ZAKŁAD GEODEZJI

Politechnika Krakowska INŻYNIERYJNEJ

Wydział Inżynierii Środowiska ROK AKAD. 2005/2006

TEMAT 2

OBLICZENIE POLIGONU ZAMKNIĘTEGO I OTWARTEGO.

Dziuba Małgorzata

Grupa 2

SPRAWOZDANIE TECHNICZNE

1. OSNOWA STUACYJNA

Osnowa sytuacyjna jest to szereg punktów trwale oznaczonych w terenie o znanych współrzędnych w państwowym lub lokalnym układzie odniesienia. Państwową osnowę sytuacyjną tworzy sieć punktów, których współrzędne określono w jednolitym, obowiązującym w Polsce, państwowym układzie odniesienia. Podstawowym elementem osnowy jest odcinek wyznaczony przez dwa sąsiadujące punkty osnowy.

Pomiar sytuacyjny niewielkiego obszaru terenu, np. pojedynczej działki czy fragmentu ulicy, można wykonać w oparciu o osnowę pomiarową składającą się z pojedynczego odcinka (linii pomiarowej) lub kilku odcinków będących bokami trójkąta bądź czworokąta. Jest to tzw. prosty związek liniowy. Pomiar sytuacyjny większych obszarów terenu, takich jak osiedla, miasta wymaga oparcia tych pomiarów na znacznej ilości punktów tworzących rozbudowaną sieć odcinków, które stanowią osnowę pomiarową.

1. OSNOWA PAŃSTWOWA

Aby uzyskać jednolitą mapę całego kraju, wszystkie pomiary sytuacyjne należy wykonać w oparciu o sieć punktów, których wzajemne położenie na przyjętej powierzchni odniesienia zostało określone przy zastosowaniu techniki geodezyjnej. Punkty te stanowią państwową poziomą osnowę geodezyjną, która ze względu na rolę i znaczenie dla opracowań geodezyjno-kartograficznych dzieli się na osnowę podstawową, szczegółową i pomiarową.

Osnowę podstawową stanowią punkty w sieciach geodezyjnych najwyższej dokładności. punkty te są rozmieszczone równomiernie na obszarze całego kraju. Osnowa szczegółowa natomiast jest rozwinięciem osnowy podstawowej, a stopień zagęszczenia punktów bywa zróżnicowany w zależności od charakteru terenu.

Wszystkie punkty osnowy podstawowej i szczegółowej posiadają współrzędne w jednolitym państwowym układzie współrzędnych "1965" i są zakwalifikowane do jednej z trzech klas dokładności wyznaczenia położenia punktów. Punkty osnowy podstawowej zalicza się do I klasy, a punkty osnowy szczegółowej do II i III klasy.

Osnowa I klasy ma strukturę powierzchniowej sieci kątowo-liniowej, wyznaczonej na podstawie pomiarów geodezyjnych, astronomicznych i grawimetrycznych. W skład tej osnowy wchodzą:

1) sieć astronomiczno-geodezyjna o odpowiednio rozmieszczonych punktach (1 punkt na 60km²) i elementach linowych. Przeciętna odległość między sąsiednimi punktaki wynosi 20km.

2) sieć wypełniająca, w której przeciętna odległość między sąsiednimi punktami wynosi około 7km.

Osnowa II klasy jest rozwinięciem osnowy I klasy. Stopień zagęszczenia osnowy II klasy wynosi:

- na terenach intensywnie zagospodarowanych 1pkt na 0,8km²,

- na terenach rolnych 1pkt na 1,5km²,

- na terenach zwartych kompleksów leśnych 1pkt na 12km².

Punkty osnowy szczegółowej II klasy służą do:

- sporządzania map wielkoskalowych,

- wykonywania pomiarów realizacyjnych,

- nawiązania osnowy III klasy.

Osnowa pomiarowa stanowi rozwinięcie osnowy szczegółowej. Stopień zagęszczenia i sposób rozmieszczenia punktów oraz dokładność określenia ich położenia są dostosowane do zadań i przyjętej technologii prac geodezyjno-kartograficznych.

Zagęszczenie osnowy szczegółowej punktami osnowy pomiarowej, których dokładność wyznaczania jest nie mniejsza niż 0,20m, wykonuje się jedną z niżej wymienionych metod:

1) poligonowymi ciągami sytuacyjnymi,

2) wcięciami kątowymi, linowymi i kątowo-liniowymi,

3) liniami pomiarowymi.

2. CIĄG POLIGONOWY

Ciąg sytuacyjny, jako podstawowa metoda zagęszczania osnowy szczegółowej, powstaje przez połączenie wybranych punktów linią łamaną. Włączenie do ciągu punktów osnowy państwowej powoduje, że ciąg ten zawiera elementy dowiązania i może być obliczony w państwowych układzie współrzędnych. Rozmieszczenie obranych w terenie punktów decyduje o kształcie ciągu. Rozróżnia się zatem ciągi sytuacyjne zamknięte oraz ciągi dowiązane otwarte.

Ciąg sytuacyjny dowiązany, od lewej: zamknięty, otwarty

Zgodnie z przepisami instrukcji G-4 zarówno długości boków, jak i samych ciągów są ograniczone, tak więc długość ciągu sytuacyjnego nie powinna przekraczać 2000m, zaś długości boków powinny się mieścić w granicach od 50 do 350m, przy czym stosunek boków przyległych nie może być mniejszy niż 1:4. Punkty ciągu sytuacyjnego muszą być tak dobrane, aby zapewnić bezpośrednią ich widoczność z sąsiednich punktów i dogodny pomiar w terenie oraz maksymalną nienaruszalność znaków.

Punkty osnowy pomiarowej należy w terenie stabilizować słupkami kamiennymi lub betonowymi, palikami drewnianymi, rurkami, za pomocą bolców lub trzpieni metalowych. Wszystkie długości boków ciągów sytuacyjnych trzeba mierzyć dwukrotnie. Pomiar boków należy wykonywać metodami bezpośrednimi lub pośrednimi z taką dokładności, aby różnica dwukrotnego pomiaru była nie większa niż wartość d_l określona z zależności:

gdzie: u = 0,0059 - współczynnik błędów przypadkowych pomiaru długości,

l - długość mierzonego boku w metrach.

Pomiar kątów w ciągach sytuacyjnych wykonuje się instrumentem gwarantującym uzyskanie średniego błędu pomiaru kąta m_o ≤ 30'' (90^cc).

Kąty wierzchołkowe mierzy się w jednej serii, ale różnica pomiaru kąta w dwóch położeniach lunety nie powinna być większa od podwójnej wartości m_o.

Ciąg sytuacyjny zamknięty

1. Ciąg sytuacyjny zamknięty

Obliczenie i wyrównanie zamkniętego ciągu sytuacyjnego, dowiązanego do dwóch punktów osnowy państwowej, przebiega w sposób następujący:

1. Wpisanie danych do formularza obliczeń

Do formularza obliczeń wpisuje się pomierzone kąty wierzchołkowe (kol. 3.), pomierzone boki (kol. 5.) oraz współrzędne punktu nawiązania B i azymuty początkowegoA_B-1.

2. Obliczenie teoretycznej sumy kątów

Dla wieloboku zamkniętego o n kątach teoretyczna suma kątów wewnętrznych wynosi:

∑_w = (n-2) ∙ 200^g

a teoretyczna suma kątów zewnętrznych:

∑_z = (n+2) ∙ 200^g

3. Obliczenie praktycznej sumy kątów

Praktyczną sumę kątów ∑α_p otrzymuje się sumując pomierzone kąty (kol. 3. w formularzu).

4. Obliczenie odchyłki kątowej ciągu

Odchyłka kątowa ciągu ƒ_α w ciągach poligonowych jest to różnica między sumą pomierzonych w ciągu kątów ∑α_p a sumą teoretyczną kątów ∑α_t, zatem:

ƒ_α = ∑α_p - ∑α_t

Wartość odchyłki kątowej ƒ_α ciągu sytuacyjnego nie powinna przekraczać odchyłki maksymalnej ƒ_αmax obliczonej z zależności:

gdzie: m_o - średni błąd pomiaru kąta,

n_k - liczba kątów zmierzonych w ciągu.

5. Obliczenie poprawek do pomierzonych kątów

Obliczona odchyłka kątowa ƒ_α powinna być rozdzielona na zamierzone kąty. Każdy pomierzony kąt otrzyma poprawkę V_α:

Obliczone dla omawianego przykładu poprawki V_α do pomierzonych kątów wynoszą:

6. Obliczenie azymutów boków ciągu sytuacyjnego (kol. 4.)

Obliczenie azymutów boków ciągu sytuacyjnego rozpoczyna się od obliczenia ze współrzędnych azymutu boku łączącego punkty o znanych współrzędnych . Oznaczając obliczony azymut boku opartego na punktach nawiązania przez A_AB, azymuty kolejnych boków oblicza się w oparciu o wyrównane kąty wierzchołkowe. W zależności od przyjętego kierunku obliczeń przyjmuje się określenie: "kąty lewe" lub "kąty prawe". Jako kąty lewe przyjmuje się kąty położone po lewej stronie ciągu, idąc w przyjętym kierunku obliczeń. Dla kątów prawych azymut kolejnego boku wynosi:

A_i = A_i-1 + 200^g - α_i

a dla kątów lewych:

A_i = A_i-1 + 200^g + α_i

7. Obliczenie przyrostów współrzędnych boków ciągu (kol. 6. i 7.)

Przyrosty Δx i Δy współrzędnych boku l_i oblicza się z zależności:

Δx_i = l_icosA_i

Δy_i = l_isinA_i

W zależności od wartości azymutu boku obliczone wartości przyrostów opatrzone będą odpowiednimi znakami. I tak np. przyrosty boku 3-4 ciągu wyniosą:

Δx_3-4 = l_3-4cosA_3-4

Δy_3-4 = l_3-4sinA_3-4

8. Obliczenie praktycznej sumy przyrostów ∑_p

Praktyczna sumę przyrostów otrzymuje się sumując obliczone w kolumnie 6. i 7. przyrosty.

9. Obliczenie teoretycznej sumy przyrostów ∑_t

Teoretyczna suma przyrostów w ciągu zamkniętym wynosi:

∑Δx = 0 ∑Δy = 0

10. Obliczenie odchyłek sum przyrostów

Różnice pomiędzy obliczonymi a teoretycznymi sumami przyrostów noszą nazwy odchyłek przyrostów i są oznaczone przez ƒ_x i ƒ_y:

ƒ_x = ∑_pΔx - ∑_tΔx

ƒ_y = ∑_pΔy - ∑_tΔy

11. Obliczenie odchyłki liniowej

Odchyłkę liniową ciągu ƒ_l oblicza się ze wzoru:

Odchyłka liniowa ciągu powinna być mniejsza od odchyłki dopuszczalnej:

ƒ_l < ƒ_{l dop}

Wartości dopuszczalnych odchyłek liniowych ciągów sytuacyjnych przedstawiono w tablicy:

Uwaga! Dla około 30% mierzonych ciągów można przyjąć

odchyłki dopuszczalne dwukrotnie większe od podanych w tabeli.

W przytoczonym obliczeniu ciągu zamkniętego otrzymano następujące wartości odchyłek przyrostów: ƒ_x = +0,12m, ƒ_y = -0,03m. Odchyłka liniowa ciągu obliczona zgodnie ze wzorem z punktu 12. wynosi:

Maksymalna odchyłka liniowa tego ciągu (o długości 1327m), otrzymana z tablicy, wynosi

ƒ_{l max} = ±0,29m, zatem ƒ_l < ƒ_{l max}.

12. Obliczenie poprawek i wyrównanie przyrostów do sumy teoretycznej

W obliczeniach ciągów sytuacyjnych odchyłki przyrostów rozdziela się proporcjonalnie do długości boków ciągu, stosując zależność:

gdzie: V_Δxi , V_Δyi - poprawki do obliczonych przyrostów współrzędnych,

l_i - długość i-tego boku ciągu,

∑l - suma długości boków ciągu.

Suma przyrostów skorygowanych o obliczone poprawki V_xi i V_yi równa jest sumie teoretycznej. Wartości poprawek zaokrągla się do wartości odpowiadającej dokładności pomiaru długości boków ciągu. W rozważanym ciągu poprawka V_Δyi =0,01m została przydzielona przyrostom najdłuższych boków ciągu, a więc przyrostom: Δy_B-1, Δy_8-9, Δy_9-10. Poprawkę V_Δxi =0,01m otrzymują wszystkie przyrosty oprócz przyrostu najkrótszego boku, tj. przyrostu Δx_6-7.

13. Obliczenie współrzędnych ciągu (kol. 8. i 9.)

Współrzędne punktów ciągu sytuacyjnego oblicza się w ten sposób, że do znanych współrzędnych punktu poprzedniego w ciągu dodaje się przyrosty Δx i Δy, otrzymując współrzędne kolejnych punktów:

X_i = X_i-1 + Δx_i

Y_i = Y_i-1 + Δy_i

W przykładowym ciągu obliczenie współrzędnych zaczyna się od punktu 1 w ciągu:

Y₁ = Y_B + Δy_B-1 = 5172,53 - 6,11 = 5166,42m

X₁ = X_B + Δx_B-1 = 9961,67 - 158,94 = 10120,61m

W dalszej kolejności obliczane są współrzędne punktu 2, 3, ... itd.

2. Ciąg dwustronnie nawiązany

Ciąg dwustronnie nawiązany wychodzi z dwóch punktów o znanych współrzędnych i kończy się również na dwóch punktach o znanych współrzędnych. Obliczenie otwartego ciągu sytuacyjnego dwustronnie nawiązanego wykonuje się w sposób podobny jak ciągu zamkniętego.

Ciąg sytuacyjny otwarty, dwustronnie dowiązany

Istnieją dwie różnice w trybie prowadzonych obliczeń; pierwsza dotyczy obliczenia teoretycznej sumy kątów w ciągu, a druga - obliczenia teoretycznej sumy przyrostów. Przykład obliczenia ciągu sytuacyjnego dwustronnie nawiązanego przedstawiono w tablicy.

Teoretyczna suma kątów lewych w ciągu dwustronnie nawiązanym wynosi:

∑_αl = A_K + n ∙ 200^g - A_P

Dla kątów prawych teoretyczna suma kątów przedstawia się następująco:

∑_αp = A_P + n ∙ 200^g - A_K

gdzie: A_P - azymut początkowy oparty na punktach nawiązania, obliczony ze współrzędnych,

A_K- azymut końcowy,

n - ilość pomierzonych kątów w ciągu.

W przedstawionym przykładzie obliczenia ciągu teoretyczna suma kątów obliczona została zgodnie z zależnością ∑_αl = A_K + n ∙ 200^g - A_P i wynosi:

∑_αt = 183^g,3070 + 7 ∙ 200^g - 331^g,9391 = 1251^g,3679

Odchyłka kątowa ƒ_α w tym przypadku wynosi:

ƒ_α = ∑_αp - ∑_αt = 31^cc

a dopuszczalna odchyłka kątowa:

zatem

ƒ_{α <} ƒ_{α dop}

Teoretyczna suma przyrostów dla dwustronnie nawiązanego ciągu otwartego przedstawią się następująco:

∑Δ_xt = X_K - X_P

∑Δ_yt = Y_K - Y_P

gdzie: X_K, Y_K - współrzędne punktu końcowego ciągu,

X_P, Y_P - współrzędne punktu początkowego ciągu.

W omawianym przykładzie teoretyczne sumy przyrostów wynoszą:

∑Δ_xt = X_C - X_B = -356,84m

oraz

∑Δ_yt = Y_C - Y_B = -1456,94m

zatem odchyłki przyrostów wynoszą:

ƒ_x = -365,86 + 356,84 = -0,02m

oraz

ƒ_y = -1456,77 + 1456,94 = +0,17m

Odchyłka liniowa obliczona z zależności y punktu 11.wynosi: ƒ_l = ±0,18m i jest mniejsza od odchyłki dopuszczalnej dla tej długości ciągu. Należy zatem wyrównać obliczone przyrosty i obliczyć współrzędne punktów ciągu.

3. Ciąg jednostronnie dowiązany (wiszący)

Instrukcja techniczna G-4 o pomiarach sytuacyjnych i wysokościowych dopuszcza w wyjątkowych przypadkach stosowanie ciągów otwartych dowiązanych jednostronnie. Ciągi takie mogą posiadać więcej niż dwa boki.

Ciąg sytuacyjny jednostronnie dowiązany - wiszący

Obliczenie współrzędnych punktów takiego ciągu wykonuje się na podstawie wzorów stosowanych przy obliczaniu ciągu otwartego nawiązanego obustronnie jednak bez kontroli (brak możliwości określenia teoretycznej sumy kątów przyrostów współrzędnych). Oblicza się kolejno azymuty, przyrosty współrzędnych i współrzędne punktów bez wyrównania kątów i przyrostów obliczanego ciągu.

Obliczenie azymutu ze współrzędnych.

Mając dane współrzędne prostokątne dwóch punktów A(X_A, Y_A) i B(X_B, Y_B) można obliczyć azymut A_AB prostej wyznaczonej przez te punkty.

Obliczenie azymutu ze współrzędnych

Tok postępowania:

1. Obliczenie przyrostów współrzędnych ΔX_AB i ΔY_AB

ΔX_AB = X_B - X_A

ΔY_AB = Y_B - Y_A

Przyrosty są wielkościami mianowanymi, np. ΔX_AB = -ΔX_BA. Po przyjęciu kierunku odcinka, w celu obliczenia przyrostu, należy zawsze od współrzędnych punktu następnego odjąć współrzędne punktu poprzedniego.

2. Obliczenie czwartaka kierunku ø_AB

Czwartak jest to kąt zawarty pomiędzy danym kierunkiem a najbliższym kierunkiem osi.

0^g ≤ ø ≤ 100^g

3. Ustalenie przedziału, do którego należy szukany azymut

Na podstawie znaków przyrostów współrzędnych można określić przedział, do którego szukany azymut. Dla każdego z czterech przedziałów (0^g - 100^g, 100^g - 200^g, 200^g - 300^g, 300^g - 0^g) układ znaków przyrostów jest różny.

Należy zwrócić uwagę, że znaki przyrostów współrzędnych zależą od wzajemnego położenia A iB (azymutu), z nie od przedziału, w którym usytuowane są te punkty.

4. Obliczenie azymutu

Znając przedział, do którego należy azymut i czwartak kierunku, liczy się azymut A_AB.

12

28

---