24. Sześciokąt, w którym wszystkie kąty mają miarę 120º wpisano w trójkąt równoboczny o boku długości 6, jak na rysunku. Jaki jest obwód tego sześciokąta?

A) 6 B) 12 C) 13 D) 10 E) 16

25. Ile jest różnych (nieprzystających) trójkątów prostokątnych mających
boki o długościach całkowitych i obwód długości 2003?

A) 1 B) 2 C) 4
D) nieskończenie wiele E) nie ma takich trójkątów

26. Iloczyn trzech liczb naturalnych jest równy 36. Nawet jeśli podam ci ich sumę, nie będziesz wiedział co to za liczby. Jaka jest ich suma?

A) 10 B) 11 C) 13 D) 14 E) 16

27. W kwadrat wpisano ośmiokąt foremny, jak na rysunku. Jaki jest
stosunek pól ośmiokąta i kwadratu?

A)
B)
C)
D)
E)

28. Na okręgu umieszczono sześć liczb, w ten sposób, że każda liczba jest równa sumie dwóch swoich „sąsiadów”. Pięć spośród tych liczb to (niekoniecznie w tej kolejności):
2, 3, -2, 5, -3. Jaka jest szósta liczba?

A) 4 B) 5 C) 1 D) -4 E) inna liczba

29. Jeżeli punkty o współrzędnych (1,2) i (4,6) są przeciwległymi
wierzchołkami kwadratu, to jakie jest pole tego kwadratu?

A) 25 B) 24 C) 12,5 D) 12 E) 20

30. Pokój ma wymiary 3 m × 3 m × 3 m. Pająk siedzi w dolnym rogu pokoju. Jaką najkrótszą drogę musi przebyć, aby znaleźć się w przeciwległym (górnym) narożniku pokoju? Pająk może poruszać się po podłodze, po ścianach i po suficie.

A) 9 m B)
m C)
m D) 18 m E)
m

© Copyright by Łowcy Talentów - JERSZ, Wrocław 2002

Alfik Matematyczny

28 listopada 2002

ORZEŁ - klasa III gimnazjum

Czas trwania konkursu: 1 godz. 15 min.

W każdym zadaniu jest dokładnie jedna poprawna odpowiedź. Brak odpowiedzi oznacza zero punktów.
Za odpowiedź błędną otrzymujesz punkty ujemne równe ¼ liczby punktów przewidzianych dla danego zadania. W czasie konkursu nie wolno używać kalkulatorów. Życzymy przyjemnej pracy.

Zapraszamy do konkursów MAT (27.02.2003) i Disce Puer (6,7.03.2003). Powodzenia!

Zadania po 3 punkty

1. Jaka jest suma kątów wewnętrznych trójkąta o bokach długości 3, 4, 5?

A) 90° B) 180° C) 12 D) nie da się obliczyć E) taki trójkąt nie istnieje

2. Niech S(n) oznacza sumę cyfr (zapisu dziesiętnego) liczby naturalnej n. Ile jest równe S(S(68755486))?

A) 49 B) 13 C) 12 D) 5 E) 15

3. Z sześcianu zbudowanego z 27 jednostkowych sześcianików wyjęto 7 sześcianików - ze środka sześcianu i ze środka każdej ściany. Jakie jest pole powierzchni powstałej bryły?

A) 48 B) 42 C) 54 D) 72 E) 78

4. Dla jakiej liczby n spełniona jest równość: 3ⁿ + 3ⁿ + 3ⁿ = 3³?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) nie ma takiej liczby

5. Ile jest płaszczyzn, od których punkty A, B, C i D są równo oddalone, gdzie ABCD jest czworościanem foremnym?

A) 4 B) 6 C) 10 D) 8 E) 7

6. Jakie jest pole figury uzyskanej przez połączenie środków kolejnych boków prostokąta o wymiarach 3 cm × 8 cm?

A) 18 cm² B) 12 cm² C) 24 cm² D) 16 cm² E) 6 cm²

7. W okrąg wpisano sześciokąt foremny oraz trójkąt równoboczny, jak na rysunku. Jaki jest stosunek pól tego sześciokąta i trójkąta?

A) 1 B) 2 C) 3 D)
E)

8. Ile różnych dzielników (dodatnich) ma liczba 2002?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 10 E) 16

9. W pewnej klasie, liczącej 24 uczniów, średnia liczba punktów uzyskanych na klasówce wyniosła 75 na 100 możliwych do zdobycia. Maksymalną liczbę 100 punktów uzyskało 4 uczniów. Jaka była średnia liczba punktów uzyskanych przez pozostałą dwudziestkę?

A) 71 B) 62,5 C) 70 D) 74 E) 75

10. Jaka jest reszta z dzielenia przez 9 sumy wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 7

Zadania po 4 punkty

11. Boki trójkąta (równobocznego) o polu 9 podzielono na trzy równej długości odcinki. Jakie jest pole zaznaczonego na rysunku trójkąta?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12. Ile cyfr ma 2­¹⁰⁰ w zapisie dziesiętnym?

A) 7 B) 20 C) 21 D) 30 E) 31

13. Kamil narysował wielokąt foremny wraz ze wszystkimi jego przekątnymi, po czym naliczył na tym rysunku 35 „dużych“ trójkątów (przez „duży“ trójkąt rozumiemy trójkąt o wszystkich wierzchołkach w wierzchołkach owego wielokąta). Ile boków miał narysowany przez Kamila wielokąt?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

14. W okrąg o promieniu 1 wpisano wymienione niżej wielokąty foremne. Który z nich ma największe pole?

A) trójkąt równoboczny B) kwadrat C) sześciokąt foremny
D) dwunastokąt foremny E) wszystkie te wielokąty mają równe pola

15. Pewien mag powiedział do asystującego mu pomocnika: „Pomyśl sobie dowolną liczbę dwucyfrową, odejmij ją od sumy jej cyfr pomnożonej przez 11, dodaj jeden i podaj mi wynik, a ja odgadnę wymyśloną przez ciebie liczbę.“ Pomocnik podał wynik 62. O jakiej liczbie pomyślał?

A) 61 B) 36 C) 26 D) 57 E) 16

16. Ile jest nieparzystych liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

17. Jaka jest cyfra jedności liczby 3¹⁰ - 2¹⁰?

A) 1 B) 5 C) 3 D) 9 E) 7

18. Ile cyfr ma najmniejsza liczba całkowita dodatnia, która w zapisie (w systemie dziesiętnym) ma tylko zera i jedynki, a ponadto jest podzielna przez 225?

A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

19. Jakie największe pole może mieć trójkąt wycięty z kawałka papieru o kształcie sześciokąta foremnego o polu 6?

A)
B) 1 C) 2 D) 3 E) 6

20. Jaka bryła powstanie z obrotu sześcianu dookoła jednej z jego krawędzi?

A) prostopadłościan B) sześcian C) walec
D) graniastosłup prawidłowy E) dwa stożki sklejone podstawami

Zadania po 5 punktów

21. Kwadratowy trawnik ma założony system podlewania - pojedynczy pryskacz umieszczony pośrodku trawnika podlewa całą trawę w promieniu R równym odległości pryskacza od boku trawnika. Jaki procent (w przybliżeniu) powierzchni nie jest podlewany?

A) 31,4% B) 62,8% C) 78,5% D) 21,5% E) 68,6%

22. Suma dwudziestu najmniejszych liczb pierwszych jest równa:

A) 628 B) 639 C) 636 D) 640 E) 688

23. Drabina jest oparta o pionowy mur, przy czym jej górny koniec znajduje się 4 metry nad ziemią. Jeśli dolny koniec drabiny odsuniemy o 1 metr od muru, to górny koniec znajdzie się metr niżej. Jaka jest długość drabiny?

A) 7 m B) 5 m C) 4 m D) 25 m E) 8 m

III

ŁOWCY TALENTÓW - JERSZ

ul. Białowieska 50/26, 54-235 Wrocław

tel./fax [phone]

tel.kom. 0-501-101-866

http://www.mat.edu.pl

e-mail: [e-mail]

---