MIARY KORELACJI CECH STATYSTYCZNYCH

MIARY KORELACJI	RODZAJE CECH	CHARAKTER ZWIĄZKU	SPOSÓB PREZENTACJI DANYCH	WARTOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA	ILOŚCIOWE	LINIOWY	SZEREGI TABLICE
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA	ILOŚCIOWE LUB JAKOŚCIOWE WYRAŻONE W SKALI PORZĄDKOWEJ	LINIOWY	SZEREGI
WSPÓŁCZYNNIKI KONTYNGENCJI	JAKOŚCIOWE LUB ILOŚCIOWA I JAKOŚCIOWA	NIE MA ZNACZENIA	TABLICE

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA - miara współzależności dwóch cech ilościowych. Wartość bezwzględna współczynnika informuje o sile związku, a znak o jego kierunku.

(1.1)

gdzie:

x_i - zaobserwowane wartości cechy X

y_i - zaobserwowane wartości cechy Y

i=1,2,...,n - kolejne pary obserwacji

- średnie arytmetyczne cech X i Y

- odchylenia standardowe cech X i Y

(1.2)

(1.3)

dla tablicy korelacyjnej

(1.4)

r = -1 oznacza, że między badanymi cechami istnieje związek funkcyjny liniowy ujemny;

- 1 < r < 0 oznacza, że między cechami istnieje związek korelacyjny ujemny;

r = 0 oznacza, że cechy są nieskorelowane (brak związku liniowego);

0 < r < 1 oznacza, że między cechami istnieje związek korelacyjny dodatni;

r = 1 oznacza, że między badanymi cechami istnieje związek funkcyjny liniowy dodatni;

r≤ 0,3 - korelacja jest niewyraźna, słaba;

Jeżeli 0,3 ≤ r ≤ 0.5 - korelacja jest średnia, umiarkowana.

Jeżeli r > 0,5 - korelacja jest wyraźna, silna.

r² - współczynnik determinacji; informuje jaka część zmienności jednej zmiennej jest wyjaśniona kształtowaniem się drugiej zmiennej.

φ² = 1 - r² - współczynnik indeterminacji; informuje jaka część zmienności jednej zmiennej nie jest wyjaśniona kształtowaniem się drugiej zmiennej, a więc może być spowodowana innymi czynnikami.

ZADANIE 1

ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI MIĘDZY FUNDUSZAMI WŁASNYMI A ZYSKIEM NATTO W 10 WYBRANYCH BANKACH.

bank
a	4,50	0,72	-115,73	13393,43	-28,02	785,18	3242,87
b	7,30	0,26	-112,93	12753,18	-28,48	811,17	3216,36
c	10,10	0,09	-110,13	12128,62	-28,65	820,88	3155,33
d	26,60	6,32	-93,63	8766,58	-22,42	502,70	2099,28
e	34,20	0,83	-86,03	7401,16	-27,91	779,02	2401,18
f	37,20	0,45	-83,03	6893,98	-28,29	800,38	2349,00
g	83,80	18,47	-36,43	1327,14	-10,27	105,49	374,17
h	178,90	24,39	58,67	3442,17	-4,35	18,93	-255,27
i	302,10	50,26	181,87	33076,70	21,52	463,07	3913,66
j	517,60	185,62	397,37	157902,92	156,88	24611,02	62339,01
razem	1202,3	287,41	0,0	257085,88	0,01	29697,84	82835,59

1. obliczamy średnie arytmetyczne oraz odchylenia standardowe obu cech:

2. obliczamy współczynnik korelacji wg wzoru (1.1)

3. obliczamy współczynnik korelacji wg wzoru (1.2)

4. obliczamy współczynnik korelacji wg wzoru (1.3)

bank
a	4,5	0,72	3,24	20,25	0,5184
b	7,3	0,26	1,898	53,29	0,0676
c	10,1	0,09	0,909	102,01	0,0081
d	26,6	6,32	168,112	707,56	39,9424
e	34,2	0,83	28,386	1169,64	0,6889
f	37,2	0,45	16,74	1383,84	0,2025
g	83,8	18,47	1547,786	7022,44	341,1409
h	178,9	24,39	4363,371	32005,21	594,8721
i	302,1	50,26	15183,55	91264,41	2526,068
j	517,6	185,62	96076,91	267909,8	34454,78
razem	1202,3	287,41	117390,9	401638,4	37958,29




r = 0,9480 oznacza, iż między funduszami własnymi a zyskiem netto wybranych banków istnieje silna dodatnia korelacja, co oznacza że wraz ze wzrostem zysku netto wzrastają fundusze własne banków.

r² = 0,9021 oznacza, iż 90% zmienności funduszy własnych banków jest wywołana oddziaływaniem zysku netto.

φ² = 1 - r² = 1 - 0,9021 = 0,0979 oznacza, iż w 10% zmienność jest wywołana oddziaływaniem innych czynników.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA jest to miara korelacji oparta na rangach (tj. kolejnych liczbach od 1 do n, przyporządkowanych obserwacjom według ustalonego kryterium), oceniająca korelację rozumianą jako zgodność uporządkowań dwóch cech ilościowych lub cech jakościowych, wyrażonych w skali porządkowej.




r_s < - 1, +1>

r_s = - 1 - uporządkowania są całkowicie przeciwne

r_s < 0 - korelacja ujemna świadczy o uporządkowaniach

niezgodnych

r_s = 0 - niezależność uporządkowań

r_s > 0 - korelacja dodatnia oznacza uporządkowania zgodne

r_s = + 1 - uporządkowania są całkowicie zgodne.

RANGOWANIE JEST MOŻLIWE WTEDY GDY LICZBA OBSERWACJI NIE JEST DUŻA

A INFORMACJE SĄ ZAPISANE W SZEREGACH

ZADANIE 2.

W badaniach marketingowych rynku samochodowego dwie grupy niezależnych respondentów oceniały samochody znajdujące się na rynku. Jedną grupę stanowili mieszkańcy dużych miast (powyżej 100 tys.), drugą - mieszkańcy miast liczących do 5 tys. mieszkańców. Biorąc pod uwagę najważniejsze wady i zalety poszczególnych marek grupy przyporządkowały ogólne oceny od 1 (najniższa ocena) do 10 (ocena najwyższa) samochodom poddanym ocenie. Należy rozstrzygnąć czy opinie mieszkańców różnej wielkości miast są zgodne, czy też mieszkańcy dużych miast mają inne preferencje niż mieszkańcy małych miast.

l.p.	marka samochodu	ocena mieszkańców dużych miast	ocena mieszkańców małych miast	di	di^2
1	PEUGEOT	8	1	7	49
2	RENAULT	7	2	5	25
3	FORD	2	8	-6	36
4	OPEL	5	6	-1	1
5	DAEWOO	1	7	-6	36
6	HUNDAY	6	3	3	9
7	MAZDA	3	9	-6	36
8	VW	4	5	-1	1
9	AUDI	9	4	5	25
razem	x	45	45	0	218




Współczynnik mniejszy od zera świadczy o niezgodności opinii mieszkańców różnej wielkości miast; siła korelacji jest duża.

ZADANIE 3

Informacje o wysokości przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia brutto w województwach Polski oraz wskaźnik liczby widzów w kinach na 1000 mieszkańców prezentuje tablica. Ocenić współzależność badanych cech:

województwo	przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto	Liczba widzów w kinach na 1000 mieszkańców	ri1	ri2	di	di^2
donośląskie	2122	669	4	5	-1	1
kujawsko-pomorskie	1917	460	12	9	3	9
lubelskie	1904	445	14,5	11	3,5	12,25
lubuskie	1910	341	13	16	-3	9
łódzkie	1904	641	14,5	6	8,5	72,25
małopolskie	2008	736	7	4	3	9
mazowieckie	2891	1489	1	1	0	0
opolskie	1991	359	8	15	-7	49
podkarpackie	1861	424	16	12	4	16
podlaskie	1918	450	11	10	1	1
pomorskie	2140	1044	3	2	1	1
śląskie	2239	615	2	7	-5	25
świętokrzyskie	1950	375	9	14	-5	25
warmińsko-mazurskie	1935	399	10	13	-3	9
wielkopolskie	2043	759	6	3	3	9
zachodniopomorskie	2077	553	5	8	-3	9
x	32810	9759	136	136	0	256,5




Wartość współczynnika świadczy o dodatniej korelacji między wysokością wynagrodzeń i wskaźnikiem liczby widzów w kinach na 1000 mieszkańców. Siła związku jest umiarkowana.

KORELACJA CECH JAKOŚCIOWYCH - opiera się na wyznaczeniu współczynników kontyngencji, oceniających stopień skojarzenia cech.

Ocena skojarzenia cech opiera się na tzw. statystyce χ² , która ukazuje odchylenia zaobserwowanych liczebności dla wyodrębnionych klas obu cech od liczebności jakich należałoby się spodziewać, gdyby cechy były niezależne.




gdzie:

nij	- liczba elementów próby,
	- liczebności teoretyczne,
k	- liczba kolumn tablicy niezależności (kontyngencji),
r	- liczba wierszy tablicy niezależności.

Liczebności teoretyczne oblicza się wg wzoru:




gdzie:

nij	- liczba elementów próby,
	- liczebności teoretyczne,
k	- liczba kolumn tablicy niezależności,
l	- liczba wierszy tablicy niezależności.

χ²


WSPÓŁCZYNNIKI KONTYNGENCJI

1. WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI T-CZUPROWA




2. WSPÓŁCZYNNIK V-CRAMERA




3. WSPÓŁCZYNNIK KONTYNGENCJI C PEARSONA




ZADANIE 4.

W maju 2004 roku jeden z ośrodków badania opinii społecznej zadał respondentom pytanie „czy prywatyzacja jest korzystna dla kraju?” Osoby pogrupowano na dwie kategorie: pracujących na własny rachunek oraz zatrudnionych na podstawie umowy o pracę.

Pracujący	Ocena		razem
		korzystna		niekorzystna
Na własny rachunek	150	60	210
Na podstawie umowy o pracę	40	70	110
razem	190	130	320

1. Obliczamy liczebności teoretyczne wg wzoru




150	125	25	625	5,00
140	65	-25	625	9,62
60	85	-25	625	7,35
70	45	25	625	13,89
320	320	0	x	35,86

2. Obliczamy statystykę χ² wg wzoru




3. Obliczamy współczynnik zbieżności wg wzoru




Otrzymany współczynnik wskazuje na umiarkowaną współzależność pomiędzy oceną prywatyzacji a miejscem pracy.

12




---