LABORATORIUM TEORII STEROWANIA I TECHNIKI REGULACJI	Imię Nazwisko: Seweryn Kwieciński
WYDZIAŁ EAIiE	Rok akademicki.: 2011/2012
Temat ćwiczenia: Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów UAR
Data wykonania ćwiczenia: 05.03.2012 12.03.2012	OCENA

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było sporządzenie opisu matematycznego dla podstawowych bloków UAR, oraz wykreślenie charakterystyk dynamicznych: czasowych (odpowiedź na skok jednostkowy) i częstotliwościowych (charakterystyki Bodego i Nyquista) dla poszczególnych bloków. Do wykonania symulacji użyto środowiska MATLAB.

1. Wstęp teoretyczny

Podczas zapoznawania się z przedmiotem Teoria sterowania będziemy analizować zachowanie się układów. Za pomocą schematu blokowego można w łatwy sposób opisać strukturę układu oraz przypisać poszczególnym elementom operacje matematyczne, którym podlega sygnał wejściowy. Te bloki inaczej nazywamy tez członami. Każdy blok opisać można stosowną formułą matematyczną, określającą jego działanie. W wyniku tego można łatwo opisać relacje jakie zachodzą między sygnałami wejściowymi a wyjściowymi w dowolnym układzie.

Podczas symulowaliśmy 6 członów:

- proporcjonalny (P),

- całkujący (I),

- różniczkujący idealny(D),

- różniczkujący rzeczywisty,

- inercyjny,

- oscylacyjny.

Charakterystyki czasowe:

Charakterystyką czasową członu lub układu nazywamy przebieg jego wielkości wyjściowej, uzyskany pod wpływem impulsowej lub skokowej zmiany wielkości wejściowej, przy czym przed ta zmianą układ znajdował się w stanie ustalonym. Charakterystyki te dają możliwość bezpośredniej oceny układu, ponieważ charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t).

Najczęściej stosowanymi wymuszeniami są:

-skok jednostkowy 1(t) - jest to wtedy odpowiedź skokowa

-impuls Diraca δ(t)- jest to wtedy odpowiedź impulsowa

Charakterystyki częstotliwościowe dzielimy na :

-charakterystykę Bodego: Charakterystyka ta obrazuje logarytmiczną zależność amplitudy i fazy sygnału wejściowego od częstotliwości. Składa się z dwóch wykresów: charakterystyki amplitudowej oraz charakterystyki fazowej.

-charakterystykę Nyquista: Wykres transmitancji widmowej układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. (amplitudowo - częstotliwościowa na płaszczyźnie zespolonej).

3. Człon proporcjonalny

Człon proporcjonalny to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do sygnału wejściowego x(t). Jest elementem o najprostszych własnościach dynamicznych. Jego zadaniem jest przenoszenie sygnału wejściowego na wyjście w sposób nieodkształcony. Zmianie ulega jedynie amplituda sygnału wyjściowego. Człon proporcjonalny opisany jest następującym równaniem funkcji czasowych:

Przykładami członów proporcjonalnych są: przekładnie zmieniające liczbę obrotów, przekładnie zmieniające moment napędowy, wzmacniacze elektroniczne oraz większość czujników - przetworników pomiarowych.

gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy,

k – współczynnik wzmocnienia.

Po transformacie Laplace’a powyższego równania otrzymujemy:

Zatem transmitancja operatorowa wynosi:

Kod do wyznaczenia charakterystyk w MATLAB:

.

1. Odpowiedź skokowa

b) Charakterystyki Bodego

c) Charakterystyka Nyquista

Wnioski

- sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego

- sygnał odpowiednio wzmocniony gdy k>1, a gdy k<0 sygnał jest tłumiony

- wzmocnienie jest stałe nie zależy od częstotliwości

- faza jest stała niezależna od pulsacji, dla nie wprowadza przesunięcia fazowego, natomiast element odwraca fazę.

- część urojona transmitancji widmowej jest równa 0, a część rzeczywista k.

4. Człon całkujący

Człon całkujący to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do całki sygnału wejściowego x(t). W układach dynamicznych człony całkujące - czyli integratory - zachowują się jak elementy magazynujące (przykładem tu mogą być: sprężyna albo kondensator, które magazynują na przykład energię potencjalną czy kinetyczną). Integratory w ciągłych układach sterowania służą jako urządzenia zapamiętujące, dlatego sygnały wyjściowe takich integratorów mogą być rozważane jako zmienne, które definiują wewnętrzny stan układu.

Człon całkujący opisany jest następującym równaniem:

gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy.

Transmitancja operatorowa członu całkującego:

Kod do wyznaczenia charakterystyk w MATLAB:

a) Odpowiedź skokowa

b) Charakterystyki Bodego

c) Charakterystyka Nyquista

Wnioski:

- Występuje brak stanu ustalonego co można zaobserwować na odpowiedzi skokowej, ma to wpływ na stabilność pracy obiektu.

- Rozpatrywany człon można traktować jako szeregowe połączenie członu proporcjonalnego z całkującym.

- Na skali logarytmicznej nie występuje zero (wynika to z założeń dotyczących logarytmu, log(x) gdzie x większe od 0).

- Kąt nachylenia krzywej, na wykresie odpowiedzi członu na skok jednostkowy jest równy arctg(k).

- Sygnał wyjściowy jest przesunięty w fazie o -90 stopni względem sygnału wyjściowego.

5. Człon różniczkujący

Człony różniczkujące są wykorzystywane, np. w postaci wzmacniaczy operacyjnych, do przekształcania sygnałów analogowych generowanych przez różnego rodzaju czujniki. Przykładowo, jeżeli czujnik generuje sygnał o wartości proporcjonalnej do mierzonego przemieszczenia, to człon różniczkujący dostarczy sygnał o wartości proporcjonalnej do prędkości ruchu, czyli vx = dx/dt.

Człony różniczkujące wzmacniają sygnały o wysokich częstotliwościach.

Gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy.

Transmitancja operatorowa:

Kod MATLAB:

a) Brak odpowiedźi skokowej (dzielenie przez zero). Odpowiedź ta jest funkcją Diraca.

b) Charakterystyki Bodego

c) Charakterystyka Nyquista

Wnioski

- Odpowiedzią na skok jednostkowy członu jest iloczyn współczynnika k i delty Diraca δ(t) (nieskończenie krótki i o nieskończonej amplitudzie impuls) dlatego nie można wykreślić tej charakterystyki;

- Charakterystyka Nyquista ma kształt półprostej o początku w punkcie przecięcia osi rzeczywistej i urojonej, zmierzającej do punktu o współrzędnych P(ω) = 0, Q(ω) = + ∞.

- Charakterystyka ta nie zależy od współczynnika k, dla różnych wartości tego współczynnika półproste nakładają się na siebie;

- Charakterystyka Bodego dla tego członu jest zależna proporcjonalnie od współczynnika k i od częstotliwości, wraz z jej wzrostem amplituda sygnału wyjściowego rośnie. Z tej charakterystyki widzimy, że wzrost wzmocnienia układu wynosi 20 dB na dekadę.

- Człon różniczkujący idealny jest filtrem górnoprzepustowym. Dla częstotliwości wymuszenia równej częstotliwości charakterystycznej członu układ zachowuje się jak człon proporcjonalny co wynika ze wzoru: .

- Charakterystyka fazowa członu nie zależy od częstotliwości, zależy jedynie od współczynnika k:

.

6. Człon różniczkujący z inercją (rzeczywisty)

Człon różniczkujący rzeczywisty opisany jest równaniem ogólnym:

Gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy,

T – stała czasowa członu.

Transmitancja operatorowa układu: .

Kod MATLAB:

Wnioski

- Porównując charakterystyki amplitudowo-fazowe członów różniczkującego idealnego i rzeczywistego można zauważyć że człon rzeczywisty będzie poprawnie różniczkował dla zakresu niskich częstotliwości.

- Odpowiedź na skok jednostkowy członu różniczkującego rzeczywistego ma postać krzywej wykładniczej malejącej do do zera, im stała czasowa T ma większą wartość to czas zejścia krzywej do zera jest dłuższy.

- W przeciwieństwie do członu różniczkującego idealnego istnieje charakterystyka czasowa, ponieważ odpowiedź układu jest opóźniana przez obecność stałej czasowej. Współczynnik wzmocnienia k wpływa na wartość amplitudy początkowej odpowiedzi;

- Charakterystyka Nyquist’a ma bardziej skomplikowaną postać niż dla członu różniczkującego idealnego. Na tej charakterystyce punkt przegięcia paraboli to punkt dla którego (pulsacja własna układu). Amplituda dla tej pulsacji wynosi Dla tej pulsacji wzmocnienie członu maleje o 3dB.

- Charakterystyka Bode’go także ma bardziej skomplikowaną postać niż dla członu różniczkującego idealnego. Porównując charakterystyki obu członów zauważamy, że im mniejsza pulsacja i im mniejsza stała czasowa to charakterystyka członu rzeczywistego jest bardziej zbliżona do idealnej. Dla pulsacji własnej członu układ przesuwa sygnał o kąt fazowy 45º niezależnie od wartości i znaku współczynnika wzmocnienia.

- Człon różniczkujący rzeczywisty można zastąpić innymi układami elementarnymi: połączonymi kaskadowo układem proporcjonalnym, różniczkującym idealnym i inercyjnym.

7. Człon inercyjny

Człon inercyjny charakteryzuje się tym, że jego sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego dopiero po upływie określonego czasu.

Przykładami członów inercyjnych pierwszego rzędu są te wszystkie urządzenia, w których występuje magazynowanie energii dostarczanej przez sygnał wejściowy, np. energii kinetycznej w obracającej się masie wirnika silnika elektrycznego po zmianie napięcia wysterowania.

Człon inercyjny jest opisany równaniem ogólnym:

Gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy,

T – stała czasowa członu.

Transmitancja operatorowa:

Kod MATLAB:

Wnioski:

- Człony inercyjne wygładzają przebiegi szybkozmiennych sygnałów wejściowych. Z tego powodu człony te nazywa się też filtrami dolnoprzepustowymi pierwszego rzędu, ponieważ przepuszczają one sygnały wolnozmienne, tłumią zaś sygnały o wysokich częstotliwościach.

- Człony inercyjne charakteryzują się magazynowaniem energii i stałą czasową.

- Po zadziałaniu na człon inercyjny skoku jednostkowego sygnał na wyjściu narasta wykładniczo

- Wartość ustalona równa się wzmocnieniu elementu, a czas narastania sygnału zależy od stałej T

- Wzmocnienie zależy od częstotliwości z szybkością 20dB/dek gdyż jest to element I rzędu

- Charakterystyka ta ma sens dla ω> więc dolna ‘połówka’ koła ma sens fizyczny- górna sensu fizycznego nie ma.

8. Człon oscylacyjny

Człon oscylacyjny opisany jest równaniem ogólnym:

Gdzie:

u(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy.

T – okres drgań rezonansowych członu,

ξ – współczynnik tłumienia członu.

Transmitancja operatorowa:

Kod MATLAB:

Wnioski:

- Odpowiedź członu na skok jednostkowy dla ξ = 0 (brak tłumienia) ma kształt cosinusa

- Dla wartości równych i większych od 1 tłumienie jest tak duże, że oscylacje nie występują - układ zachowuje się jak człon inercyjny. Dla tłumienia z zakresu od 0 do 1 odpowiedź układu oscyluje wokół wartości wzmocnienia k (im wartość ξ większa oscylacje są tłumione w bardziej widoczny sposób). Dla wartości mniejszych od 0 układ jest niestabilny (oscylacje zamiast wytłumieniu ulegają wzmocnieniu)

- Charakter członu zależy od współczynnika tłumienia. W zależności od jego wartości układ może być oscylacyjny, mieć charakter członu inercyjnego lub charakteryzować się niestabilnością.

- W charakterystykach Bode’go duży wpływ wywiera współczynnik tłumienia ξ na kształt charakterystyki fazowo-częstotliwościowej. Im większa wartość ξ tym charakterystyki Bode’go staja sie coraz bardziej gładkie

Korzystana literatura

1. „Teoria sterowania i technika regulacji” – Skrypt AGH pod redakcją Stanisława Potrawki

2. „Podstawy Teorii Sterowania” - Tadeusz Kaczorek

3. Internet: http://www.asimo.pl/