REZONANS ELEKTRYCZNY

Ćwiczenie nr 25

Michał Urbański

1. Cel ćwiczenia

Zbadać zjawisko rezonansu dla układów L C: szeregowego i równoległego.

Sprawdzić czy równania teoretyczne opisujące krzywą rezonansową zgadzają się z doświadczeniem.

2. Teoria drgań harmonicznych wymuszonych.

Drgania harmoniczne są ruchem ciała, na które działa siła sprężysta F_s liniowo zależna od położenia, skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia sprężyny:

Oprócz siły sprężysta zawsze na drgające ciało działa siła tarcia powodująca rozpraszanie energii, zazwyczaj przyjmuje się, że siła tarcia ma charakter siły lepkości jest proporcjonalna do prędkości v i przeciwnie skierowana do kierunku ruchu:

W celu wyznaczenia zależności położenia od czasu musimy rozwiązać równanie Newtona:

F = ma

Gdzie F jest całkowitą siłą działającą na ciało o masie m. Siła ta jest sumą sił: sprężystej, tarcia oraz siły zewnętrznej wymuszającej ruch F_z:

dla drgań siła ta opisana jest funkcją okresową:

( A)

Silę wymuszającą wygodniej jest zapisać w postaci zespolonej:

(B)

gdzie: i - jednostka urojona (i²=-1), ω - częstość drgań ω= 2Πf, f - częstotliwość.

Równanie Newtona po podstawieniu wszystkich sił ma postać:

(C)

Rozwiązanie równania Newtona (dla siły wymuszającej w postaci (A) ) ma postać:

gdy wykorzystamy zespolony (z siłą wymuszająca w postaci równania (B):

(D)

Amplituda A jest liczbą zespoloną, której faza ϕ₀ oznacza przesunięcie fazowe a A_o jest amplitudą drgań. Po podstawieniu rozwiązania do równania (C) rozwiązania (D) otrzymujemy zależność amplitudy od częstotliwości wymuszenia.

[ D]

Równanie to opisuje krzywą rezonansową, która zostanie zmierzona doświadczalnie.

W ćwiczeniu badane są drgania elektryczne. Kształt krzywej rezonansowej nie zależy od typu drgań jest taki sam dla drgań elektrycznych jak i mechanicznych, jednak: w sprawozdaniu należy wyprowadzić wzory dla drgań elektrycznych, dla obu badanych układów.

3. Pomiary

Należy wykonać pomiary zależności od częstotliwości f:

1. napięcia U na układzie rezonansowym dla układu równoległego

2. prądu I (poprzez pomiar napięcia na rezystorze R=10Ω płynącego przez układ szeregowego.

3. napięcia U_L na indukcyjności dla układu szeregowego, oraz przesunięcia fazowego w funkcji częstotliwości.

UWAGA !!!!! Zapisać:

• dane dotyczące przyrządów pomiarowych, ich klasę i typ,

• dane dotyczące elementów obwodu,

• rezystancje wyjściową generatora

• zmierzyć napięcie generatora.

Wszystkie pomiary wykonać przy jednym ustawieniu napięcia generatora.

4. Układy pomiarowe

Układ rezonansu szeregowego

Układ rezonansu równoległego

Układ obserwacji zjawiska przepięcia

5. Opracowanie wyników pomiarów

3.1. Wykreślić napięcie U od częstotliwości f dla układu równoległego razem z wykresem zależności wyliczonej teoretycznie z danych elementów obwodu.

3.3. Wykreślić dla układu szeregowego zależność prądu I od częstotliwości f i nanieść wykres otrzymany na podstawie teorii i danych dotyczących R ,L, C, rezystorów i generatora.

3.5. Wykreślić zależność napięcia od częstotliwości na indukcyjności dla układu szeregowego i wyjaśnić zjawisko przepięcia. Wykreśl zależność przesunięcia fazy od częstotliwości i porównaj z zależnością teoretyczną (na jednym wykresie).

3.6. Wyznaczyć dobroć układu i częstotliwość rezonansową na podstawie danych doświadczalnych i porównać z wyliczonymi teoretycznie na podstawie danych L, C, R_L.

Dobroć wyliczyć zarówno z szerokości połówkowej jak i przepięcia.

3.5. Umówić przyczyny odstępstw teorii od doświadczenia, przeprowadzić analizę błędów.

3.6. Umieścić wyprowadzenie wzorów teoretycznych napięcia i prądu od częstotliwości odpowiednio dla układu równoległego i szeregowego. Napisać definicje dobroci i wyprowadzić wzór na obliczanie dobroci z danych obwodu (rezystancji cewki i indukcyjności) oraz na podstawie pomiarów przepięcia.

6. Wyprowadzenie wzorów na prąd w układzie szeregowym

Impedancja układu szeregowego jest suma impedancji kondensatora, indukcyjności i rezystora:

gdzie: ω - częstość,
, f - częstotliwość, i - jednostka urojona, R- suma rezystancji cewki R_L , rezystancji generatora R_G, i rezystancji opornika R=10Ω.

Impedancja zapisana jest w postaci liczby zespolonej, w tym opisie prąd i napięcie są opisane liczbami zespolonymi, w których funkcje sin(ωt) i cos(ωt) zastąpione są funkcją wykładniczą e^iωt.

Natężenie prądu płynącego przez obwód rezonansowy wynosi:

Gdzie: ,U_G - napięcie generatora i Z jest wartością bezwzględna impedancji:

po podstawieniu otrzymujemy wzór o postaci analogicznej do wzoru (E):

7. Pytania kontrolne:

1. Podaj definicję drgań harmonicznych i warunki ich generowania (w jakich układach fizycznych powstają drgania harmoniczne)

2. Napisz równanie Newtona opisujące oscylator harmoniczny tłumiony z siłą zewnętrzną wymuszająca drgania o częstości ω.

3. Napisz równanie opisujące drgania harmoniczne, co to jest amplituda, faza, częstotliwość?

4. Podaj definicję dobroci i sposób jej pomiaru na podstawie przepięcia i połówkowej szerokości rezonansowej.

8. Literatura:

1. Crawford F.C., Fale

2. Piekara A., Elektryczność i magnetyzm.

3. Bobrowski Fizyka.

C

L

Gen

R_L

R=10Ω

Woltomierz

R=1MΩ

Woltomierz

C

L

Gen

R_L

Gen

Woltomierz

z

C

L

R_L

---