nr ćwiczenia 109	data 08.06. 2011r.		Wydział TCH Kierunek TCH	semestr II	Grupa lab. 1.5
Prowadząca dr J.Barańska			przygotowanie	wykonanie	ocena

Badanie ruchu jednostajnie przyspieszonego za pomocą komputerowego zestawu pomiarowego.

1. Ruch zmienny

Punkt materialny (ciało posiadające masę lecz nie posiadające objętości) poruszając się w jednowymiarowym układzie współrzędnych tak, że oś x pokrywa się z torem ruchu , to współrzędna x tego punktu jest funkcją czasu x=x(t).

Jeżeli w chwili t₀ współrzędna punktu wynosi x₀, zaś w chwili t wynosi x , to prędkość średnia v_śr punktu wynosi:

(1)

Jeżeli dla danego punktu wartość prędkości v jest stała dla wszystkich wartości t i t₀ tzn. nie zależy ani od chwili początkowej ani od odstępu czasu, dla którego została wyznaczona, wówczas mówimy o ruchu jednostajnym. Jeśli ten ruch odbywa się po linii prostej wtedy mówimy o ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Wszystkie pozostałe rodzaje ruchów nazywamy zmiennymi niezależnie od kształtu ich toru. Wielkościami charakteryzującymi ruch zmienny są :

1. Prędkość średnia (analogicznie jak w przypadku ruchu jednostajnego z wyjątkiem oznaczeń t=t-t₀, Δx=x-x₀)

(2)

2. Prędkość chwilowa (rzeczywista) mówimy wtedy gdy prędkość średnia jest wielkością zmienną, wartość prędkości wyraża się wzorem:

(3)

Prędkość chwilowa jest więc pochodną drogi po czasie4)

(4)

Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s

3. Droga jaka została przebyta w określonym czasie może zostać obliczona przez scałkowanie przekształconego (3).który teraz ma postać:

czyli

(5)

Ponieważ v=const., otrzymujemy

x-x₀=v(t-t₀)

(6)

Dla ruchu o stałej prędkości, droga przebyta w czasie t jest proporcjonalna do czasu, prędkość zaś jest współczynnikiem proporcjonalności,

4. Przyspieszenie.

Przyspieszenie występuje wtedy gdy i prędkość nie jest stał na określonym przyroście drogie i w określonym przyroście czasu. Wartość przyspieszenia średniego określona jest wzorem:

(7)

O przyspieszeniu chwilowym (rzeczywistym ) mówimy wtedy gdy przyspieszenie średnie jest wielkością zmienną. Wartość ta wyraża się wzorem

(8)

Przyspieszenie rzeczywiste jest więc pochodną prędkości względem czasu:

(9)

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest m/s².

Ruchem w którym przyspieszenie jest wartością stałą nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym gdy a>0 lub jednostajnie opóźnionym gdy a<0. Wartości charakteryzujące ten ruch to prędkość oraz droga.

1. Prędkość

Wartość prędkości można wyznaczyć przez przekształcenie i scałkowanie wzoru (9):

(10)

dla a =const:

v-v₀=a(t-t₀)

(11)

dla t₀=0 otrzymujemy

v=at+v₀

(12)

Wykresem prędkości jako funkcji czasu (rys.1) jest linia prosta A b nachylona do soi czasu pod kątem α takim, że tg(α)=a i przecinającą oś v w punkcie v₀. Wielkość v₀ jest prędkością początkową, jaką ma ciało w chwili rozpoczęcia ruchu.

Rys 1 Wykres prędkości w ruchu jednostajnie zmiennym

2. Droga

Z równania (4) oraz (12) wynika ,że

dx=vdt=(v0+at)dt

(13)

Całkując obie strony równania (13)

(14)

otrzymujemy

(15)

Ogólnie, jeżeli krzywa AB (rys.2) przedstawia wykres prędkości jako funkcji czasu w dowolnym ruchu zmiennym po linii prostej, wówczas powierzchnia

(16)

Zatem pole OABC jest równe drodze przebytej przez to ciało w czasie t.

Rys.2 droga w ruchu zmiennym

2. Swobodny spadek

Szczególnym przypadkiem ruchu jest tzw. swobodny spadek, jest to ruch z prawie stałym przyspieszeniem. Stwierdzono, że gdy nie występują opory powietrza, wszystkie ciała niezależnie od ich rozmiarów, ciężaru i składu chemicznego spadają z takim samym przyspieszeniem ziemskim „g” równym przy powierzchni ziemi 9,81 m/s².

Do opisu spadku swobodnego stosujemy równanie

v=gt+v₀

(17 i 18)

Dla ruchu bez prędkości początkowej v₀ oraz x₀ powyższe równania mają postać:

v=gt

(19 i 20)

3. Tarcie

Zjawisko towarzyszące względnemu przemieszczani dociśniętych do siebie lub stykających się dwóch różnych ciał (tzw. zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tzw. wewnętrzne). Według sposobu przemieszczania się ciała rozróżnia się :

1. tarcie ślizgowe

2. tarcie toczne

3. tarcie wiertne

Ze względu na prędkość względną ciał trących dzieli się tarcie na:

1. tarcie spoczynkowe ( statyczne) wyrażające się siłą, którą trzeba przyłożyć, aby wprawić ciało w ruch. Stosunek maksymalnej wartości siły tarcia statycznego do wartości siły normalnej nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego
   dla danych powierzchni:

(21)

gdzie N- wartość bezwzględna siły normalnej. Znak równości odnosi się do przypadku, gdy T_S ma maksymalną wartość.

2. tarcie ruchowe (kinetyczne) odpowiadające sile, którą trzeba pokonać, aby te ciało utrzymać w ruchu. Stosunek wartości siły tarcia kinetycznego do wartości siły normalnej N nazywamy współczynnikiem tarcia kinetycznego, gdzie F_K to wartość bezwzględna siły tarcia kinetycznego

(22)

μ_S i μ_K są stałymi bezwymiarowymi. Zwykle da danej pary powierzchni μ_S>μ_K. Rzeczywista wartość μ_S i μ_K zależy od rodzaju stykających się powierzchni. Wartość tych współczynników na ogół jest mniejsza od 1.

Mierząc przyspieszenie „a” staczającego się wózka po równi pochyłej pod wpływem składowej stycznej „S” jego ciężaru i siły hamującej wywołanej ciężarem przeciwwagi „P” oraz siły tarcia „T” na podstawie drugiej zasady możemy napisać równanie ruchu

S-Q-T=a(m_W+m_P)

(23)

Rys 3 Schemat pomiarowy

Po podstawieniu S=m_Wg sin(α) i Q= m._Pg i przekształceniu otrzymujemy:

T=m_Wgsin(α)-m._pg-a(m_W+m._P)

(24)

gdzie m._W i m_P -masy wózka i przeciwwagi .

Pomiary i obliczenia:

Ćwiczenie nr 1 - drabinka

Lp.	Średnie przyspieszenie [m/s^2]	Odchylenie standardowe
1	9,73749	0,012864
2	9,80233	0,077704
3	9,70718	0,017446
4	9,48626	0,238366
5	9,81110	0,086474
6	9,70924	0,015386
7	9,71951	0,005116
8	9,90660	0,181974
9	9,76197	0,037344
10	9,60458	0,120046

Średnia zaobserwowanych przyspieszeń: 9,72463 m/s².

Średnie przyspieszenie z jego odchyleniem standardowym:

9,72 +/- 0,08 m/s²

Wzór, z którego korzystałyśmy przy obliczaniu odchylenia standardowego:

,

Odchylenie standardowe wynosi 3,65, co oznacza iż zaobserwowane wartości różnią się właśnie o 3,65% od naszej wartości średniej.

Ćwiczenie 2 - równia pochyła

Dane:

Masa wózka - 354 [g] = 0.354 [kg]

Masa pręta do zawieszania ciężarków - 9,5 [g] = 0.0095 [kg]

Przyspieszenie ziemskie - 9,81 [m/s²]

Kont nachylenia równi - 25⁰

Nr ciężarka	Masa ciężarka [kg]
1	0,01
2	0,02
3	0,05
4	0,084

Obliczenia dla nieobciążonego wózka:

Lp.	a [m/s^2]
1	2,98026
2	2,84086
3	2,77663
4	2,83449
5	2,95256
średnia:	2,87696
odchylenie standardowe	0,085964

Przyspieszenie średnie z jego odchyleniem standardowym:

2,88 +/- 0,09 m/s²

Obliczam tarcie stosując wzór (24)

T [N]

0,328673

Obliczenia :

M1 = obciążenie w wózku

M2 = obciążenie na zawieszce

Masa wózka = 0,354 kg

Masa zawieszki = 0,0095 kg

M3 - masa wózka i obciążenia w wózku

M4 - masa zawieszki i obciążenia na zawieszce

Pomiary dla nachylenia równi 25^o

Lp.	m1	m2	m3	m4	a1 [m/s^2]	a2 [m/s2]	a3 [m/s^2]	a4 [m/s^2]	a5 [m/s^2]	aśr [m/s^2]	odchylenie standardowe
1	0	0,01	0,354	0,0195	2,79796	2,79448	2,80547	2,7981	2,78563	2,796328	0,007197949
2	0	0,02	0,354	0,0295	2,50423	2,47263	2,48119	2,46591	2,50238	2,485268	0,017345455
3	0	0,03	0,354	0,0395	2,20995	2,21746	2,24939	2,20833	2,18056	2,213138	0,0246348
4	0	0,04	0,354	0,0495	1,84919	1,86749	1,83319	1,938824	1,85485	1,868709	0,041086074
5	0	0,05	0,354	0,0595	1,62143	1,5985	1,64812	1,5787	1,65055	1,61946	0,031195207
6	0	0,06	0,354	0,0695	1,421	1,38298	1,32351	1,37478	1,38059	1,376572	0,0348204
7	0	0,07	0,354	0,0795	1,1845	1,18293	1,16876	1,167872	1,171083	1,175029	0,008034606
8	0	0,084	0,354	0,0935	0,892341	0,867773	0,838894	0,87251	0,871508	0,868605	0,019173614

Zestawienie:

1. 2,796 +/- 0,007 m/s²

2. 2,49 +/- 0,02 m/s²

3. 2,213 +/- 0,025 m/s²

4. 1,87 +/- 0,04 m/s²

5. 1,62 +/- 0,03 m/s²

6. 1,377 +/- 0,035 m/s²

7. 1,175 +/- 0,008 m/s²

8. 0,87 +/- 0,02 m/s²

Lp.	m1	m2	m3	m4	T [N]
1	0	0,01	0,354	0,0195	0,23192
2	0	0,02	0,354	0,0295	0,225148
3	0	0,03	0,354	0,0395	0,209279
4	0	0,04	0,354	0,0495	0,228024
5	0	0,05	0,354	0,0595	0,214302
6	0	0,06	0,354	0,0695	0,20287
7	0	0,07	0,354	0,0795	0,178373
8	0	0,084	0,354	0,0935	0,161708

Lp.	m1	m2	m3	m4	a1 [m/s^2]	a2 [m/s2]	a3 [m/s^2]	a4 [m/s^2]	a5 [m/s^2]	aśr [m/s^2]	odchylenie standardowe
1	0,05	0,084	0,404	0,0935	1,212124	1,212828	1,22371	1,222129	1,212836	1,216725	0,005689323
2	0,06	0,084	0,414	0,0935	1,272132	1,27388	1,271559	1,272747	1,260478	1,270159	0,00547992
3	0,07	0,084	0,424	0,0935	1,3909098	1,3122	1,31135	1,296716	1,29759	1,321753	0,039347322

Zestawienie wyniku

1. 1,217 +/- 0,006 m/s²

2. 1,270 +/- 0,006 m/s²

3. 1,32 +/- 0,04 m/s²

Lp.	m1	m2	m3	m4	T [N]
1	0,05	0,084	0,404	0,0935	0,152382
2	0,06	0,084	0,414	0,0935	0,154556
3	0,07	0,084	0,424	0,0935	0,156613

Pomiary dla nachylenia równi 20^o

Lp.	m1	m2	m3	m4	a1 [m/s^2]	a2 [m/s2]	a3 [m/s^2]	a4 [m/s^2]	a5 [m/s^2]	aśr [m/s^2]	odchylenie standardowe
1	0	0,01	0,354	0,0195	2,1044	2,11818	2,10677	2,11003	2,11201	2,110278	0,00530000
2	0	0,02	0,354	0,0295	1,84719	1,84983	1,84761	1,84599	1,85258	1,84864	0,00260411
3	0	0,03	0,354	0,0395	1,59176	1,59398	1,59224	1,59198	1,58014	1,59002	0,00559226
4	0	0,04	0,354	0,0495	1,323277	1,33019	1,32861	1,329123	1,333496	1,328939	0,00369228
5	0	0,05	0,354	0,0595	1,087277	1,093317	1,115827	1,10667	1,09459	1,099536	0,01150774
6	0	0,06	0,354	0,0695	0,864045	0,886967	0,88101	0,886194	0,886522	0,880948	0,00975364
7	0	0,07	0,354	0,0795	0,654629	0,661925	0,664342	0,663831	0,66101	0,661147	0,00388974
8	0	0,084	0,354	0,0935	0,39236	0,378752	0,384933	0,38408	0,38771	0,385567	0,00499486

Zestawienie:

1. 2,110 +/- 0,005 m/s²

2. 1,8486 +/- 0,0026 m/s²

3. 1,590 +/- 0,006 m/s²

4. 1,329 +/- 0,004 m/s²

5. 1,20 +/- 0,01 m/s²

6. 0,88 +/- 0,01 m/s²

7. 0,661 +/- 0,004 m/s²

8. 0,386 +/- 0,005 m/s²

Lp.	m1	m2	m3	m4	T [N]
1	0	0,01	0,354	0,0195	0,2082632
2	0	0,02	0,354	0,0295	0,189398593
3	0	0,03	0,354	0,0395	0,174579163
4	0	0,04	0,354	0,0495	0,165925065
5	0	0,05	0,354	0,0595	0,149393814
6	0	0,06	0,354	0,0695	0,132870724
7	0	0,07	0,354	0,0795	0,121244635
8	0	0,084	0,354	0,0935	0,0979708

Lp.	m1	m2	m3	m4	a1 [m/s^2]	a2 [m/s2]	a3 [m/s^2]	a4 [m/s^2]	a5 [m/s^2]	aśr [m/s^2]	odchylenie standardowe
1	0,05	0,084	0,404	0,0935	0,63728	0,625383	0,628214	0,62623	0,63188	0,629797	0,0048746
2	0,06	0,084	0,414	0,0935	0,661006	0,635572	0,674361	0,674361	0,66976	0,663012	0,01627969
3	0,07	0,084	0,424	0,0935	0,713333	0,683786	0,683891	0,683891	0,68458	0,689896	0,01310539

Zestawienie:

1. 0,630 +/- 0,005 m/s²

2. 0,663 +/- 0,016 m/s²

3. 0,69 +/- 0,01 m/s²

Lp.	m1	m2	m3	m4	T [N]
1	0,05	0,084	0,404	0,0935	0,124948706
2	0,06	0,084	0,414	0,0935	0,135346499
3	0,07	0,084	0,424	0,0935	0,148355981

Wnioski

Uwzględniając odchylenie standardowe wartość 9,81 m/s² mieści się w obliczonym zakresie:

9,72

+/- 0,08

co dowodzi prawidłowego przeprowadzenia pomiarów.

Jak widać z przedstawionych wyników wraz ze wzrostem obciążenia siła tarcia maleje. Dzieje się tak dlatego, że wartość składowej „S” (patrz rys 3) wzrasta wraz ze wzrostem masy wózka. Wzrost ten jest jednak nieznaczny do wzrostu przyspieszenia jakie jest wywołane wspólną masy wózka i przeciwwagi. W tym przypadku skorzystaliśmy z bilansu sił i nie uwzględniliśmy współczynnika chropowatości powierzchni. Z powodu na wysoką klasę dokładności urządzenia pomiarowego (interfejsu oraz komputera) błędy są znikome. Jedyny błąd mógł powstać przy obliczaniu średniej arytmetycznej przyspieszenia, błąd ten został obliczony z odchylenia standardowego. Wartość tego błędu została umieszczona w tabeli.