Równania wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy każde równanie w postaci
, gdzie W(x), Q(x) to wielomiany,
i nie są one wielomianami zerowymi.

Dziedziną równania wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu Q(x) znajdującego się w mianowniku wyrażenia
:

D = R\{x : Q(x) =0}

Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego W(x) = 0
z uwzględnieniem, że otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania wymiernego.

Zatem:

⇔ W(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0

Schemat rozwiązywania równań wymiernych.

Rozwiązanie równania wymiernego przeprowadza się według schematu:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w mianownikach i ustalenie dziedziny równania.

2. Wyznaczenie wspólnego mianownika dla wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w równaniu.

3. Pomnożenie obydwu stron równania przez wspólny mianownik.

4. Rozwiązanie otrzymanego równania algebraicznego.

5. Sprawdzenie, które z otrzymanych rozwiązań równania algebraicznego należą do dziedziny równania wymiernego.

6. Sformułowanie odpowiedzi.
   
   Przykład 1
   Rozwiąż równanie: 
   

Rozwiązanie:

Rozwiązanie równania przebiega według przedstawionego schematu.

1. Rozkładamy mianowniki na czynniki i wyznaczamy dziedzinę równania:

x² + 4x = x(x + 4)

x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

x² - 4x = x(x - 4)

Otrzymujemy równanie:

x(x + 4) = 0 (x - 4)(x + 4) = 0 x(x - 4) = 0

x = 0 lub x + 4 = 0 x - 4 = 0 lub x + 4 = 0 x = 0 lub x - 4 = 0

x = -4 x = 4 lub x = -4 x = 4

Dziedziną danego równania jest zbiór: D = R\{-4, 0, 4}

2. Wyznaczamy wspólny mianownik: x(x + 4)(x - 4)

3. Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik

/⋅ x(x + 4)(x - 4)

 i otrzymujemy równanie algebraiczne:

(x - 11)(x - 4) = x(x + 2) - (3x - 9)(x + 4)

4. Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:

x ² - 4x - 11x + 44 = x² + 2x - 3x² - 12x + 9x + 36

3x² - 14x + 8 = 0      

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

Δ = 196 - 96 = 100

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby:
 i 4.

5. Sprawdzamy, który z otrzymanych pierwiastków należy do dziedziny równania wymiernego:

D = R\{-4, 0, 4} : 4 ∉ D,
∈ D

Jedynym pierwiastkiem równania wymiernego jest więc liczba

Odp. Rozwiązaniem danego równania jest liczba
.

Przykład 2

Rozwiąż równanie:

1. wyznaczam dziedzinę

stąd

czyli dziedzina to

2. mnożymy obie strony przez wyrażenie (x-1)(x+2) i otrzymujemy

stąd (x+2) + 2(x - 1) = 3

x + 2 + 2x - 2 = 3

3x = 3 /: 3

x = 1

Sprawdzamy rozwiązanie z dziedziną i widzimy, że jest to punkt wyłączony z dziedziny, stąd dane równanie wymierne nie ma rozwiązania.

Przykład 3

Rozwiąż równanie :

Dziedzina

2x - 1 = 0 1 - 2x = 0

2x = 1/:2 -2x = -1 /: (-2)

x =
x =

D = R \ {
}

Korzystam z własności proporcji. Jeśli b ≠ 0 i d ≠ 0 , to

(x - 3)(1 - 2x) = (2x - 1)(x - 3)

x - 2x² - 3 + 6x = 2x² - 6x - x + 3

- 2x² - 2x² + 7x + 7x -3 - 3 = 0

-4x² + 14x - 6 = 0 /:2

-2x² + 7x - 3 = 0

Δ = 49 - 4⋅(-2)(-3) = 49 - 24 = 25

3 ∈ D
∉ D

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba 3.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania 1- 16 str. 25-28 z podręcznika.

---