Sprawozdanie z laboratorium nr 1:
Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi.

$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 2\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + 4y = 0\ ;\ \ war.\ pocz.\ \ y\left( 0 \right) = 0\ ;\ \dot{y}\left( 0 \right) = - 1$$

1. Symboliczne rozwiązywanie równań różniczkowych – funkcja dsolve().

syms x y;

y = dsolve('D2y + 2*Dy + 4*y=0' , 'y(0)=0' , 'Dy(0)=-1');

pretty(x);

t=0:0.01:9.99;

w=subs(y);

plot(t,w,'r-');

xlabel('czas[s]');

ylabel('amplituda sygnalu');

title('wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

1. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych – funkcja ode45().

1. Funkcja równania – jako równanie stanu:

function ydot=funkcja(t,y)

ydot=zeros(2,1);

ydot(1)=y(2);

ydot(2)=(-2*y(2)-4*y(1));

1. Wprowadzone parametry wyjściowe:

function rozw2

t0=0;

clc

disp('Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda');

disp('Rungego - Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:');

disp(' ');disp('postac rownania:');disp(' ');

disp(' y``+2*y`+4*y = 0');

y01=input ('Podaj wartosc y01 = ');

y02=input ('Podaj wartosc y02 = ');

tk=input ('Podaj czas symulacji tk = ');

czas_sym=[t0 tk];

war_pocz=[y01 y02];

[t,y]=ode45('funkcja',czas_sym,war_pocz);

plot(t,y(:,1),'g-');

xlabel('czas [s]');ylabel('amplituda sygnalu');

title('Wykers rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

1. Rozwiązywanie równań różniczkowych przy pomocy pakietu Simulink.

schemat blokowy:

sim('metoda3')

figure(1)

plot(wykres3(:,1),wykres3(:,2),'b-')

xlabel('czas[s]');

ylabel('amplituda sygnalu');

title('wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');

grid;

1. Zestawnienie i porównanie wykresów uzyskanych funkcją dsolve(), ode45() i przy pomocy pakietu Simulink.

2. Powiększenie zestawionych wykresów w punkcie charakterystycznym.

3. Wnioski:

Równanie różniczkowe: x''+2x'+4x=0 przy warunkach początkowych: x'(0)=-1; x(0)=1 zostało obliczone metodami dsolve,ode45 oraz za pomocą projektowania w dodatku Simulink. Na podstawie wykonanych obliczeń można wywnioskować że wszystkie metody okazały się skuteczne i żadna z metod nie jest obarczona dużym błędem, można to zauważyć na wykresie zbiorczym w którym wykresy poszczególnych rozwiązań się pokrywają, jednak zbliżenie ukazuje dokładne różnice. Dobierając odpowiednio czas symulacji przy projektowaniu w Simulinku, możemy uzyskać wykres dokładniejszy niż ten uzyskany przy pomocy funkcji ode45() oraz dsolve().

Dzięki tym metodom możemy w łatwy i szybki sposób obliczać równania różniczkowe.