10. ~(p ^ q) ≡ (~p v ~q)

Pr. De Morgana dla koniunkcji

Nie jest tak, że Ola pracuje i Ola studiuje wtedy tylko, gdy Ola nie pracuje lub Ola nie studiuje.

11. ~(p v q) ≡ (~p ^ ~q)

Pr. De Morgana dla alternatywy

Nie jest tak, że Ola pracuje lub Ola studiuje wtedy tylko, gdy Ola nie pracuje i Ola nie studiuje.

12. ~(p→q) ≡ (p ^ ~q)

Pr. zaprzeczenia implikacji

Nie jest tak, że jeśli Adam zdał maturę to Adam dostał się na studia wtedy tylko, gdy Adam zdał maturę i nie dostał się na studia.

13. (p→q) ≡ ~(p ^ ~q)

Pr. Zastępowania implikacji (koniunkcją)

Jeśli Ola zdała wszystkie egzaminy to Ola zaliczyła semestr wtedy tylko, gdy nie jest tak, że Ola zdała wszystkie egzaminy i nie zdała semestru.

14. (p→q) ≡ (~p v q)

Pr. Zastępowania implikacji (alternatywą)

Jeśli pogoda jest upalna to jest lato wtedy tylko gdy pogoda nie jest upalna lub jest lato.

15. (p ^ q) ≡ ~(~p v ~q)

Pr. Zastępowania koniunkcji (alternatywą)

Ola jest piękna i Ola jest inteligentna wtedy tylko, gdy nie jest tak, że Ola nie jest piękna lub Ola nie jest inteligentna.

16. (p ^ q) ≡ ~(p → ~q)

Pr. Zastępowania koniunkcji (implikacją)

Ola jest piękna i inteligentna wtedy tylko, gdy nie jest tak, że Ola jeśli jest piękna to nie jest inteligentna.

17. (p v q) ≡ ~(~p ^ ~ q)

Pr. zastępowania alternatywy (koniunkcją)

Tkanina jest biała lub czarna wtedy tylko, gdy nie jest tak, że tkanina nie jest biała i nie jest czarna.

18. (p v q) ≡ (~p → q)

Pr .zastępowania alternatywy (implikacją)

Tkanina jest biała lub czarna wtedy tylko, gdy jeśli tkanina nie jest biała to jest czarna.

19. (p ≡ q) ≡ ((p → q) ^ (q → p))

Pr. zastępowania równoważności

Adam kocha Olę wtedy tylko gdy Ola kocha Adama, wtedy i tylko wtedy gdy jest tak, że jeśli Adam kocha Olę to Ola kocha Adama i jeśli Ola kocha Adama to Adam kocha Olę.

20. ~(p ≡ q) ≡ (~(p → q) v ~(q → p))

Pr. Zaprzeczenia równoważności I

Nie jest tak, że Adam kocha Olę wtedy, gdy Ola kocha Adama wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że jeśli Adam kocha Olę to Ola kocha Adama lub nie jest tak, że jeśli Ola kocha Adama to Adam nie kocha Oli.

21. ~(p ≡ q) ≡ ((p ^ ~q) v (q ^ ~p))

Pr. zaprzeczenia równoważności II

Nie jest tak, że Adam kocha Olę wtedy, gdy Ola kocha Adama, wtedy i tylko wtedy, gdy jest tak, że jeśli Adam kocha Olę to Ola nie kocha Adama i jeśli Ola kocha Adama to Adam nie kocha Oli.

22. ((p → q) ^ p) → q

Modus ponendo ponens

(potwierdzający przez potwierdzenie)

Jeśli jest zima to jest mroźno i jest mroźno, bo jest zima.

23. ((p → q) ^ ~q) → ~p

Modus tollendo tollens

(zaprzeczający przez zaprzeczenie)

Jeśli woda wrze to jej temperatura wynosi 100°C i jeśli temperatura wody nie wynosi 100°C to woda nie wrze.

24. ((p v q) ^ ~p) → q

Modus tollendo ponens

(potwierdzający przez zaprzeczenie)

Wiemy, że Adam jest księdzem lub mnichem i wiedząc, że jeśli Adam nie jest mnichem to Adam musi być księdzem.

25. ((~p v ~q) ^ p) → ~q

Modus ponendo tollens

(zaprzeczający przez potwierdzenie)

Wiemy, że Ola nie jest blondynką lub brunetką i wiedząc, że jest blondynką to nie może być brunetką.

26. ((p ^ q) → r) ≡ ((p ^ ~r) → ~q)

Pr. transpozycji złożonej

Jeśli Ola jest wysoka i ma długie blond włosy to Ola jest ładna wtedy tylko, gdy jest tak, że jeśli Ola jest wysoka i nie jest ładna to nie ma długich włosów.

27. (p → (q → r)) ≡ (q → (p → r))

Pr. Komutacji

Jeśli kocha to mu zależy, więc jeśli mu zależy to szanuje wtedy tylko, gdy jest tak, że jeśli mu zależy to kocha, więc jeśli kocha to szanuje.

28. ((p ^ q) → r) ≡ (p → (q → r))

Pr .eksportacji i impostacji

Jeśli zależy mu i szanuje to kocha wtedy tylko, gdy jest tak, że jeśli mu zależy to szanuje, wiec jeśli szanuje to kocha.

31. (p ^ (q v r)) ≡ ((p ^ q) v (p ^ r))

Pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

Adam jest mężczyzną i Adam ma żonę lub kochankę wtedy tylko, gdy jest tak, że Adam jest mężczyzną i ma żonę lub Adam jest mężczyzną i ma kochankę.

32. (p v (q ^ r)) ≡ ((p v q) ^ (p v r))

Pr. rozdzielności alternatywą względem koniunkcji

Ala pracuje lub Ola pracuje i Ola jest kierowniczką wtedy tylko, gdy jest tak, że Ala pracuje lub Ola pracuje i Ala pracuje lub Ola jest kierowniczką.

33. ((p → q) ^ (p → r)) ≡ (p → (q ^ r))

Pr. mnożenia następników

Jeśli Adam popełnił poważne wykroczenie drogowe to Adam stracił prawo jazdy i jeśli Adam popełnił poważne wykroczenie drogowe to nie może prowadzić pojazdów mechanicznych wtedy tylko, gdy jeśli Adam popełnił poważne wykroczenie to stracił prawo jazdy i nie może prowadzić pojazdów mechanicznych.

34. ((p → r) ^ (q → r )) ≡ ((p v q) → r)

Pr. Dodawania poprzedników

Jeśli pada śnieg to jest zima i jeśli jest mroźno to jest zima wtedy tylko, gdy jest tak, że pada śnieg i jest mroźno to jest zima.

36. ((p → q ) ^ (q → r)) → (p → r)

Koniunkcyjny sylogizm hipotetyczny

Jest tak, że jeśli kobieta jest piękna to ma powodzenie i jeśli ma powodzenie to ma wielu adoratorów, więc jeśli kobieta jest piękna to ma wielu adoratorów.

37. (p → q) → ((q → r) → (p → r))

Bezkoniunkcyjny sylogizm hipotetyczny

Jeśli Adam złamał prawo to Adam podlega karze, więc jeśli podlega karze to może zostać skazany, a zatem jeśli Adam złamał prawo to Adam może zostać skazany.

---