Kraków dn. 22-02-1999

Paweł Ścipień

Mariusz Święs

Temat ćwiczenia: Rezonans mechaniczny

Drgania mechaniczne - jest to ruch ciała powodowany zmienną siłą F , która jest zależna od wychylenia i przeciwnie do niego skierowana. F wyraża się wzorem : F= -kx ( k - współczynnik proporcjonalności, x - wychylenie od punktu równowagi), a z drugiej zasady dynamiki: F=m(d²x/dt²), stąd: m(d²x/dt²)+kx = 0 ,

(d²x/dt²)+(k/m)x = 0 i ω₀²=k/m ⇒

(d²x/dt²)+ω₀²x = 0 - rów. róż. oscylatora harmonicznego.

Rozwiązanie równania oscylatora ma postać: x=A₀cos(ω₀t+ϕ), (A jest amplitudą wychylenia).

Jest to przypadek idealny w rzeczywistości występują siły tłumiące proporcjonalne do prędkości ciała.

Z modyfikowane równanie ma postać: (d²x/dt²)+ω₀²x +b/m(dx/dt)= 0, po podstawieniu za b/m=2β otrzymujemy: (d²x/dt²)+2β(dx/dt)+ω₀²x = 0.

Rozwiązanie tego równania ma postać x=A₀e^-βtcos(ωt+ϕ), β-współczynnik tłumienia, a ω-częstotliwość drgań tłumionych, która jest związaną z częstotliwością drgań nie tłumionych wzorem ω=√(ω₀²-β²) .

W przyrodzie i technice zachodzą często przypadki, w których okresowa siła zewnętrzna działająca na oscylator kompensuje siłę tłumiącą i układ znajduje się w stanie drgań niegasnących i stałej amplitudzie.

Załóżmy, że siła wymuszająca jest opisana równaniem F_w=F₀cos(Ωt)

Wówczas równanie ruchy przyjmuje postać: (d²x/dt²)+2β(dx/dt)+ω₀²x = F₀cos(Ωt) z rozwiązaniem

W tym rozwiązaniu można wyróżnić część fazową i amplitudowa. Amplituda drgań dla pewnej wartości Ω=Ω_rez ma wartość maksymalną. Zjawisko to nazywamy rezonansem.

---