Estymacja linii regresji

Podstawy teoretyczne

Wyznaczenie krzywych ufności

Należy obliczyć rzeczywiste odchylenia wartości y_i od jej wartości teoretycznej y_i^T obliczonej z równania teoretycznego. Odchylenie to jest zdefiniowane wzorem δ_i = y_i - y_i^T.

Podobnie jak dla przypadku jednowymiarowej zmiennej, tak również w przypadku dwuwymiarowej zmiennej losowej nie znamy ani teoretycznej krzywej regresji w populacji, ani też odchylenia δ_i. Wielkością, którą możemy określić z doświadczenia, są odchylenia d_i wartości eksperymentalnej y_i od wartości y_i^E obliczonej z empirycznego równania, czyli z równania aproksymującego y = f(x,a,…). d_i wyrazi się wzorem d_i = y_i - y_i^E. Nieobciążony estymator S_r² wariancji zmiennej y_i, traktowanej jako zmienna niezależna, jest określony równaniem:

(1)

Wariancję wartości średniej
obliczamy podobnie jak wariancję zwykłej średniej ze związku:
, lub po podstawieniu:

(2)

Wariancję współczynnika regresji liniowej a obliczamy jako wariancję wielkości mierzonej:

(3)

Prosta regresji nie jest zupełnie jednoznacznie określona współczynnikami regresji a i b, bowiem te współczynniki obarczone są niepewnościami. Ostatecznie wariancja jednego punktu prostej regresji można wyrazić wzorem:

(4)

Zwrócimy jeszcze uwagę na fakt, że celem wyznaczenia przebiegu krzywej wykonuje się zazwyczaj mało pomiarów, co oznacza, że próba jest bardzo mała. Dla małej próby, przy obliczaniu odchylenia standardowego trzeba zastosować rozkład Studenta, czyli w praktyce odchylenie standardowe należy pomnożyć przez współczynnik Studenta t_n, odczytany z tablic dla n oraz poziomu istotności . Stosując estymację przedziałową możemy napisać przedział ufności dla y_i, następująco:

(5)

Obwiednie punktów wyznaczonych przedziałami ufności dla różnych punktów x_i nazywamy krzywymi ufności. Odchylenie krzywych ufności od linii regresji rośnie wraz z założonym poziomem ufności 1-.

Estymację współczynnika korelacji.

Jeżeli współczynnik korelacji istotnie różni się od zera, jego rozkład bardziej różni się od normalnego, im mniejsza jest liczebność próby oraz większa jego wartość. Rozkład współczynnika korelacji ρ może być przybliżono przekształcone do normalnego za pomocą ż-przekształcenia Fishera:

(6)

Z odchyleniem standardowym:

(7)

Przy tym, zakres -1 ≤ ρ ≤ 1 zmienia się w -∞ ≤ ż ≤ ∞. Odchylenie zależy od założonego poziomu ufności 1-:

(8)

Zadanie:

W pracy na podstawie danych doświadczalnych należy wyznaczyć:

• współczynniki liniowego równania regresji;

• współczynnik korelacji z odchyleniami na poziomie ufności  = 0,5 i 0,05;

• krzywe ufności dla poziomu poziomie ufności  = 0,5 i 0,05.

Sprawozdanie

Sprawozdanie winno zawierać: nazwisko, nr grupy, nr i nazwę ćwiczenia, nr wariantu, dane pomiarowe, równanie regresji z wyznaczonymi współczynnikami, współczynnik korelacji, wykresy linii regresji i krzywych ufności.

Wykonanie

1. Wczytać dane wariantu do Excelu.

2. Wyznaczyć równanie regresji. W tym celu można zastosować wykres, jak w poprzednich ćwiczeniach.

3. Wyznaczyć współczynnik korelacji. Można wykorzystać wbudowaną funkcję (=WSP.KORELACJI).

4. Obliczyć odchylenie standardowe S_ż.

5. Wyznaczyć wartość zmiennej t z rozkładu Studenta, dla stopni swobody f=n. i wybranej wartości poziomu ufności. Wykorzystać wbudowaną funkcję (=ROZKŁAD.T.ODW).

6. Obliczyć ż zgodnie ze wzorem (6) oraz granicy zakresu zmian ż_min i ż_max według (8).

7. Obliczyć granicy zmian współczynnika korelacji wykorzystując odwrócony wzór (6), podstawiając wartości ż_min i ż_max:

(9)

8. Obliczyć wartości y_i^E obliczone z empirycznego równania. W tym celu można zastosować wbudowaną funkcję (=REGLINX).

9. Obliczyć odchylenie d_i wartości eksperymentalnej y_i od wartości y_i^E obliczonej.

10. Obliczyć S_r² zgodnie ze wzorem (1).

11. Obliczyć wariancję wartości średniej
    .

12. Obliczyć wariancję współczynnika regresji liniowej a.

13. Obliczyć wariancje każdego punktu prostej regresji (4).

14. Wyznaczyć wartość zmiennej t z rozkładu Studenta, dla stopni swobody f=n. i wybranej wartości poziomu ufności.

15. Obliczyć graniczne wartości y_min i y_max:
    

16. Pokazać linii ufności na wykresie.

---