5. Ruch krzywoliniowy

22. Znaleźć prędkość i przyspieszenie w ruchu opisanym równaniami:

,

gdzie A, B są stałymi. Znaleźć równanie toru. Jaki to jest ruch?

23. Przyspieszenie cząstki dane jest równaniem
m/s² . W chwili
znajdowała się ona w punkcie
m i miała prędkość
m/s. Znaleźć prędkość i położenie cząstki w dowolnej chwili czasu.

24. Ćma porusza się po krzywej, której długość s jest dana wzorem:

,

gdzie s₀ i c stałe. Wiedząc, że wektor przyspieszenia a tworzy stały kąt  ze styczną do tego toru w każdym punkcie, znaleźć wartość

a) prędkości,

b) przyspieszenia stycznego,

c) przyspieszenia normalnego,

d) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

25. Koło o promieniu r toczy się ruchem jednostajnym z prędkością kątową  po prostej. Zbadać ruch dowolnego punktu leżącego na obwodzie koła. Podać zależność prędkości v i drogi s przebytej przez ten punkt od czasu t.

26. Koło o promieniu R = 2 m obraca się tak, że kąt obrotu promienia koła  zależy od czasu t w następujący sposób: (t) = A + Bt + Ct³, gdzie B = 4 rad/s, C = 3 rad/s² . Wyznaczyć po czasie t = 2s od momentu rozpoczęcia ruchu dla punktów położonych w odległości 3R/4 od osi obrotu:

a) prędkość kątową,

b) prędkość liniową,

c) przyspieszenie styczne, normalne i całkowite.

27. Ruch punktu poruszającego się na płaszczyźnie dany jest w układzie kartezjańskim równaniami: x = bt², y = ct², gdzie stałe b, c >0.

Znaleźć parametryczne równanie ruchu w układzie biegunowym, tor ruchu punktu oraz prędkość i przyspieszenie w obu układach odniesienia.

28. Kolista tarcza o promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stałą prędkością  Ze środka tarczy wyrusza biedronka i porusza się wzdłuż promienia ze stałą prędkością v₀. Znaleźć:

a) równania ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych,

b) zależność od czasu wartości wektora prędkości v oraz jego składowych radialnej v_r i transwersalnej v_,

c) zależność od czasu wartości wektora przyspieszenia a, jak również jego składowych: radialnej a_r, transwersalnej a_ oraz normalnej a_n i stycznej a_s,

d) zależność wartości promienia krzywizny toru ρ od czasu,

e) całkowitą długość drogi przebytej przez biedronkę względem nieruchomego układu odniesienia.

29. Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie odniesienia opisują równania
r = bt,  = c/t, b, c = const. Znaleźć tor ruchu, prędkość i przyspieszenie punktu jako funkcję czasu.

30. W czterech rogach kwadratowego sufitu o boku a znajdują się cztery pająki. W pewnej chwili zaczynają ścigać się nawzajem, tzn. poruszają się wszystkie ze stałą co do wartości prędkością v₀ skierowaną wzdłuż prostej łączącej pająka danego z pająkiem poprzedzającym go. Znaleźć:

a) równanie ruchu dowolnego pająka,

b) czas ruchu,

c) równanie toru.

---