SIATKA HYDRODYNAMICZNA

1. Wprowadzenie

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia przepływu filtracyjnego powinno być traktowane jako zadanie trójwymiarowe. Istnieje jednak wiele zagadnień w których przepływ można rozpatrywać jako dwuwymiarowy zakładając, że w pobliżu tego przekroju właściwości ośrodka gruntowego, geometria układu warstw, a więc i parametry przepływu są w przybliżeniu takie same. Wówczas przyjmuje się, że składowa prędkości filtracji, normalna do przekroju jest równa zeru. Jeżeli natomiast w zasięgu rozpatrywanego obszaru zmienia się układ warstw lub właściwości ośrodka gruntowego, wówczas można rozwiązywać zagadnienia w kilku przekrojach, przyjmując do obliczeń schemat dwuwymiarowy.

W przypadku płaskiego przepływu wód podziemnych równanie przepływu cieczy nieściśliwej przez ośrodek jednorodny i izotropowy ma postać:

gdzie:

Φ = - kH

k - współczynnik filtracji,

H - wysokość hydrauliczna.

Przy powyższych oznaczeniach składowe prędkości filtracji

Rozwiązaniem równania przepływu jest funkcja potencjału prędkości Φ(x, y). Przyrównując funkcję Φ do stałej C takiej, że

kH₂≤│C│≤kH₁

gdzie H₁ i H₂ są ekstremalnymi wysokościami hydraulicznymi na brzegach obszaru filtracji wywołującymi przepływ wody w rozpatrywanym obszarze, dostajemy równanie linii jednakowego potencjału C

Φ(x, y) = C

którą będziemy nazywać powierzchnią ekwipotencjalną.

Można udowodnić, że istnieje funkcja Ψ(x, y), dla której

tzn.

Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych

Φ(x, y) = const. i Ψ(x, y) = const.

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień przepływu wód podziemnych nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych

Ψ(x, y) = const.

przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu), które dla przepływu ustalonego pokrywają się z torami przepływających cząsteczek wody).

Różniczkując powyższe związki odpowiednio po

Odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się więc do rozwiązania równań różniczkowych:

W wyniku rozwiązania możemy określić siatkę hydrodynamiczną i obliczyć wszystkie wielkości związane z przepływem wód podziemnych jak np. wysokość hydrauliczną, prędkość filtracji wielkość przepływu wód, czas przepływu na zadanym odcinku drogi.

2. Graficzna metoda obliczeń natężenia objętościowego przepływu oraz czasu przepływu zanieczyszczeń na podstawie siatki hydrodynamicznej

Rozwiązanie powyższych równań można dokonać również na drodze graficznej, korzystając z właściwości siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od ręki, traktując tak uzyskany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się tak długo, aż spełni ona następujące warunki:

1. Linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne.

2. Każdy wycinek siatki (wycinek ograniczony sąsiadującymi powierzchniami ekwipotencjalnymi i liniami prądu) będzie „kwadratowy” tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych będzie taki sam.

Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysokości hydraulicznej w każdym kwadracie siatki będą miały taką samą wartość.

Bardzo ważną właściwością siatki hydrodynamicznej jest to, że przepływ przez dowolny wycinek siatki w obrębie tej samej wstęgi (strumienia - obszar między dwoma sąsiednimi liniami prądu) ma taką samą wielkość.

Dla płaskiego zagadnienia przepływu wód podziemnych możemy określić przepływ q_j na jednostkę szerokości s w i-tym wycinku siatki j-tego strumienia jako:

gdzie:

Q_j - przepływ w j-tym strumieniu,

s - odległość prostopadła do przyjętego przekroju, na której geometria przekroju i właściwości gruntu są niezmienne (szerokość strumienia),

F_j,i - pole powierzchni przekroju i-tego wycinka w j-tym strumieniu,

v_j,i - prędkość filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia

Zakładając przepływ jednostajny w poszczególnych wycinkach siatki, oraz przyjmując prawo Darcy otrzymujemy:

gdzie:

ΔH_j,i - strata wysokości hydraulicznej w i-tym wycinku j-tego strumienia,

l_j,i - długość drogi filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia,

b_j,i -średni rozstaw linii prądu w i-tym wycinku j-tego strumienia.

Stąd strata wysokości hydraulicznej na i-tym wycinku j-tego strumienia wynosi:

Całkowita strata wysokości hydraulicznej wzdłuż wszystkich wycinków danego strumienia wynosi:

Stąd można określić wydatek jednostkowy pojedynczego j-tego strumienia

Całkowity przepływ wyniesie zatem

W przypadku siatki kwadratowej mamy

i w związku z tym

Na podstawie przedstawionego rozwiązania można też określić czas przepływu wody t_j w poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy pojęcie średniej prędkości rzeczywistej (prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji zależnością:

Gdzie n oznacza współczynnik porowatości.

Czas przepływu wody w danym strumieniu t_j można określić

Gdzie l_j oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j-tego strumienia.

3. Opis badań

Celem ćwiczenia jest wykonanie obliczeń przepływu wód podziemnych na podstawie siatki hydrodynamicznej i porównanie uzyskanych w ten sposób wyników do wyników badań na modelu fizycznym. Geometrię modelu przedstawiono na rys. 1.

Konstrukcja siatki hydrodynamicznej będzie oparta na obserwacji linii prądu w modelu. W tym celu umieszcza się w nim piasek o znanym współczynniku filtracji oraz współczynniku porowatości. Następnie wywołuje się ustalony przepływ wody i wprowadza barwnik w kilku punktach na powierzchni wpływu wody do warstwy wodonośnej. Barwnik, rozpuszczając się w wodzie oraz płynąc razem z nią umożliwia zaznaczenie na ściance modelu przebieg linii prądu. Jednocześnie mierzy się czas przepływu barwnika przez grunt dla poszczególnych linii prądu. Ponadto mierzy się wydatek przepływającej wody.

Następnie linie prądu przenosi się w skali na rysunek (rys. 2) i wykreśla siatkę hydrodynamiczną. Mając siatkę hydrodynamiczną określa się wymiary poszczególnych wycinków l_j,i, oraz b_j,i (tab. 1) i oblicza się, wg wcześniej podanych wzorów, sumaryczny przepływ przez wszystkie strumienie (całkowity przepływ pod ścianką) oraz czas przepływu barwnika wzdłuż wybranego strumienia (obliczenia w tab. 1 wykonano, przy założeniu, że współczynnik filtracji k = 1,0·10^-2 cm/s i współczynniku porowatości n = 0,25). Wielkości te porównuje się z otrzymywanymi na modelu.

Rys. 1. Wymiary modelu do badania płaskiego przepływu wód podziemnych.

nr strumienia (M = 5)

linie ekwipotencjalne

nr wycinka w strumieniu (N = 9)

linie prądu naniesione na podstawie

obserwacji na modelu

Rys. 2. Siatka hydrodynamiczna - skala 1 : 5.

Tab. 1.

Nr wstęgi j	lj,i [cm] bj,i [cm] lj,i/bj,i [-] lj,i·bj,i [cm^2]	Nr wycinka w danej wstędze i									Suma	Przepływ Qj = s·qj w j-tym strumieniu [cm^3/s]	Czas przepływu tj w j-tym strumieniu [s]
				i = 1	i = 2	i = 3	i = 4	i = 5	i = 6	i = 7				i = 8	i = 9
	j = 1	l1,i	5,5	4,5	4,0	3,0	1,5	2,0	2,0	3,0	3,0			28,5	4,2	1241
		b1,i	8,5	6,0	5,0	3,5	1,8	2,5	3,0	3,5	3,5
		l1,i/b1,i	0,65	0,75	0,8	0,86	0,83	0,80	0,67	0,86	0,86			7,08
		l1,i·b1,i	46,75	27,0	20,0	10,5	2,7	5,0	6,0	10,5	10,5			138,95
	j = 2	l2,i
		b2,i
		l2,i/b2,i
		l2,i·b2,i
	j = 3	l3,i
		b3,i
		l3,i/b3,i
		l3,i·b3,i
	j = 4	l4,i
		b4,i
		l4,i/b4,i
		l4,i·b4,i
	j = 5	l5,i
		b5,i
		l5,i/b5,i
		l5,i·b5,i

Poniżej w tab. 2 porównano czas przepływu barwnika na modelu z obliczonym powyżej oraz całkowity przepływ wody.

7

---