więc M_x= γL_yB_z; M_y= -γL_xB_z; M_z= 0 czyli rzut
na oś Z jest zachowany.

Częstość precesji spinu Ω = γ ⋅ B

L_x(t) = A sinΩt; L_y(t) = A cosΩt; L_z = const

Rezonans spinowy ⇒ elektronowy paramagnetyczny

jądrowy ferromagnetyczny

NMR

Pole magnetyczne o o zmiennej z częstością ω składowej w kierunku X:

Równania ruchu obliczamy na podstawie działającego momentu siły:

skąd M_x = γL_yB_z;

M_y = -γL_xB_z + L_zγB₁sinωt czyli M_y = -ΩL_x + γL_zB₁sint

M_z = -γL_yB₁sinωt

Założenie: L_z >> L_y to kąt precesji Θ jest mały

B_z >> B_x = B₁sinωt

Szukamy rozwiązań L_x(t) i L_y(t)

L_x= Asinωt; L_y= C cosωt gdzie ω jest takie samo jak ω zmiennego pola w kierunku X !

Warunek rezonansu: A i C maja wartość maksymalną !

stąd :

L_z = const

gdzie Ω = γ ⋅ B

Rezonans spinowy zachodzi gdy

ω = Ω

Skoro więc
to

czyli np. I_xxω_x= const a zatem ω_x= const czyli ogólnie

---