3. CHARAKTERYSTYKI W AUTOMATYCE

Przed inżynierem automatykiem stoją zazwyczaj dwa rodzaje zadań:

• zbadanie działania istniejącego UAR, czyli analiza

• zaprojektowanie elementów poprawiających działanie UAR i ich odpowiedniej konfiguracji, czyli synteza.

Dla pomyślnego rozwiązania tych zadań konieczna jest znajomość właściwości statycznych i dynamicznych rozważanego układu. Właściwości te zawarte są w opisie matematycznym układu. Opis matematyczny powinien przedstawiać zarówno statykę jak i dynamikę badanego obiektu. Zgodnie z powszechną interpretacją statyką nazywamy zależność pomiędzy wielkością wyjściową a wielkością wejściową badanego obiektu w stanie ustalonym, to jest wówczas, gdy pochodne zmiennych obiektu względem czasu są równe zeru.

Często opis statyki podaje się w postaci wykresu, nazywając go charakterystyką statyczną badanego obiektu.

Dynamiką układu nazywamy zachowanie obiektu w sytuacji, gdy pochodne zmiennych układu względem czasu są różne od zera. Klasycznym opisem przedstawiającym dynamikę układu są równania różniczkowe. Przy rozważaniu liniowych UAR dynamikę przedstawia się najczęściej przy pomocy charakterystyk czasowych i charakterystyk częstotliwościowych.

Omówimy szczegółowo wymienione rodzaje charakterystyk.

1. Charakterystyki statyczne

Właściwości statyczne UAR są określane dla stanów ustalonych, to znaczy dla t → ∞.

Charakterystyką statyczną badanego obiektu (elementu lub układu) nazywamy zależność sygnału wyjściowego od sygnału wejściowego w stanach ustalonych. Wartości ustalone wejścia i wyjścia oznaczymy odpowiednio x₀ i y₀:

(3.1)

Charakterystykę statyczną można wyznaczyć metodą teoretyczną lub w sposób eksperymentalny.

Z równania opisującego dynamiczne właściwości obiektu można otrzymać równanie charakterystyki statycznej przyrównując wszystkie pochodne występujące w tym równaniu do zera (patrz równanie 2.8).

Na podstawie definicji transmitancji (2.76) oraz twierdzenia o wartości końcowej (2.73) możemy napisać

Ponieważ dla
otrzymamy

(3.2)

co zapisuje się często w postaci

(3.3)

Podstawiając za G(s) prawą stronę wzoru (2.78) otrzymamy wzór na charakterystykę statyczną obiektu opisanego transmitancją G(s)

(3.4)

Otrzymany wynik jest zgodny z równaniem (2.8) i można go określić również podstawiając w zapisie operatorowym s = 0.

Pomiar charakterystyki statycznej rozpoczyna się od ustalenia zakresu przedziału zmienności wielkości wejściowej x i wyjściowej y. Następnie, po uzyskaniu wartości ekstremalnych, można przystąpić do pomiarów szczegółowych. Dbać należy przy tym o wystarczające zagęszczenie i równomierne rozmieszczenie punktów pomiarowych oraz odczyt wielkości wyjściowej w stanie ustalonym (po zaniknięciu procesów przejściowych wywołanych kolejną zmianą wartości wejściowej). W ten sposób otrzymuje się stabelaryzowaną zależność funkcji jednej zmiennej y = f(x) w przedziale (x_min, x_max). Ogólny schemat stanowiska przeznaczonego do wyznaczania charakterystyk statycznych przedstawiony jest na rys. 3.1.

Rys. 3.1. Schemat ogólny układu przeznaczonego do wyznaczania charakterystyk statycznych y =f(x)

Często charakterystyka statyczna przedstawiona w postaci tabeli pomiarów lub w postaci wykresu przedstawiającego zależność sygnału wyjściowego od wejściowego, jest wystarczająca dla potrzeb przybliżonej analizy obiektu i projektowania układu regulacji. Natomiast w projektowaniu dokładnym oraz przy zastosowaniu komputerów cyfrowych w syntezie i analizie dane te są zazwyczaj niewystarczające. Wówczas zachodzi potrzeba wyznaczenia równania charakterystyki statycznej na podstawie danych eksperymentalnych. Zadanie to może być rozwiązane wieloma metodami. Metody wyznaczania funkcji na podstawie niektórych wartości współrzędnych funkcji są obszernie i dokładnie opisane w licznych pracach z -zakresu matematyki, metod numerycznych i automatyki. Najczęściej stosowaną w inżynierskiej praktyce jest metoda najmniejszych kwadratów.

Przykład 3.1. Określić doświadczalnie charakterystykę statyczną membranowego siłownika pneumatycznego o działaniu prostym typu PMSZ-9.

Rozwiązanie. Siłownik pneumatyczny PMSZ-9 zasilany jest ciśnieniem 1,4 atm (typowe zasilanie przemysłowych elementów pneumatycznych). Sygnał sterujący zawiera się w granicach 0,2 ÷ 1,0 atm (x_min = 0,2 , x_max = 1,0). Maksymalny skok trzpienia siłownika wynosi 12,7 mm. Przytoczone dane odczytane zostały z tabliczki znamionowej siłownika.

Dla doświadczalnego określenia charakterystyki statycznej należy zestawić układ laboratoryjny w oparciu o schemat ogólny. Przykładową modyfikację schematu z rys. 3.1 dla siłownika pneumatycznego przedstawia rys. 3.2.

Sygnał wejściowy x = p_z ustawiany jest przy pomocy precyzyjnego reduktora ciśnienia, a jego wartość odczytujemy na manometrze. Sygnał wyjściowy y = u w postaci przemieszczenia trzpienia siłownika mierzony jest przy pomocy prostego elektrycznego układu pomiarowego: liniowy potencjometr zasilany jest z zasilacza, woltomierz mierzy spadek napięcia pomiędzy jednym końcem potencjometru i suwakiem, który będąc sprzężony mechanicznie z trzpieniem siłownika przemieszcza się wraz z nim. Ponadto sygnał wyjściowy możemy odczytać na skali liniowej. Odczyt dwóch (najlepiej skrajnych) położeń trzpienia pozwoli przeliczać wskazania woltomierza na liniowe przemieszczenie trzpienia.

Pomiary należy wykonać zarówno dla narastającego jak i malejącego sygnału wejściowego. Pozwoli to na określenie szerokości pętli histerezy. Do określania wypadkowej charakterystyki statycznej wykorzystane zostaną uśrednione pomiary.

Wyniki pomiarów zamieszczone są w tabeli 3.1. Dodatkowo odnotujemy przesunięcie trzpienia siłownika dla dwóch skrajnych wartości ciśnienia: p_z = 0,2 → 0 mm, p_z = 1,0 → 12 mm.

Rys. 3.2. Struktura układu do wyznaczania charakterystyki skokowej siłownika pneumatycznego

Tabela 3.1. Wyniki pomiarów i obliczeń ch-ki statycznej siłownika pneumatycznego

Sygnał wejściowy pz [atm]	Sygnał wyjściowy Uwyj [V]
		przy narastającym pz	przy malejącym pz	uśredniony	aproksymowany
0,2	2,828	2,825	2,826	2,918
0,3	3,161	3,338	3,250	3,339
0,4	3,666	3,813	3,739	3,761
0,5	4,181	4,327	4,254	4,183
0,6	4,635	4,836	4,736	4,604
0,7	5,044	5,252	5,148	5,026
0,8	5,448	5,638	5,543	5,447
0,9	5,840	6,015	5,927	5,869
1,0	6,015	6,017	6,016	6,290

Dla określenia analitycznej postaci charakterystyki skokowej, należy przeprowadzić aproksymację pomierzonych punktów. Naniesienie punktów w układzie współrzędnych „sygnał wyjściowy w funkcji sygnału wejściowego” pozwala przyjąć funkcję aproksymującą w postaci liniowej. Stosując metodę najmniejszych kwadratów określamy liczbowe wartości współczynników występujących w funkcji aproksymującej. Dla badanego siłownika otrzymano wzór na charakterystykę statyczną

zaś graficznie wyniki przedstawiono na rys. 3.3.

Rys. 3.3. Charakterystyka statyczna siłownika pneumatycznego PMSZ-9

3.2. Linearyzacja charakterystyk statycznych

Teoria układów automatycznej regulacji, w tym zagadnienia przetwarzania sygnałów najpełniej opracowana jest dla układów i członów liniowych. Układy te spełniają zasadę superpozycji zgodnie z którą, jeżeli

y₁(t) = f(x₁,t) i y₂(t) = f(x₂,t)

to

y(t) = y₁(t) + y₂(t) = f [(x₁ + x₂), t].

Oznacza to, że sumę skutków y(t) w układach liniowych uzyskuje się jako skutek sumy oddziaływań (x₁ + x₂). Warunkiem spełnienia zasady superpozycji przez układ jest posiadanie przez wszystkie człony składowe układu liniowych charakterystyk statycznych, które definiowane są jako zależności pomiędzy wielkościami wyjściowymi i wejściowymi członu lub układu dla stanów ustalonych.

W zasadzie człony rzeczywiste mają zawsze pewne nieliniowości i traktowanie ich jako człony liniowe wymaga uprzedniej linearyzacji charakterystyk. W układach nieliniowych nie jest zachowana proporcjonalność między przyrostami sygnału wejściowego a wyjściowego a także jednoznaczna odpowiedniość między zależnościami czasowymi a częstotliwościowymi. Linearyzacja charakterystyki umożliwia opisanie właściwości dynamicznych układu równaniami różniczkowymi liniowymi lub wynikającymi z tych równań transmitancjami.

Linearyzacja, czyli liniowa aproksymacja nieliniowej zależności ma sens w przypadku funkcji ciągłej i jednoznacznej. Ponieważ zjawiska fizyczne są w przeważającej większości zjawiskami nieliniowymi, dokonujemy linearyzacji ich opisu w pewnym obszarze zachodzenia zjawiska, czyli w okolicy punktu pracy. W przypadku dużych zmian sygnałów, nieciągłości krzywej lub nieliniowości celowo wprowadzanych do układu, aproksymacji liniowej stosować nie można.

Linearyzacja statyczna

Wiele procesów fizycznych ma charakterystykę statyczną podobną do przedstawionej na rys. 3.4, tzn. taką, że można w niej wyróżnić część prostoliniową A - odcinek zwany zakresem liniowym - oraz część B zwaną zakresem nasycenia.

Jeżeli w badaniu i eksploatacji obiektu ograniczymy sygnały wejściowe do zakresu, w którym wielkość wyjściowa zmienia się liniowo, na przykład do (a₀, a₁), to będziemy mogli układ traktować jak liniowy - ale dopiero wtedy, gdy oś rzędnych przesuniemy do punktu a₀ (ze względu na konieczność spełnienia postulatu superpozycji) Inaczej mówiąc, za sygnał wejściowy będziemy uważali przyrosty od wartości a₀ . W ten sposób wybraliśmy punkt (a₀ ,0) jako początek nowego układu współrzędnych i dokonaliśmy linearyzacji wykorzystując obiekt tylko w zakresie A jego charakterystyki statycznej, przechodzącej przez początek nowego układu współrzędnych.

Rys.3.4. Charakterystyka statyczna z wyróżnionym zakresem liniowym

Linearyzacja dynamiczna

Linearyzacja dynamiczna nieliniowego obiektu będzie polegała na znalezieniu takich liniowych równań różniczkowych, które z pewnym przybliżeniem opisują nam właściwości obiektu w wybranym punkcie pracy i bezpośrednim jego otoczeniu.

Podstawowe zasady linearyzacji opartej o rozwinięcie w szereg Taylora wokół punktu nominalnego (x₀, y₀) omówione zostały w pkt. 2.3.

Tutaj przytoczymy wyniki tych rozważań dla równania nieliniowego pierwszego rzędu, jako przypadku najczęściej spotykanego. Zależność (2.53) przyjmie postać

(3.5)

natomiast zależność (2.55)

(3.6)

Dokonując takiej linearyzacji zastępujemy charakterystykę statyczną układu (rys. 3.5 krzywa 1) linią prostą styczną do niej w punkcie pracy (x_o, y_o) (rys. 3.5. , krzywa 2), a więc przechodzącą przez początek nowego układu współrzędnych (x', y').

Taka metoda analizy układu nieliniowego jest słuszna tylko w przypadku małych odchyleń Δx i Δy od punktu pracy (x_o, y_o).

Rys. 3.5. Linearyzacja charakterystyki statycznej

Przykład 3.2. Należy określić równanie różniczkowe i transmitancję operatorową odśrodkowego czujnika prędkości obrotowej, przestawionego na rys. 3.6. Za wielkość wyjściową przyjąć przemieszczenie tulei x, a za wielkość wejściową - przyrost prędkości obrotowej Δω. Jako znane przyjąć: sprowadzone do punktu M masy wszystkich ciężarków m; długości ramion l₁, l₂, l₃ ; sprowadzone do punktu B tulei: a) siły sprężyny F_s, b) siły tarcia lepkiego i tłumika hydraulicznego F_t, c) siły bezwładności ruchomych części F_b, d) siły uwarunkowane ciężarem ruchomych części F_c. Siły tarcia suchego pomijamy.

Rys. 3.6. Odśrodkowy czujnik prędkości; schemat i odpowiednie wykresy

Rozwiązanie. Wybierzemy układ współrzędnych prostokątnych z, x. Oś x pokrywa się z osią obrotu czujnika, a oś z - z położeniem punktu B przy ω = 0, kiedy tuleja pod wpływem sprężyny znajduje się w położeniu x =0 (x jest współrzędną punktu B).

Siła odśrodkowa wirujących mas jest równa

(3.7)

gdzie r = z_M - odległość punktu M od osi x.

Na tuleję działają sprowadzone do punktu B siły oporu P i siła wymuszająca F (rys. 3.6a). Określmy siłę F_b­ sprowadzoną do punktu B na podstawie równania mocy

(3.8)

gdzie:
- odpowiednio prędkość przemieszczenia punktu B i punktu M .

Obliczymy

(3.9)

gdzie: V_A, V_M - liniowe prędkości punktów A i M przy ich ruchu obrotowym względem wspólnego środka o współrzędnych (b, a), α, β­ - kąty pokazane na rys. 3.6b.

Podstawiając (3.9) do (3.8) z uwzględnieniem (3.7), otrzymamy

(3.10)

gdzie:

Z rys.3.6b znajdujemy:

(3.11)

gdzie: a = l₁ + l₃, b - promień tulei i pierścienia, do którego mocowane są ramiona podtrzymujące ciężarki.

Z zależności (3.11) widać, że wielkości r, x, α, β powiązane są ze sobą nieliniową zależnością funkcyjną. Można zatem pokusić się o znalezienie zależności

(3.12)

Na przykład, dla
otrzymamy:

(3.13)

Podstawiając (3.12) do (3.10) otrzymamy

(3.14)

Dokonamy linearyzacji równania (3.14) względem zmiennych x, ω w wybranym stanie ustalonym (x₀,ω₀):

(3.15)

gdzie:

W stanie ustalonym wypadkowa siła oporu P = F_s+ F_c . Przy czym wypadkowa siła ciężkości ruchomych elementów (głównie ciężarków) F_c również zależy od przemieszczenia tulei x . W przybliżeniu przyjmiemy, że F_c = const. Wówczas stan dynamiczny dla małych odchyleń od stanu ustalonego opisywać będzie następujące równanie:

lub

(3.16)

gdzie: m - masa wypadkowa wszystkich elementów ruchomych, sprowadzona do punktu B,
- prędkość i przyspieszenie tulei, c₁ - współczynnik tłumienia, c₂ - współczynnik sprężystości sprężyny. Przekształcimy równanie (3.16) do postaci

(3.17)

gdzie:

Dla wszystkich, praktycznie realizowalnych konstrukcji czujnika odśrodkowego (wg rys. 3.6a) funkcja f(x) ma kształt przytoczony na rys. 3.6c, a współczynnik D posiada znak „minus”, który należy uwzględniać przy określaniu parametrów k, T₁, T₂ i przy zapisywaniu równań (3.16) i (3.17)

Transmitancja odśrodkowego czujnika obrotów ma postać

3.4. Charakterystyki czasowe

Układ równań różniczkowych (2.58) lub jego modyfikacja (2.59) stanowi pełny opis matematyczny stacjonarnego, liniowego UAR, na który działa wielkość zadana w lub zakłócenie z. Należy mieć świadomość, że opis ten jest tylko opisem przybliżonym. Wynika to z założeń upraszczających, przyjmowanych na etapie wyprowadzania równań poszczególnych elementów, z których UAR się składa, a także z linearyzacji nieliniowych równań.

Graficzne przedstawienie rozwiązania równania (2.59) dawało by możliwość zaprezentowania właściwości dynamicznych układu w bardziej obrazowej formie. Przedstawiało by na przykład, jak zmienia się w czasie wielkość regulowana pod wpływem działania zakłócenia. Jednakże uzyskanie wspomnianego rozwiązania napotyka na trudności. Funkcja wymuszająca w(t) jest znana tylko w układach regulacji stałowartościowej i w układach programowych, zakłócenie z(t) praktycznie nie jest znane prawie nigdy.

Tym niemniej, rozwiązanie równań różniczkowych UAR jest szeroko wykorzystywanym narzędziem zarówno przy analizie jak i syntezie - wyborze struktury i parametrów układów regulacji. Przy omawianym podejściu wykorzystuje się typowe wymuszenia i dla nich uzyskuje się rozwiązanie modelu matematycznego.

Bardzo często ma miejsce przypadek, w którym sygnał zewnętrzny działający na UAR gwałtownie zmienia swoją wartość. Taka sytuacja ma miejsce w momencie włączenia lub wyłączenia napięcia zasilającego, włączenie lub wyłączenie sprzęgła i towarzysząca tej operacji zmiana obciążenia elementu wykonawczego (silnika elektrycznego, siłownika pneumatycznego lub hydraulicznego), itd. Zawsze warto ocenić zachowanie się układu w takich, krytycznych sytuacjach, określić wartość odchylenia wielkości wyjściowej od stanu przed zaistnieniem zakłócenia oraz czas, jaki jest potrzebny regulatorowi, aby odchylenie to zniwelować.

Jednym z typowych rodzajów wymuszeń jest wymuszenie skokowe w którym sygnał zmienia swoją wartość skokowo od 0 do pewnej wartości a zwanej amplitudą wymuszenia skokowego. Jeśli a = 1 mówimy o wymuszeniu jednostkowym. W matematyce taką funkcję nazywa się skokową funkcją czasu 1(t). Należy ona do tzw. funkcji uogólnionych i jest definiowana następująco

(3.18)

Wykres wymuszenia skokowego przedstawiony jest na rys. 3.7a.

Rys. 3.7. Wykres wymuszenia: a) skokowego i jednostkowego, b) impulsowego

Odpowiedź obiektu w czasie na wymuszenie skokowe nosi nazwę charakterystyki skokowej. Przyjęto dla niej oznaczenie h(t) . Odpowiedź obiektu na wymuszenie jednostkowe przyjęto nazywać funkcją przejścia.

Jeśli na obiekt działa kilka wielkości wejściowych (obiekt posiada kilka wejść), to charakterystyki skokowe określa się dla każdej z wielkości wejściowych.

W zależności od właściwości obiektu, przebieg charakterystyki skokowej może mieć różny charakter. Charakterystyka skokowa może nieograniczenie narastać (asymptotycznie lub periodycznie), może oscylować ze stałą amplitudą wokół zera, lub wokół dowolnej innej wartości, może dążyć asymptotycznie lub periodycznie do pewnej wartości, w szczególności do zera. Na rys. 3.8 przedstawione są przykładowe wykresy charakterystyk skokowych. Charakterystyki skokowe obiektów w analizie i syntezie UAR odgrywają bardzo istotną rolę. Charakterystyki tak zwanych podstawowych elementów rozpatrywane będą na kolejnym wykładzie.

Rys. 3.8. Przykładowe wykresy charakterystyk skokowych

W układach automatyki w wielu przypadkach występują sygnały będące impulsami o znacznej wartości i bardzo krótkim czasie trwania. W granicznym przypadku (rys. 3.7b) impuls taki jest przedstawiony przez funkcję impulsową Diraca, która ma nieskończenie wielką amplitudę w chwili przyłożenia (przyjętej za początkową t = 0) oraz jest równa zeru przy
i charakteryzuje się tym, że jej całka w dowolnym przedziale czasu zawierającym t = 0 jest równa jedności:

(3.19)

(3.20)

dla każdego ε > 0.

Można podać interpretację fizykalną funkcji Diraca, zwanej także impulsem Diraca, rozważając ruch punktu materialnego pod wpływem przyłożonej do niego siły. Jak wiadomo z mechaniki teoretycznej, impulsem siły f nazywamy iloczyn tej siły przez czas jej działania t. Zmiana ilości ruchu punktu materialnego o danej masie jest równa impulsowi działającej nań siły. Zatem wartość impulsu f⋅ t odpowiada skończonej zmianie prędkości Δν tego punktu. Jeżeli przy stałej wartości impulsu f⋅ t = const będziemy skracać czas jego przyłożenia t i odpowiednio zwiększać siłę f, to zmiana prędkości punktu materialnego o stałej masie wywołana przez ten impuls siły pozostaje stała Δν = const. W granicznym przypadku, przy t→ 0, dążąca do nieskończoności siła f powoduje skokową zmianę prędkości o Δν = const. Zatem przyspieszenie punktu materialnego jest w nieskończenie małym przedziale czasu równe nieskończoności, a całka z tego przyspieszenia, równa zmianie prędkości Δν, ma stałą wartość. Widzimy, że przebieg przyspieszenia jest analogiczny jak przebieg impulsu przedstawionego przez funkcję Diraca.

Funkcja impulsowa Diraca należy do grupy funkcji uogólnionych i równa jest pochodnej funkcji skokowej

(3.21)

Reakcję obiektu na wymuszenie impulsowe nazywa się charakterystyką impulsową (funkcją wagi)

Przy ocenie właściwości dynamicznych obiektów automatyki, oprócz wymienionych funkcji wymuszających, stosuje się niekiedy wymuszenia w postaci skoku prędkości lub skoku przyspieszenia. Jednak w praktyce inżynierskiej najczęściej wykorzystywaną charakterystyką czasową jest charakterystyka skokowa. Wykaz typowych wymuszeń podany jest w tablicy 3.1.

3. 5. Wyznaczanie charakterystyk skokowych złożonych obiektów

Odpowiedzią y(t) na wymuszenie x(t) nazywamy przebieg w czasie wielkości wyjściowej y następujący po wprowadzeniu sygnału wejściowego x(t).

Z definicji transmitancji (2.74) mamy:

lub uwzględniając wzór (2.77)

. (3.22)

Ogólnie, odpowiedź y(t) jest oryginałem transformaty y(s)

(3.23)

W celu wyznaczenia odpowiedzi obiektu na wymuszenie jednostkowe z transmitancji operatorowej, we wzorze (3.23) za x(s) należy podstawić transformatę skoku jednostkowego. Z tablicy 3.1 mamy:

Możemy zatem napisać ogólną postać wzoru na funkcję przejścia obiektu o transmitancji G(s):

(3.24)

Na ogół wzór na charakterystykę skokową uwzględnia różną od jeden amplitudę wymuszenia skokowego (poz. 2 w tablicy 3.1):

(3.25)

Ponieważ jednak
wzory (3.24) i (3.25) często używane są zamiennie.

Z przedstawionych rozważań wynika, że:

Zadanie analitycznego wyznaczenia charakterystyki skokowej obiektu opisanego transmitancją operatorową można sprowadzić do wyznaczenia odwrotnego przekształcenia Laplace'a (określenia oryginału) wyrażenia znajdującego się w nawiasach kwadratowych wzoru (3.24).

Wykorzystuje się do tego celu tablice transformat Laplace'a (patrz tablica D1). Aby je zastosować, koniecznym jest doprowadzenie wyrażenia w nawiasach kwadratowych (3.24) do postaci, którą znajdziemy w tablicy przekształceń (transformat). W przypadku braku takiej postaci, korzystamy z twierdzenia o rozkładzie transformaty na ułamki proste. Możemy spotkać się z różnymi przypadkami. Zależą one od tego, jakie są pierwiastki mianownika N(s).

Rozkład na ułamki proste

Aby móc korzystać z danych zamieszczonych w tablicy przekształceń Laplace'a ilorazy wielomianów zmiennej s przekształca się rozkładając ich na ułamki proste. Rozpatrzymy na początek trzy charakterystyczne przykłady. Określimy transformatę odwrotną następujących wyrażeń:

.

Charakterystyczną cechą tych wyrażeń jest to, że rozpatrywane funkcje są ilorazami dwóch wielomianów.

Przykład 3.3.

Należy określić funkcję czasu f(t) odpowiadającą funkcji

Rozwiązanie.

Przede wszystkim zauważmy, że rozpatrywaną funkcję F(s) możemy przekształcić

W mianowniku występuje iloczyn różnych dwumianów, można zatem funkcję F(s) przedstawić jako sumę ułamków prostych.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymamy:

Jeśli powyższa równość jest prawdziwa, to liczniki prawej i lewej strony równania są sobie równe, tzn. wyrazy stojące przy tych samych potęgach zmiennej s muszą być jednakowe.

Mamy

Rozwiązując otrzymany układ równań, dostaniemy:
a funkcję F(s) możemy zapisać w postaci

Korzystając z tablic przekształceń Laplace'a możemy teraz zapisać

Przykład 3.4.

Należy znaleźć oryginał transformaty

.

Rozwiązanie.

Aby móc skorzystać z tablicy przekształceń Laplace'a należy naipierw przekształcić funkcję F(s). Przede wszystkim w mianowniku funkcji F(s) wyłącza się przed nawias wyraz s oraz bada się wyróżnik równania
. Ponieważ
, zatem korzystając z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego (dla a = 1)

można napisać

bowiem w tym przypadku a = 1, b = 6, c = 34, oraz

.

Należy zwrócić uwagę, że rozkład na ułamki proste ma teraz nieco odmienną postać

.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika

.

Porównując liczniki obu tych ułamków uzyskuje się układ równań

który po rozwiązaniu pozwala napisać

oraz

Dopiero po takich przekształceniach można korzystać z typowych tablic przekształceń Laplace'a. Uzyskuje się następujący wynik

.

Przykład 3. 5

Należy znaleźć oryginał transformaty

Rozwiązanie

Funkcję przekształca się następująco

Porównując liczniki

otrzymujemy:

oraz

Korzystając z tablicy transformat Laplace'a otrzymujemy

W rozważaniach ogólnych w zależności od postaci wielomianu N(s) równania (3.24) rozróżnić należy co najmniej dwa przypadki.

Przypadek 1. Wielomian M(s) nie ma pierwiastków wielokrotnych ani pierwiastka równego zeru.

Wielomian M(s) można wówczas przedstawić w postaci

Rozkładamy na ułamki proste funkcję

, (3.26)

gdzie A₀, A₁, ..., A_k, ..., A_n są współczynnikami liczbowymi.

Dla obliczenia wyrazu A₀ mnożymy obie strony tożsamości (3.26) przez s i podstawiamy s = 0.

. (3.27)

Aby obliczyć dowolny wyraz A_k mnożymy obie strony tożsamości (3.26) przez s - s_k, podstawiamy s = s_k i otrzymujemy

Ponieważ s_k jest jednym z pierwiastków wielomianu M(s), ułamek

przedstawia symbol nieoznaczony.

Wartość tego ułamka obliczamy stosując regułę de l' Hospitala gdzie

gdzie

Wstawiając tak obliczoną wartość do wzoru na A_k otrzymujemy

(3.28)

Podstawiając otrzymane wyrażenia na A₀ i A_k do tożsamości (3.26) mamy

(3.29 )

W przykładzie

Odpowiedź y(t) na wymuszenie x(t) = 1(t) będzie zatem następująca (na podstawie tablicy przekształceń Laplace'a):

.

(3.30)

Wzór (3.30) nazywany jest często twierdzeniem Heaviside'a o rozkładzie. Warto zwrócić uwagę na bardzo przejrzystą postać tego wzoru. Wyraz L(0)/M(0) reprezentuje składową ustaloną odpowiedzi h(t). Na podstawie (2.78) i (2.79) stwierdzimy z łatwością, że
, a więc zgodnie z równaniem charakterystyki statycznej (2.8) w stanie ustalonym mamy (pamiętając, że x(t) = 1 dla t > 0

.

Wyrazy

reprezentują składową przejściową odpowiedzi h(t). O charakterze tej składowej, a zatem o właściwościach dynamicznych danego obiektu, decydują wartości pierwiastków s_k.

Współczynniki A_k wygodniej jest obliczać korzystając z pewnej modyfikacji wzoru (3.28). Mamy

i ogólnie dla s = s_k

Współczynnik A_k można zatem przedstawić w postaci

(3.31)

Przykład 3.6

Należy wyznaczyć wzór charakterystyki skokowe układu:

Rozwiązanie

Zastępcza transmitancja przejścia układu ma postać

więc M(s) = 10 s² + 21s +1 a L(s) = 10s (1+s).

Wyznaczymy miejsca zerowe wielomianu:

M(s) = 10 s² + 21s +1

Δ = 21²- 4⋅10⋅1 = 441 - 40 = 401

i zapiszemy wielomian M(s) w równoważnej postaci

M(s) = 10 (s + 0.0487508)(s + 2.0512492)

Obliczymy współczynniki

Ostatecznie wzór na charakterystykę skokową przyjmie postać

Przypadek 2.

Wielomian M(s) ma pierwiastki wielokrotne lub równe zeru.

Załóżmy, że wielomian M(s) ma r różnych pierwiastków i różnych od zera:

pierwiastek s₁ powtarza się m₁ razy,

pierwiastek s₂ powtarza się m₂ razy,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pierwiastek s_r powtarza się m_r razy

oraz pierwiastek s = 0 powtarzający się m₀ razy, przy czym

Wówczas

Rozkładamy na ułamki proste funkcję

(3.31)

gdzie: A_0i oraz A_ki są współczynnikami liczbowymi.

Współczynnik A₀₀ obliczamy mnożąc obie strony tożsamości (3.31) przez

(3.32)

i podstawiając s = 0 otrzymamy

Zwróćmy uwagę, że
występuje również w M(s), cały więc ułamek

może być uproszczony przez
.

Aby obliczyć A₀₁, różniczkujemy obie strony równości (3.32) względem s:

i podstawimy s = 0. Stąd

.

Ogólnie, dla obliczenia wyrazu A_0i różniczkujemy i razy obie strony równaości (3.32) i podstawiamy s = 0. Otrzymamy wówczas

(3.33)

Podobnie obliczamy wyrazy A_ki. Na przykład dla obliczenia wyrazu A₁₁ mnożymy obie strony tożsamości (3.31) przez
i podstawiamy s = s₁. Otrzymamy

.

Po pomnożeniu obu stron tożsamości (2.31) przez
, (i - 1)-krotnym zróżniczkowaniu i podstawieniu s = s₁

.

Ogólnie, dla wyrazu A_ki

(3.34)

Ponieważ transformata y(s) odpowiedzi na wymuszenie skokowe określona jest wzorem (3.31), zatem na podstawie tablicy transformat Laplace'a znajdujemy następujący oryginał y(t) tej odpowiedzi:

(3.35)

gdzie współczynniki A_0i oraz A_ki oblicza się z wzorów (3.33) i (3.34).

Wzór (3.35) ma charakter ogólny i ważny jest również dla omawianego wcześniej przypadku 1, kiedy wielomian M(s) nie ma pierwiastków wielokrotnych ani pierwiastka równego zeru. Podstawiając w tym wzorze oraz we wzorze na współczynniki A_0i i A_ki wartości m₀ = 0, m_k = 1, r = n otrzymamy wzór (3.30).

Przykład 3.7

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami mamy:

Na podstawie wzorów (3.33) i (3.34) obliczamy:

Odpowiedź na skok jednostkowy będzie na podstawie wzoru (3.35) następująca:

3.6. Charakterystyki częstotliwościowe

Charakterystyki częstotliwościowe zawierają pełną informację o obiektów, dlatego też zajmują bardzo ważne miejsce zarówno w teorii jak i praktyce sterowania automatycznego. Są one określane w zasadzie dla układów liniowych, choć mogą być również z powodzeniem stosowane dla pewnych klas układów zlinearyzowanych i dyskretnych.

Zasada wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych oparta jest na następującym rozumowaniu:

Na wejście badanego obiektu podawane jest wymuszenie harmoniczne o postaci

Jeżeli badany obiekt jest liniowy i nie działają na niego żadne dodatkowe wymuszenia i zakłócenia, wówczas na wyjściu obiektu w stanie ustalonym pojawia się sygnał wyjściowy y(t) opisany zależnością

Przebiegi czasowe harmonicznej funkcji wymuszającej x(t) i wyjściowej y(t) dla pewnego obiektu liniowego przy ustalonej pulsacji ω są pokazane na rys. 3.9.

Rys. 3.9. Przechodzenie sygnału sinusoidalnego przez element liniowy

Wprost z przebiegów czasowych można określić następujące parametry przebiegów:

Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja widmowa, którą definiujemy

(3.36)

lub, co jest równoznaczne

, (3.37)

gdzie:
- jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a
- wartością zespoloną tego wymuszenia. Podstawiając za
i
parę odpowiadających im funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej

otrzymamy

gdzie: M(ω) =A₂(ω)/A₁(ω) jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).

Wykres G(jω) nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową lub zespoloną charakterystyką częstotliwościową. Czasem używa się też nazwy: wykres transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt - przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem. Zamiast wykresu G(jω) można podać oddzielnie wykresy jego współrzędnych biegunowych M(ω) i ϕ(ω). Nazywają się one:

M(ω ) = G(jω ) - amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres modułu charakterystyki częstotliwościowej),

ϕ(ω ) = arg G(jω ) fazowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres argumentu charakterystyki częstotliwościowej).

Rys. 3.10. Charakterystyki częstotliwościowe: a) amplitudowo-fazowa (zespolona charakterystyka częstotliwościowa), b1) charakterystyka amplitudowa, b2) charakterystyka fazowa

Ponieważ G(jω) jest funkcją zespoloną, można rozłożyć ją na część rzeczywistą i część urojoną [współrzędne prostokątne G(jω)]

gdzie:

P(ω ) = Re[G(jω)] - część rzeczywista G(jω),

Q(ω ) = Im[G(jω)] - część urojona G(jω).

Z rysunku 3.10 wynikają następujące związki, bardzo istotne przy analitycznym wyznaczaniu charakterystyk częstotliwościowych:

(3.38)

(3.39)

Charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane zwykle we współrzędnych logarytmicznych i nazywają się wówczas:

- logarytmiczna charakterystyka amplitudowa,

- logarytmiczna charakterystyka fazowa.

Współrzędne tych charakterystyk przedstawione są na rys. 3.11. Podziałka osi ω jest logarytmiczna, dekadowa, tzn. każdej dekadzie ω przyporządkowany jest odcinek o jednakowej długości na osi ω. Podziałka osi L(ω) jest liniowa, skalowana w decybelach (dB).

Rys. 3.11. Współrzędne logarytmicznych charakterystyk: a) amplitudowej, b) fazowej

Wartości L(ω) obliczamy według wzoru

(3.40)

i wynik tego obliczenia otrzymuje miano dB. Mnożnik 20 jest umowny - został wprowadzony, aby operować najczęściej wartościami L(ω) rzędu od kilku do kilkudziesięciu dB, wygodnymi do obliczeń pamięciowych, np.

dla M(ω) = 2 mamy L(ω) = 20 log 2 = 20x0.3 = 6 dB,

dla M(ω) = 10 mamy L(ω) = 20 log 10 = 20x1 = 20 dB.

Podziałka osi
jest liniowa; przesunięcie fazowe odmierzamy w stopniach lub radianach.

Przyjęcie takiego układu współrzędnych pozwala, z przybliżeniem wystarczającym do obliczeń, zastępować niektóre charakterystyki krzywoliniowe charakterystykami złożonymi z odcinków prostych, co będzie pokazane przy omawianiu charakterystyk podstawowych elementów automatyki. Ponadto, użycie podziałki logarytmicznej osi M(ω) oraz podziałki liniowej osi
umożliwia łatwe wyznaczanie charakterystyk szeregowego połączenia elementów, przez sumowanie charakterystyk składowych, co jest wykorzystywane przy syntezie UAR.

Michał Chłędowski WYKŁADY Z AUTOMATYKI dla mechaników 64

67 3. Charakterystyki w automatyce

---