nr 膰wiczenia 109 |
data 08.06. 2011r. |
|
Wydzia艂 TCH Kierunek TCH |
semestr II |
Grupa lab. 1.5 |
Prowadz膮ca dr J.Bara艅ska
|
przygotowanie |
wykonanie |
ocena |
Badanie ruchu jednostajnie przyspieszonego za pomoc膮 komputerowego zestawu pomiarowego.
Ruch zmienny
Punkt materialny (cia艂o posiadaj膮ce mas臋 lecz nie posiadaj膮ce obj臋to艣ci) poruszaj膮c si臋 w jednowymiarowym uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych tak, 偶e o艣 x pokrywa si臋 z torem ruchu , to wsp贸艂rz臋dna x tego punktu jest funkcj膮 czasu x=x(t).
Je偶eli w chwili t0 wsp贸艂rz臋dna punktu wynosi x0, za艣 w chwili t wynosi x , to pr臋dko艣膰 艣rednia v艣r punktu wynosi:
(1)
Je偶eli dla danego punktu warto艣膰 pr臋dko艣ci v jest sta艂a dla wszystkich warto艣ci t i t0 tzn. nie zale偶y ani od chwili pocz膮tkowej ani od odst臋pu czasu, dla kt贸rego zosta艂a wyznaczona, w贸wczas m贸wimy o ruchu jednostajnym. Je艣li ten ruch odbywa si臋 po linii prostej wtedy m贸wimy o ruchu jednostajnym prostoliniowym.
Wszystkie pozosta艂e rodzaje ruch贸w nazywamy zmiennymi niezale偶nie od kszta艂tu ich toru. Wielko艣ciami charakteryzuj膮cymi ruch zmienny s膮 :
Pr臋dko艣膰 艣rednia (analogicznie jak w przypadku ruchu jednostajnego z wyj膮tkiem oznacze艅 t=t-t0, 螖x=x-x0)
(2)
Pr臋dko艣膰 chwilowa (rzeczywista) m贸wimy wtedy gdy pr臋dko艣膰 艣rednia jest wielko艣ci膮 zmienn膮, warto艣膰 pr臋dko艣ci wyra偶a si臋 wzorem:
(3)
Pr臋dko艣膰 chwilowa jest wi臋c pochodn膮 drogi po czasie4)
(4)
Jednostk膮 pr臋dko艣ci w uk艂adzie SI jest m/s
Droga jaka zosta艂a przebyta w okre艣lonym czasie mo偶e zosta膰 obliczona przez sca艂kowanie przekszta艂conego (3).kt贸ry teraz ma posta膰:
czyli
(5)
Poniewa偶 v=const., otrzymujemy
x-x0=v(t-t0)
(6)
Dla ruchu o sta艂ej pr臋dko艣ci, droga przebyta w czasie t jest proporcjonalna do czasu, pr臋dko艣膰 za艣 jest wsp贸艂czynnikiem proporcjonalno艣ci,
Przyspieszenie.
Przyspieszenie wyst臋puje wtedy gdy i pr臋dko艣膰 nie jest sta艂 na okre艣lonym przyro艣cie drogie i w okre艣lonym przyro艣cie czasu. Warto艣膰 przyspieszenia 艣redniego okre艣lona jest wzorem:
(7)
O przyspieszeniu chwilowym (rzeczywistym ) m贸wimy wtedy gdy przyspieszenie 艣rednie jest wielko艣ci膮 zmienn膮. Warto艣膰 ta wyra偶a si臋 wzorem
(8)
Przyspieszenie rzeczywiste jest wi臋c pochodn膮 pr臋dko艣ci wzgl臋dem czasu:
(9)
Jednostk膮 przyspieszenia w uk艂adzie SI jest m/s2.
Ruchem w kt贸rym przyspieszenie jest warto艣ci膮 sta艂膮 nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym gdy a>0 lub jednostajnie op贸藕nionym gdy a<0. Warto艣ci charakteryzuj膮ce ten ruch to pr臋dko艣膰 oraz droga.
Pr臋dko艣膰
Warto艣膰 pr臋dko艣ci mo偶na wyznaczy膰 przez przekszta艂cenie i sca艂kowanie wzoru (9):
(10)
dla a =const:
v-v0=a(t-t0)
(11)
dla t0=0 otrzymujemy
v=at+v0
(12)
Wykresem pr臋dko艣ci jako funkcji czasu (rys.1) jest linia prosta A b nachylona do soi czasu pod k膮tem 伪 takim, 偶e tg(伪)=a i przecinaj膮c膮 o艣 v w punkcie v0. Wielko艣膰 v0 jest pr臋dko艣ci膮 pocz膮tkow膮, jak膮 ma cia艂o w chwili rozpocz臋cia ruchu.
Rys 1 Wykres pr臋dko艣ci w ruchu jednostajnie zmiennym
Droga
Z r贸wnania (4) oraz (12) wynika ,偶e
dx=vdt=(v0+at)dt
(13)
Ca艂kuj膮c obie strony r贸wnania (13)
(14)
otrzymujemy
(15)
Og贸lnie, je偶eli krzywa AB (rys.2) przedstawia wykres pr臋dko艣ci jako funkcji czasu w dowolnym ruchu zmiennym po linii prostej, w贸wczas powierzchnia
(16)
Zatem pole OABC jest r贸wne drodze przebytej przez to cia艂o w czasie t.
Rys.2 droga w ruchu zmiennym
Swobodny spadek
Szczeg贸lnym przypadkiem ruchu jest tzw. swobodny spadek, jest to ruch z prawie sta艂ym przyspieszeniem. Stwierdzono, 偶e gdy nie wyst臋puj膮 opory powietrza, wszystkie cia艂a niezale偶nie od ich rozmiar贸w, ci臋偶aru i sk艂adu chemicznego spadaj膮 z takim samym przyspieszeniem ziemskim „g” r贸wnym przy powierzchni ziemi 9,81 m/s2.
Do opisu spadku swobodnego stosujemy r贸wnanie
v=gt+v0
(17 i 18)
Dla ruchu bez pr臋dko艣ci pocz膮tkowej v0 oraz x0 powy偶sze r贸wnania maj膮 posta膰:
v=gt
(19 i 20)
Tarcie
Zjawisko towarzysz膮ce wzgl臋dnemu przemieszczani doci艣ni臋tych do siebie lub stykaj膮cych si臋 dw贸ch r贸偶nych cia艂 (tzw. zewn臋trzne) lub element贸w tego samego cia艂a (tzw. wewn臋trzne). Wed艂ug sposobu przemieszczania si臋 cia艂a rozr贸偶nia si臋 :
tarcie 艣lizgowe
tarcie toczne
tarcie wiertne
Ze wzgl臋du na pr臋dko艣膰 wzgl臋dn膮 cia艂 tr膮cych dzieli si臋 tarcie na:
tarcie spoczynkowe ( statyczne) wyra偶aj膮ce si臋 si艂膮, kt贸r膮 trzeba przy艂o偶y膰, aby wprawi膰 cia艂o w ruch. Stosunek maksymalnej warto艣ci si艂y tarcia statycznego do warto艣ci si艂y normalnej nazywamy wsp贸艂czynnikiem tarcia statycznego
dla danych powierzchni:
(21)
gdzie N- warto艣膰 bezwzgl臋dna si艂y normalnej. Znak r贸wno艣ci odnosi si臋 do przypadku, gdy TS ma maksymaln膮 warto艣膰.
tarcie ruchowe (kinetyczne) odpowiadaj膮ce sile, kt贸r膮 trzeba pokona膰, aby te cia艂o utrzyma膰 w ruchu. Stosunek warto艣ci si艂y tarcia kinetycznego do warto艣ci si艂y normalnej N nazywamy wsp贸艂czynnikiem tarcia kinetycznego, gdzie FK to warto艣膰 bezwzgl臋dna si艂y tarcia kinetycznego
(22)
渭S i 渭K s膮 sta艂ymi bezwymiarowymi. Zwykle da danej pary powierzchni 渭S>渭K. Rzeczywista warto艣膰 渭S i 渭K zale偶y od rodzaju stykaj膮cych si臋 powierzchni. Warto艣膰 tych wsp贸艂czynnik贸w na og贸艂 jest mniejsza od 1.
Mierz膮c przyspieszenie „a” staczaj膮cego si臋 w贸zka po r贸wni pochy艂ej pod wp艂ywem sk艂adowej stycznej „S” jego ci臋偶aru i si艂y hamuj膮cej wywo艂anej ci臋偶arem przeciwwagi „P” oraz si艂y tarcia „T” na podstawie drugiej zasady mo偶emy napisa膰 r贸wnanie ruchu
S-Q-T=a(mW+mP)
(23)
Rys 3 Schemat pomiarowy
Po podstawieniu S=mWg sin(伪) i Q= m.Pg i przekszta艂ceniu otrzymujemy:
T=mWgsin(伪)-m.pg-a(mW+m.P)
(24)
gdzie m.W i mP -masy w贸zka i przeciwwagi .
Pomiary i obliczenia:
膯wiczenie nr 1 - drabinka
Lp. |
艢rednie przyspieszenie [m/s2] |
Odchylenie standardowe |
1 |
9,73749 |
0,012864 |
2 |
9,80233 |
0,077704 |
3 |
9,70718 |
0,017446 |
4 |
9,48626 |
0,238366 |
5 |
9,81110 |
0,086474 |
6 |
9,70924 |
0,015386 |
7 |
9,71951 |
0,005116 |
8 |
9,90660 |
0,181974 |
9 |
9,76197 |
0,037344 |
10 |
9,60458 |
0,120046 |
艢rednia zaobserwowanych przyspiesze艅: 9,72463 m/s2.
艢rednie przyspieszenie z jego odchyleniem standardowym:
9,72 +/- 0,08 m/s2
Wz贸r, z kt贸rego korzysta艂y艣my przy obliczaniu odchylenia standardowego:
,
Odchylenie standardowe wynosi 3,65, co oznacza i偶 zaobserwowane warto艣ci r贸偶ni膮 si臋 w艂a艣nie o 3,65% od naszej warto艣ci 艣redniej.
膯wiczenie 2 - r贸wnia pochy艂a
Dane:
Masa w贸zka - 354 [g] = 0.354 [kg]
Masa pr臋ta do zawieszania ci臋偶ark贸w - 9,5 [g] = 0.0095 [kg]
Przyspieszenie ziemskie - 9,81 [m/s2]
Kont nachylenia r贸wni - 250
Nr ci臋偶arka |
Masa ci臋偶arka [kg] |
1 |
0,01 |
2 |
0,02 |
3 |
0,05 |
4 |
0,084 |
Obliczenia dla nieobci膮偶onego w贸zka:
Lp. |
a [m/s2] |
1 |
2,98026 |
2 |
2,84086 |
3 |
2,77663 |
4 |
2,83449 |
5 |
2,95256 |
艣rednia: |
2,87696 |
odchylenie standardowe |
0,085964 |
Przyspieszenie 艣rednie z jego odchyleniem standardowym:
2,88 +/- 0,09 m/s2
Obliczam tarcie stosuj膮c wz贸r (24)
T [N] |
0,328673 |
Obliczenia :
M1 = obci膮偶enie w w贸zku
M2 = obci膮偶enie na zawieszce
Masa w贸zka = 0,354 kg
Masa zawieszki = 0,0095 kg
M3 - masa w贸zka i obci膮偶enia w w贸zku
M4 - masa zawieszki i obci膮偶enia na zawieszce
Pomiary dla nachylenia r贸wni 25o
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
a1 [m/s2] |
a2 [m/s2] |
a3 [m/s2] |
a4 [m/s2] |
a5 [m/s2] |
a艣r [m/s2] |
odchylenie standardowe |
1 |
0 |
0,01 |
0,354 |
0,0195 |
2,79796 |
2,79448 |
2,80547 |
2,7981 |
2,78563 |
2,796328 |
0,007197949 |
2 |
0 |
0,02 |
0,354 |
0,0295 |
2,50423 |
2,47263 |
2,48119 |
2,46591 |
2,50238 |
2,485268 |
0,017345455 |
3 |
0 |
0,03 |
0,354 |
0,0395 |
2,20995 |
2,21746 |
2,24939 |
2,20833 |
2,18056 |
2,213138 |
0,0246348 |
4 |
0 |
0,04 |
0,354 |
0,0495 |
1,84919 |
1,86749 |
1,83319 |
1,938824 |
1,85485 |
1,868709 |
0,041086074 |
5 |
0 |
0,05 |
0,354 |
0,0595 |
1,62143 |
1,5985 |
1,64812 |
1,5787 |
1,65055 |
1,61946 |
0,031195207 |
6 |
0 |
0,06 |
0,354 |
0,0695 |
1,421 |
1,38298 |
1,32351 |
1,37478 |
1,38059 |
1,376572 |
0,0348204 |
7 |
0 |
0,07 |
0,354 |
0,0795 |
1,1845 |
1,18293 |
1,16876 |
1,167872 |
1,171083 |
1,175029 |
0,008034606 |
8 |
0 |
0,084 |
0,354 |
0,0935 |
0,892341 |
0,867773 |
0,838894 |
0,87251 |
0,871508 |
0,868605 |
0,019173614 |
Zestawienie:
2,796 +/- 0,007 m/s2
2,49 +/- 0,02 m/s2
2,213 +/- 0,025 m/s2
1,87 +/- 0,04 m/s2
1,62 +/- 0,03 m/s2
1,377 +/- 0,035 m/s2
1,175 +/- 0,008 m/s2
0,87 +/- 0,02 m/s2
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
T [N] |
1 |
0 |
0,01 |
0,354 |
0,0195 |
0,23192 |
2 |
0 |
0,02 |
0,354 |
0,0295 |
0,225148 |
3 |
0 |
0,03 |
0,354 |
0,0395 |
0,209279 |
4 |
0 |
0,04 |
0,354 |
0,0495 |
0,228024 |
5 |
0 |
0,05 |
0,354 |
0,0595 |
0,214302 |
6 |
0 |
0,06 |
0,354 |
0,0695 |
0,20287 |
7 |
0 |
0,07 |
0,354 |
0,0795 |
0,178373 |
8 |
0 |
0,084 |
0,354 |
0,0935 |
0,161708 |
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
a1 [m/s2] |
a2 [m/s2] |
a3 [m/s2] |
a4 [m/s2] |
a5 [m/s2] |
a艣r [m/s2] |
odchylenie standardowe |
1 |
0,05 |
0,084 |
0,404 |
0,0935 |
1,212124 |
1,212828 |
1,22371 |
1,222129 |
1,212836 |
1,216725 |
0,005689323 |
2 |
0,06 |
0,084 |
0,414 |
0,0935 |
1,272132 |
1,27388 |
1,271559 |
1,272747 |
1,260478 |
1,270159 |
0,00547992 |
3 |
0,07 |
0,084 |
0,424 |
0,0935 |
1,3909098 |
1,3122 |
1,31135 |
1,296716 |
1,29759 |
1,321753 |
0,039347322 |
Zestawienie wyniku
1,217 +/- 0,006 m/s2
1,270 +/- 0,006 m/s2
1,32 +/- 0,04 m/s2
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
T [N] |
1 |
0,05 |
0,084 |
0,404 |
0,0935 |
0,152382 |
2 |
0,06 |
0,084 |
0,414 |
0,0935 |
0,154556 |
3 |
0,07 |
0,084 |
0,424 |
0,0935 |
0,156613 |
Pomiary dla nachylenia r贸wni 20o
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
a1 [m/s2] |
a2 [m/s2] |
a3 [m/s2] |
a4 [m/s2] |
a5 [m/s2] |
a艣r [m/s2] |
odchylenie standardowe |
1 |
0 |
0,01 |
0,354 |
0,0195 |
2,1044 |
2,11818 |
2,10677 |
2,11003 |
2,11201 |
2,110278 |
0,00530000 |
2 |
0 |
0,02 |
0,354 |
0,0295 |
1,84719 |
1,84983 |
1,84761 |
1,84599 |
1,85258 |
1,84864 |
0,00260411 |
3 |
0 |
0,03 |
0,354 |
0,0395 |
1,59176 |
1,59398 |
1,59224 |
1,59198 |
1,58014 |
1,59002 |
0,00559226 |
4 |
0 |
0,04 |
0,354 |
0,0495 |
1,323277 |
1,33019 |
1,32861 |
1,329123 |
1,333496 |
1,328939 |
0,00369228 |
5 |
0 |
0,05 |
0,354 |
0,0595 |
1,087277 |
1,093317 |
1,115827 |
1,10667 |
1,09459 |
1,099536 |
0,01150774 |
6 |
0 |
0,06 |
0,354 |
0,0695 |
0,864045 |
0,886967 |
0,88101 |
0,886194 |
0,886522 |
0,880948 |
0,00975364 |
7 |
0 |
0,07 |
0,354 |
0,0795 |
0,654629 |
0,661925 |
0,664342 |
0,663831 |
0,66101 |
0,661147 |
0,00388974 |
8 |
0 |
0,084 |
0,354 |
0,0935 |
0,39236 |
0,378752 |
0,384933 |
0,38408 |
0,38771 |
0,385567 |
0,00499486 |
Zestawienie:
2,110 +/- 0,005 m/s2
1,8486 +/- 0,0026 m/s2
1,590 +/- 0,006 m/s2
1,329 +/- 0,004 m/s2
1,20 +/- 0,01 m/s2
0,88 +/- 0,01 m/s2
0,661 +/- 0,004 m/s2
0,386 +/- 0,005 m/s2
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
T [N] |
1 |
0 |
0,01 |
0,354 |
0,0195 |
0,2082632 |
2 |
0 |
0,02 |
0,354 |
0,0295 |
0,189398593 |
3 |
0 |
0,03 |
0,354 |
0,0395 |
0,174579163 |
4 |
0 |
0,04 |
0,354 |
0,0495 |
0,165925065 |
5 |
0 |
0,05 |
0,354 |
0,0595 |
0,149393814 |
6 |
0 |
0,06 |
0,354 |
0,0695 |
0,132870724 |
7 |
0 |
0,07 |
0,354 |
0,0795 |
0,121244635 |
8 |
0 |
0,084 |
0,354 |
0,0935 |
0,0979708 |
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
a1 [m/s2] |
a2 [m/s2] |
a3 [m/s2] |
a4 [m/s2] |
a5 [m/s2] |
a艣r [m/s2] |
odchylenie standardowe |
1 |
0,05 |
0,084 |
0,404 |
0,0935 |
0,63728 |
0,625383 |
0,628214 |
0,62623 |
0,63188 |
0,629797 |
0,0048746 |
2 |
0,06 |
0,084 |
0,414 |
0,0935 |
0,661006 |
0,635572 |
0,674361 |
0,674361 |
0,66976 |
0,663012 |
0,01627969 |
3 |
0,07 |
0,084 |
0,424 |
0,0935 |
0,713333 |
0,683786 |
0,683891 |
0,683891 |
0,68458 |
0,689896 |
0,01310539 |
Zestawienie:
0,630 +/- 0,005 m/s2
0,663 +/- 0,016 m/s2
0,69 +/- 0,01 m/s2
Lp. |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
T [N] |
1 |
0,05 |
0,084 |
0,404 |
0,0935 |
0,124948706 |
2 |
0,06 |
0,084 |
0,414 |
0,0935 |
0,135346499 |
3 |
0,07 |
0,084 |
0,424 |
0,0935 |
0,148355981 |
Wnioski
Uwzgl臋dniaj膮c odchylenie standardowe warto艣膰 9,81 m/s2 mie艣ci si臋 w obliczonym zakresie:
9,72 |
+/- 0,08 |
co dowodzi prawid艂owego przeprowadzenia pomiar贸w.
Jak wida膰 z przedstawionych wynik贸w wraz ze wzrostem obci膮偶enia si艂a tarcia maleje. Dzieje si臋 tak dlatego, 偶e warto艣膰 sk艂adowej „S” (patrz rys 3) wzrasta wraz ze wzrostem masy w贸zka. Wzrost ten jest jednak nieznaczny do wzrostu przyspieszenia jakie jest wywo艂ane wsp贸ln膮 masy w贸zka i przeciwwagi. W tym przypadku skorzystali艣my z bilansu si艂 i nie uwzgl臋dnili艣my wsp贸艂czynnika chropowato艣ci powierzchni. Z powodu na wysok膮 klas臋 dok艂adno艣ci urz膮dzenia pomiarowego (interfejsu oraz komputera) b艂臋dy s膮 znikome. Jedyny b艂膮d m贸g艂 powsta膰 przy obliczaniu 艣redniej arytmetycznej przyspieszenia, b艂膮d ten zosta艂 obliczony z odchylenia standardowego. Warto艣膰 tego b艂臋du zosta艂a umieszczona w tabeli.