Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego grawitacyjnego i sprawdzanie twierdzenia Steinera

Ćwiczenie 1

Cel ćwiczenia: stwierdzenie, że okres małych drgań fizycznego wahadła grawitacyjnego zależy od momentu bezwładności ciała. Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczanie momentu bezwładności ciała względem osi środkowej.

1. Wstęp teoretyczny

1. Środek masy

W rozważaniach teoretycznych stosuje się często pojęcie środka masy ciała. Położenie przestrzenne środka masy ciała określajmy posługując się wektorem wodzącym r masy elementarnej dm. W odpowiednim układzie odniesienia mamy

gdzie r_C ≡ (x_C, y_C, z_C) - wektor położenia środka masy ciała.

ρ - gęstość (masa właściwa.

Zgodnie z definicją:

gdzie: dm - masa elementarna, dV - odpowiednia elementarna objętość w małym otoczeniu punktu P ciała. Dla ciał jednorodnych ρ = const = m/V w całej objętości ciała.

2. Twierdzenie Steinera

Jeżeli znany jest moment bezwładności ciała względem osi środkowej, to można wyznaczyć moment bezwładności względem innej osi równoległej do osi środkowej. Korzystamy wtedy z twierdzenia Steinera: różnica momentów bezwładności względem dwóch różnych równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy ciała, równa jest iloczynowi masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami:

3. Dowód twierdzenia Steinera.

Rozważania matematyczne przeprowadzamy w płaszczyźnie przekroju ciała prostopadłego do obu równoległych osi obrotu. Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich ma początek w punkcie C osi środkowej. Położenie równoległej osi obrotu wyznacza punkt O na osi X układu współrzędnych. Jeżeli odległość obu osi obrotu wynosi d, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla współrzędnych punktu P ciała mamy

Mnożąc obie strony tej zależności przez elementarną masę dm = dV = dSdz = = (dxdy)dz i całkując po objętości całego ciała otrzymujemy

Korzystając z definicji osiowego momentu bezwładności oraz z definicji środka masy ciała mamy, w naszym przypadku

W ten sposób uzyskaliśmy zależność wyrażającą twierdzenie Steinera.

Ilustracja do dowodu twierdzenia Steinera

2. Pomiary

1. Tarcza kołowa z otworami

1. Pomiar 1

2d = 150mm

d = 75mm = 0,075 m

Lp	n	t [s]	T [s]
1	100	66,962	0,66962
2	99	66,355	0,67025
3	100	66,996	0,66996

T_śr = 0,66994 s

2. Pomiar 2

2d = 100,2mm

d = 50,1mm = 0,0501 m

Lp	n	t [s]	T [s]
1	100	66,006	0,66006
2	100	66,026	0,66026
3	100	66,020	0,66020

T_śr = 0,66017 s

3. Pomiar 3

2d = 127,8mm

d = 63,9mm = 0,0639 m

Lp	n	t [s]	T [s]
1	100	66,084	0,66084
2	100	66,097	0,66097
3	100	66,074	0,66074

T_śr = 0,66085 s

m = 1061,6 g - masa tarczy

2. Cylindryczny pierścień

Promień wewnętrzny R₁

2r₁ = 105,02 mm

2r₂ = 105,02 mm

2r₃ = 105,3 mm

R₁ = r_śr = 52,555 mm

m = 220,6 g - masa pierścienia

Promień zewnętrzny R₂

r₄ = 7,11 mm

r₅ = 7,1 mm

r₆ = 7,14 mm

R₂ = R₁ + r_śr = 52,555 + 7,12 = 59,675 mm

Wysokość pierścienia h

h₁ = 14,8 mm

h₂ = 14,81 mm

h₃ = 14,82 mm

h_śr = 14,81 mm

1. Pomiar 4

Lp	n	t [s]	T [s]
1	100	67,105	0,67105
2	100	67,095	0,67095
3	100	67,147	0,67147

T_śr = 0,67116 s

3. Obliczenia

1. Stała C

2. Moment bezwładności tarczy względem osi środkowej I_c

m = 1,0616 kg

I_c = 0,0059549 kg*m*

3. Moment bezwładności pierścienia cylindrycznego względem osi środkowej

T = 0,67116 s

m = 220,6 g = 0,2206 kg

g = 9,80665 m/s*

d = R₁ = 52,555 mm = 0,052555 m

I = 0,001297 kg*m*

4. Moment bezwładności względem środka masy (z tw. Steinera)

I_c = I - md*

I = 0,001297 kg*m*

m = 220,6 g = 0,2206 kg

d = R₁ = 52,555 mm = 0,052555 m

I_c = 0,0006877 kg*m*

5. Moment bezwładności ze wzoru tablicowego

m = 220,6 g = 0,2206 kg

R₁ = 52,555 mm = 0,052555 m

R₂ = 59,675 mm = 0,059675 m

I_z = 0,0006974 kg*m*

6. Porównanie wyników

IC	0,0006877 kg*m*
IZ	0,0006974 kg*m*
Różnica	0,0000097 kg*m*

4. Błędy

1. Tarcza z otworami

1. Stała C

ΔC = 2TgdΔT + T²gΔd - 8π²dΔd

T = 0,66994 s

ΔT = 0,001 s

g = 9,80665 m/s*

d = 0,075 m

Δd = 0,00001 m

ΔC = 2*0,66994*9,80665*0,075*0,001 + (0,66994)**9,80665*0,00001 - 8*(3,14159265)**0,075*0,00001 = 0,00098548 + 0,000044014 - 0,000059217 = 0,000970277 ≈ 0,001 m*

2. Masa tarczy

Δm = 0,0001 kg

3. Moment bezwładności

_  (m / ^C + (C / 4^)m

m = 1,0616 kg

C = 0,001 m*

C = 0,22145 m*

m = 0,0001 kg

I₀ = 0,00002689 + 0,00000056 = 0,00002745 ≈ 0,003 kgm²

2. Cylindryczny pierścień

1. Masa pierścienia

Δm = 0,0001 kg

2. Moment bezwładności

I = g/4^ (mdT + dT²m + mT²d)

g = 9,80665 m/s*

T = 0,67116 s

ΔT = 0,001 s

d = 0,052555 m

Δd = 0,00001 m

m = 0,2206 kg

Δm = 0,0001 kg

ΔI = 0,000003865 + 0,000000588 + 0,000000246 =

= 0,000004699 kg*m* ≈ 0,000005 kg*m*

3. Moment bezwładności względem środka masy

I_C = I - d²m + 2mdd

I_C = 0,000005 - 0,000000276 + 0,000000231 = 0,000004955 kg*m* ≈ 0,000005 kg*m*

4. Moment bezwładności ze wzoru tablicowego

ΔI_Z = 0,5(R₁²Δm + 2m R₁Δ R₁ + R₂²Δm + 2 R₂mΔ R₂)

R₁ = 0,052555 m

ΔR₁ = 0,00001 m

Δm = 0,0001 kg

m = 0,2206 kg

R₂ = 0,059675 m

ΔR₂ = 0,00001 m

ΔI_Z = 0,5*(0,000000276 + 0,000000231 + 0,000000263) = 0,000000385 kg*m* ≈ 0,0000004 kg*m*

5. Spostrzeżenia i wnioski

• Zastosowane przyrządy pomiarowe zapewniają dużą dokładność co powoduje, że szukane wielkości możemy wyznaczyć z małym błędem

• Błędy dodatkowe nie uwzględnione w obliczeniach to ewentualne ślizganie się tarczy po pryzmacie co jest jednoznaczne z przesuwaniem się osi obrotu

• Przy pomiarze czasu bierzemy pod uwagę jedynie błąd przyrządu nie uwzględniamy błędu związanego z właściwym włączeniem i wyłączeniem stopera a taki błąd istnieje i jest on tym większy nim krótszy jest czas pomiaru

• Do pomiaru czasu została użyta fotokomórka sprzężona z elektronicznym licznikiem drgań

• Na dokładność pomiaru I_c i Iz miał dodatkowo wpływ błąd związany z pomiarem masy tarczy.

• Błąd bezwzględny przy wyznaczaniu środkowego momentu bezwładności pierścienia był niewielki i wynosił ok. 1,5%

• Wychylenie wahadła nie ma wpływu na okres drgań pod warunkiem, że jest małe

• Moment bezwładności jest wprost proporcjonalny do masy oraz odległości osi wahadła od osi środkowej

• Dla małych wychyleń stała drgań wahadła C nie zależy od odległości osi wahadła od osi środkowej ciała

• Zmieniając otwór zawieszenia okrągłej metalowej tarczy zmienia się położenie osi obrotu tarczy względem osi środkowej

• Im bliżej od osi środkowej znajduje się oś zawieszenia tarczy, tym krótszy jest okres drgań wahadła

8

---