Piotr Wiśniewski 11.I.2003

Ćwiczenie 41

Temat: Wyznaczanie stałej Halla.

1. Tabela wyników :

I	1[A]	1.5[A]	1.8[A]
B	0,142 [T]	0,210 [T]	0,248 [T]

Pomiar bez pola magnetycznego:

I [mA]	U0 [V]
1	0,0014
2	0,0025
3	0,0037
4	0,0048
5	0,006
6	0,0072
7	0,0083
8	0,0093
9	0,0104
10	0,0116

Pomiary dla kolejnych natężeń pola magnetycznego:

I [mA]	I. UH [V]	II. UH [V]	III. UH [V]
1	0,036	0,057	0,0718
2	0,0715	0,115	0,1361
3	0,1062	0,1631	0,1995
4	0,1405	0,2135	0,261
5	0,1681	0,264	0,322
6	0,205	0,318	0,39
7	0,231	0,369	0,449
8	0,268	0,416	0,509
9	0,3	0,468	0,566
10	0,335	0,515	0,622
Dla B =	0,142 [T]	0,21 [T]	0,248 [T]

2. Teoria :

Jeżeli płytkę metaliczna, w której płynie stały prąd elektryczny, umieścimy w prostopadłym do niej polu magnetycznym, to między jej krawędziami równoległymi do prądu i pola powstaje różnica potencjałów U_H=ϕ₁-ϕ₂.

Zjawisko to zostało odkryte przez Halla i nosi nazwę efektu Halla lub zjawiska galwanomagnetycznego.

Efekt Halla można łatwo wyjaśnić na gruncie teorii elektronowej. W nieobecności pola magnetycznego prąd w płytce uzależniony jest od pola elektrycznegoE₀. Przez płytkę przepływa prąd I. Mechanizm przewodzenia polega na uporządkowanym ruchu ładunków elektrycznych e. Gdy liczba ładunków w jednostce objętości wynosi n, a prędkość średnia u to możemy zapisać równość postaci:

Powierzchnie ekwipotencjalne tego pola tworzą układ płaszczyzn prostopadłych do wektora E₀. Dwie z tych płaszczyzn przedstawione są na rysunku ciągłymi liniami prostymi. Potencjał we wszystkich punktach każdej z tych powierzchni, a wiec i w punktach 1 i 2 jest jednakowy. Nośniki prądu, czyli elektrony mają ładunek ujemny i dlatego prędkość u ich uporządkowanego ruchu jest skierowana przeciwnie do gęstości prądu j. Po włączeniu pola magnetycznego każdy nośnik znajduje się pod działaniem siły magnetycznej F, skierowanej wzdłuż b płytki i równej co do wartości F=euB.

W wyniku jej działania elektrony zyskują składową prędkości skierowaną do górnej (na rysunku krawędzi płytki. W pobliżu tej krawędzi powstaje nadmiar ładunków ujemnych i odpowiednio przy krawędzi dolnej nadmiar ładunków dodatnich; pojawia się dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne E_B. Gdy natężenie tego pola osiąga wartość, przy której jego działanie na ładunki równoważy siłę magnetyczna F, wtedy poprzeczny rozkład ładunków przechodzi w stan stacjonarny. Odpowiednia wartość E_B wynika z warunku:

.

Pole E_B sumuje się z polem E₀, dając pole wypadkowe E. Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora natężenia pola elektrycznego, muszą więc ulec obrotowi i zająć położenie przedstawione na rysunku linią przerywaną. Punkty 1 i 2, które poprzednio leżały na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej, mają teraz różne potencjały. Aby znaleźć napięcie między tymi punktami, należy pomnożyć odległość b między nimi przez natężenie E_B:

.

Po podstawieniu wzoru

Otrzymujemy

Wyrażenie

nosi nazwę stałej Halla. Pomiar napiecia U
i stałej Halla umożliwia wyznaczenie liczby nośników n oraz charakteru przewodnictwa.

.

W przypadku gdy stała Halla jest:

1. R_H<0 mamy do czynienia z przewodnictwem elektronowym

2. R_H>0 mamy do czynienia z przewodnictwem dziurowym.

- w słabym polu magnetycznym

lub

- w silnym polu magnetycznym

W przypadku równych koncentracji: n_e=n_d=n;

- niezależnie od pola
.

Wartości stałej Halla:

1. Dla półprzewodników R_H rzędu
   

2. Dla metali alkalicznych R_H<0 i rzędu
   

3. Dla około połowy metali R_H>0. Kwantowa teoria przewodnictwa metali wyjaśnia ten efekt przewodnictwem metali z „półswobodnymi” elektronami. Takie zjawisko obserwujemy przy znaczącym zapełnieniu pasma przewodnictwa (
   , gdzie N to liczba poziomów energetycznych).

4. Ferromagnetyki wykazują anomalne zjawisko Halla.

,

gdzie R₁ to anormalna stała Halla (zwykle R₁>>R_H), która silnie zależy od temperatury i oporności właściwej metalu.

Element półprzewodnikowy wykorzystujący efekt Halla nazywamy hallotronem. Właściwości hallotronów charakteryzują następujące parametry

• oporność właściwa
  

• stała Halla
  

• ruchliwość Halla
  , związana z tzw. kątem Halla:
  

Aparatura pomiarowa

Próbką pomiarową jest cienka warstwa metalu (np. bizmut). W czasie pomiaru płytkę tę umieszcza się w szczelinie elektromagnetycznej prostopadle do kierunku linii sił pola magnetycznego. Źródłem prądu I_p jest elektroniczny zasilacz prądu stałego Z. Napięcie Halla występujące między elektrodami V_H, mierzymy za pomocą miliamperomierza V (lub kompensatora). Czysty efekt uzyskuje się, gdy linia, na której leżą elektrody V_H jest dokładnie prostopadła do linii łączącej elektrody I_p. Na ogół elektrody V_H są nieznacznie przesunięte względem I_p. W takim przypadku po przyłożeniu do elektrod I_p napięcia, wzdłuż próbki wytwarza się spadek potencjału. Ten spadek napięcia równy jest wskazaniu woltomierza V, występującym po wyłączeniu prądu I_p, lecz w nieobecności pola magnetycznego
.

3. Obliczenia:

Dla I=1A → B=0,142T

I [mA]	UH [V]
1	0,036	4,87324E-05	1,28E+23
2	0,0715	4,85915E-05	1,28E+23
3	0,1062	4,81221E-05	1,30E+23
4	0,1405	4,77817E-05	1,31E+23
5	0,1681	4,5662E-05	1,37E+23
6	0,205	4,64319E-05	1,34E+23
7	0,231	4,48089E-05	1,39E+23
8	0,268	4,55458E-05	1,37E+23
9	0,3	4,53208E-05	1,38E+23
10	0,335	4,55493E-05	1,37E+23

Dla I=1,5A → B=0,210T

I [mA]	UH [V]
1	0,057	5,29524E-05	1,18E+23
2	0,115	5,35714E-05	1,17E+23
3	0,1631	5,06032E-05	1,23E+23
4	0,2135	4,96905E-05	1,26E+23
5	0,264	4,91429E-05	1,27E+23
6	0,318	4,93333E-05	1,27E+23
7	0,369	4,90748E-05	1,27E+23
8	0,416	4,84167E-05	1,29E+23
9	0,468	4,84233E-05	1,29E+23
10	0,515	4,79429E-05	1,30E+23

Dla I=1,8 → B=0,248T

I [mA]	UH [V]
1	0,0718	5,67742E-05	1,10E+23
2	0,1361	5,3871E-05	1,16E+23
3	0,1995	5,26344E-05	1,19E+23
4	0,261	5,16532E-05	1,21E+23
5	0,322	5,09677E-05	1,22E+23
6	0,39	5,14516E-05	1,21E+23
7	0,449	5,07719E-05	1,23E+23
8	0,509	5,0373E-05	1,24E+23
9	0,566	4,97849E-05	1,25E+23
10	0,622	4,92258E-05	1,27E+23

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

4. Analiza niepewności pomiarowych:

Niepewność pomiarową stałej Halla wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego (obliczoną stałą Halla bierzemy jako serie pomiarową)

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,0000027375	7,49399E-12
2	-0,0000025967	6,7427E-12
3	-0,0000021272	4,52493E-12
4	-0,0000017868	3,1927E-12
5	0,0000003329	1,10827E-13
6	-0,0000004370	1,9101E-13
7	0,0000011860	1,40666E-12
8	0,0000004491	2,01694E-13
9	0,0000006741	4,54363E-13
10	0,0000004456	1,98544E-13

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,0000038892	1,51257E-11
2	-0,0000045082	2,03241E-11
3	-0,0000015400	2,37151E-12
4	-0,0000006273	3,93471E-13
5	-0,0000000797	6,34471E-15
6	-0,0000002701	7,29701E-14
7	-0,0000000116	1,35175E-16
8	0,0000006465	4,1801E-13
9	0,0000006399	4,09501E-13
10	0,0000011203	1,25518E-12

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,0000060235	3,62821E-11
2	-0,0000031202	9,73586E-12
3	-0,0000018837	3,54823E-12
4	-0,0000009025	8,14493E-13
5	-0,0000002170	4,70928E-14
6	-0,0000007009	4,91232E-13
7	-0,0000000212	4,47587E-16
8	0,0000003777	1,42695E-13
9	0,0000009658	9,32744E-13
10	0,0000015249	2,3254E-12

.

Niepewność pomiarową liczby nośników n wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	5,82685E+21	3,39521E+43
2	5,45561E+21	2,97637E+43
3	4,20246E+21	1,76607E+43
4	3,27853E+21	1,07488E+43
5	-2,78531E+21	7,75796E+42
6	-5,1869E+20	2,69039E+41
7	-5,38773E+21	2,90276E+43
8	-3,13403E+21	9,82216E+42
9	-3,81425E+21	1,45485E+43
10	-3,12344E+21	9,75588E+42

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	7,33272E+21	5,37688E+43
2	8,69477E+21	7,5599E+43
3	1,86075E+21	3,46238E+42
4	-4,04744E+20	1,63818E+41
5	-1,80443E+21	3,25597E+42
6	-1,31406E+21	1,72675E+42
7	-1,98049E+21	3,92233E+42
8	-3,70937E+21	1,37594E+43
9	-3,69177E+21	1,36291E+43
10	-4,98338E+21	2,48341E+43

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	1,08625E+22	1,17994E+44
2	4,93787E+21	2,43826E+43
3	2,21594E+21	4,9104E+42
4	-3,6579E+19	1,33803E+39
5	-1,66172E+21	2,76131E+42
6	-5,10066E+20	2,60167E+41
7	-2,1341E+21	4,5544E+42
8	-3,1076E+21	9,65719E+42
9	-4,57111E+21	2,08951E+43
10	-5,99513E+21	3,59416E+43

.

Ostateczne wyniki:

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

4. Wnioski

Stała Halla w naszym doświadczeniu przyjmuje wartości dodatnie mamy więc do czynienia z przewodnictwem dziurowym (nośnikami prądu są ładunki dodatnie). Wartości stałej Halla i liczby nośników prądu dla poszczególnych pomiarów nie różnią w dużym stopniu (różnica jest około 0,00005). Niepewność pomiarowa stałej Halla i liczby nośników prądu są bardzo małe a powodem tych błędów jest prawdopodobnie błędny odczyt napięcia U_H podczas pierwszej serii, który doprowadził w efekcie do sporych odchyleń pomiędzy wartością średnią, a poszczególnymi wartościami stałej Halla w pierwszej serii.

1

---