Zadania dla Studentów Informatyki Wydziału FTIMS

(Studia Wieczorowe i Zaoczne)

Objaśnienia

Wielkości wektorowe oznaczono pogrubioną czcionką; np. wektor prędkości v.

1. Kinematyka

1.1

Punkt materialny porusza się tak, że:

r = Ati - Bt²j (A,B - stałe)

Określić:

1. równanie toru,

2. prędkość liniową v i jej moduł,

3. przyspieszenie liniowe i jego moduł,

4. kąt pomiędzy prędkością i przyspieszeniem w funkcji czasu.

1.2

Punkt materialny został wrzucony pod pewnym kątem z prędkością początkową v₀. Zaniedbując opór powietrza określić:

1. promień wodzący w funkcji czasu r_(t)

2. wektor prędkości średniej v_śr w pierwszych t₀ sekundach ruchu.

1.3

Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie x0y tak, że:

r = i A cosωt + j B sinωt (A, B, ω - stałe)

Pokazać, że:

1. punkt porusza się po elipsie,

2. siła działająca na punkt w każdym przypadku jest skierowana do środka układu wzdłuż promienia.

1.4

Cząstka porusza się w płaszczyźnie x0y z prędkością:

v = A i + B x j (A,B - stałe)

Dla t = 0 cząstka znajduje się w punkcie x = y = 0.

Określić:

1. równanie toru,

2. promień krzywizny toru w funkcji współrzędnej x.

1.5

Punkt materialny porusza się tak, że:

x	=	b	(ct + e^-ct)	(b,c - stałe)
						c^2

Znaleźć:

1. prędkość początkową,

2. maksymalną wartość prędkości,

3. maksymalne przyspieszenie.

1.6

Z pewnej wysokości wyrzucono ciało w kierunku poziomym nadając mu prędkość v₀. Określić promień krzywizny toru w funkcji czasu.

1.7

Punkt porusza się po okręgu z szybkością v = At (A = stała) Obliczyć przyspieszenie wypadkowe w chwili gdy ciało przebywa okrąg począwszy od początku ruchu.

1.8

Punkt porusza się w płaszczyźnie z a_s = A i a_n = Bt⁴ (A, B - stałe). Dla t = 0 punkt znajduje się w położeniu równowagi. Określić w funkcji drogi s promień krzywizny r oraz przyspieszenie a.

1.9

Zależność przebytej drogi przez punkt dana jest w postaci:

s = A - Bt - Ct² (A, B, C - stałe).

Znaleźć:

1. prędkości i przyspieszenie średnie w przedziale czasu (0, t₀),

2. prędkość chwilową i przyspieszenie chwilowe.

Punkt porusza się (1) po prostej, (2) po okręgu o promieniu r.

1.10

Ciało obraca się wokół stałej osi zgodnie z równaniem:

φ = At - Bt³ (A, B - stałe).

Znaleźć:

1. średnią prędkość kątową,

2. prędkość kątową chwilową,

3. przyspieszenie kątowe średnie,

4. przyspieszenie kątowe chwilowe,

5. przyspieszenie kątowe dla chwili gdy ciało zatrzymuje się.

2. Dynamika ruchu postępowego, siły bezwładności

2.1

A B

C

F

k

Jaką siłą F0 wyodrębniony w myśli odcinek pręta AB = 4/5 działa na odcinek BC. m - masa k - współczynnik tarcia

2.2

m₁

m₂

m₃

k

m₄

Dla układu przedstawionego na rysunku znaleźć: przyspieszenie układu, naprężenia wszystkich nici. k - współczynnik tarcia Masę bloczka pominąć

2.3

Znaleźć kąt odchylenia nici oraz jej naciąg.

Zadanie rozwiązać:

1. w układzie inercjalnym,

2. w układzie nieinercjalnym.

a - przyspieszenie układu

2.4

Znaleźć nachylenie cieczy w stosunku
do poziomu.

a - przyspieszenie układu

2.5

Po poziomej powierzchni placu jedzie rowerzysta wzdłuż łuku o promieniu r. Pod jakim kątem powinien być nachylony, jeżeli jego szybkość wynosi v? Jaki musi być minimalny współczynnik tarcia k aby mogło to zajść?

2.6

Do dynamometru zawieszonego w windzie przymocowano ciężar o masie m. Winda wznosi się do góry. Znaleźć przyspieszenie, zakładając, że jest ono co do wartości bezwzględnej jednakowe dla startu i hamowania, jeżeli wiadomo, że wskazanie dynamometru podczas startu jest o ΔN większe niż podczas hamowania.

2.7

Oblicz siłę jaką samochód o masie m naciska na jezdnię w następujących przypadkach:

1. jezdnia jest pozioma,

2. jezdnia jest wypukła o promieniu r,

3. jezdnia jest wklęsła o promieniu r.

v - prędkość samochodu.

2.8

Winda porusza się w górę z przyspieszeniem a. Znaleźć przyspieszenie względem windy aw mas m1 i m2 oraz naciągi nici. Masy bloczka i linki nie uwzględniać.

2.9

m₂

m₁

Obliczyć wartość poziomej siły F, jeżeli masa m1 porusza się z przyspieszeniem a. k - współczynnik tarcia między m1 i m2 Masę bloczka pominąć

2.10

Z jakim przyspieszeniem będzie przesuwał się klin po powierzchni stołu? Tarcia między ciałem i klinem oraz między klinem i stołem nie uwzględniamy. Jakie będzie przyspieszenie masy m względem klina?

2.11

Jaki powinien być współczynnik tarcia k aby ciało wznosiło się wzdłuż równi z przyspieszeniem względnym aw: do góry, do dołu. a - przyspieszenie równi

3. Ruch obrotowy

3.1

Rozwiązać zadanie 2.2, 2.8 i 2.9 uwzględniając masę bloczka m. r - promień bloczka

3.2

Znaleźć moment bezwładności krążka oraz naciągi nici, jeżeli wiadomo, że ciężar opuszcza się z przyspieszeniem a.

3.3

Jaką drogę przebędzie ciało po równi pochyłej w ciągu czasu t0. Ruch zaczyna się od stanu spoczynku. k - współczynnik tarcia

3.4

W którą stronę odchyli się belka wagi, gdy zluzujemy hamulec bloczka? Jak można ponownie zrównoważyć wagę (podczas ruchu ciężarków)? Niech m1>m2.

3.5

Po równi pochyłej, tworzącej kąt φ z poziomem, stacza się bez poślizgu pełny, jednorodny krążek. Znaleźć przyspieszenie środka krążka oraz siłę tarcia. Znaleźć warunek jaki musi spełniać kąt φ aby ruch odbywał się bez poślizgu.

3.6

Jaka drogę przebędzie toczący się bez poślizgu walec, wznoszący się w górę po równi pochyłej o kącie nachylenia φ, v₀ - prędkość początkowa walca wzdłuż równi. Odpowiedzieć również na pytania zadania 3.5.

3.7

Szpula toczy się bez poślizgu po poziomej powierzchni. Określić siłę tarcia oraz przyspieszenie w zależności od ułożenia nici (kąt φ). I0 - moment bezwładności szpuli, m - jej masa.

3.8

Pełny walec o masie m porusza się, bez poślizgu, po dwóch poziomych szynach. Określić wartość maksymalną siły Fm, dla której jest to jeszcze możliwe. Z jakim przyspieszeniem porusza się w tych warunkach walec? k - współczynnik tarcia.

3.9

Znaleźć przyspieszenie punktu C. m1 - masa walca m2 - masa podstawy Tarcie zaniedbać

3.10

Znaleźć przyspieszenie mas m1 i m2 oraz naciągi nici. Tarcie zaniedbać.

3.11

Określić naciągi nici oraz przyspieszenia mas dla układów:

3.12

Szpula jest ciągnięta z przyspieszeniem a. Przy jakim współczynniku tarcia k będzie się ślizgać nie obracając się? m - masa I0 - moment bezwładności

3.13

Jak należy uderzyć kijem, aby nie odczuć uderzenia w ręce?

m - masa kija

l - długość kija

3.14

Jednorodny walec (m, r) wirujący z prędkością kątową ω₀ położono na płaskiej poziomej powierzchni i pozostawiono własnemu losowi. Walec zaczął poruszać się po płaszczyźnie wskutek działania tarcia kinetycznego. Po jakim czasie t₀ ruch walca po płaszczyźnie zacznie odbywać się bez poślizgu?

k - współczynnik tarcia

3.15

Znaleźć prędkość kątową ruchu precesyjnego ω_p bąka.

m - masa bąka

ω - prędkość kątowa bąka

4. Praca, energia, moc

4.1

Z piwnicy o powierzchni S trzeba wypompować wodę na jezdnię. Obliczyć wykonana pracę.

4.1

Stora okienna o ciężarze P i długości l nawijana jest na walec u góry okna. Jaką wykonano pracę?

4.2

Jaką energię kinetyczną miało ciało o masie m, jeżeli podniosło się ono wzdłuż równi pochyłej o kącie nachylenia φ na wysokość h?

k - współczynnik tarcia

4.3

Znaleźć chwilową moc wyzwalaną przez siłę ciężkości w funkcji czasu przy spadku swobodnym. Jaka będzie moc średnia w czasie t₀?

4.4

Ciężar o masie m wznosi się wzdłuż równi pochyłej o kącie nachylenia φ pod działaniem siły F tworzącej kąt β z kierunkiem przesunięcia. Na jaką odległość przesunie się ciężar wzdłuż równi pochyłej do chwili gdy jej szybkość osiągnie wartość v (v₀ = 0)?

k - współczynnik tarcia

5. Zasady zachowania energii, pędu, momentu pędu

5.1

Jaką pracę należy wykonać aby przewrócić sześcian o masie m i boku a?

5.2

Jaką szybkość będzie miał środek walca względem równi u jej podstawy? m - masa walce, r - jego promień; ruch bez poślizgu Walec porusza się bez poślizgu

5.3

Zderzenia doskonale sprężyste (centralne). Przypadek ogólny. m₁, m₂ - masy, v₁, v₂ - prędkości kul przed zderzeniem. Znaleźć u₁ i u₂ - prędkości po zderzeniu. Rozpatrzeć przypadki szczególne.

5.4

Dwie kule biegną ku sobie (m₁, m₂). Zderzenie jest doskonale niesprężyste. Energia kinetyczna kuli o masie m₁ jest 20 razy większa od drugiej. Jaki warunek musi być spełniony, aby kule po zderzeniu poruszały się w kierunku kuli o mniejszej energii (m₂)?

5.5

Ciało o masie m₁ zderza się doskonale niesprężyście z ciałem o masie m₂ (centralnie). Znaleźć część straconej przy tym energii kinetycznej. Ciało m₂ przed zderzeniem było w spoczynku.

5.6

Dwie kule zawieszono na cienkich równoległych niciach tej samej długości tak, że stykały się ze sobą. Mniejszą z nich odchylono od poziomu zawieszenia i puszczono swobodnie. Po zderzeniu kule wzniosły się na jednakową wysokość. Znaleźć masę mniejszej kuli m₁, gdy większej wynosi m₂ (zderzenie doskonale sprężyste).

5.7

Znaleźć pęd p, który otrzymuje ściana przy sprężystym zderzeniu ciała o masie m, jeżeli jego prędkość tworzy z prostopadłą do ściany kąt φ.

5.8

Łódź o masie M wraz ze znajdującym się w niej człowiekiem o masie m pozostaje w spoczynku na spokojnej wodzie. Człowiek przechodzi z jednego końca łodzi na drugi z prędkością v_w względem łodzi. Z jaką prędkością v₁ będzie poruszał się względem wody, a z jaką prędkością v₂ - łódka? Jaką drogę przebędzie łódka (l - jej długość)?

5.9

Jaką prędkość uzyska klin? Tarcie zaniedbać.

5.10

Toczący się walec zatrzymuje się po czasie t₀ przebywając drogę s. Znaleźć współczynnik tarcia przy toczeniu k.

r - promień walca

T_t = (kN)/r - prawo Coulomba (N - siła nacisku)

5.11

Krążek zaczyna spadać bez poślizgu. Obliczyć kąt między O'O a kierunkiem pionu w momencie oderwania się krążka od stołu. Z jaką prędkością kątową będzie obracał się wtedy krążek.

5.12

Jednorodna kula o promieniu r toczy się bez poślizgu z wierzchołka sfery o promieniu R. Określić prędkość kątową kuli w momencie oderwania się od sfery. Prędkość początkowa kuli równa się 0. Rozwiązać to zadanie również dla przypadku braku siły tarcia.

5.13

Jednorodny walec toczy się bez poślizgu. Określić maksymalną prędkość vm przy jakiej walec będzie poruszał się bez poślizgu po powierzchni nachylonej.

5.14

Kula stacza się bez poślizgu z równi pochyłej i zderza się z płaszczyzną poziomą doskonale sprężyście. Znaleźć drogę s. I0 = (2/5) mr^2 - moment bezwładności kuli

5.15

Na brzegu dużej, swobodnie obracającej się poziomej tarczy o promieniu R i momencie bezwładności I₀ stoi człowiek (masa punktowa) o masie m, f - częstość obrotów tarczy. Jakiej zmianie ulegnie prędkość kątowa gdy człowiek przejdzie na środek tarczy. Kto wykonał pracę i jaką?

5.16

Jednorodny krążek o masie M i promieniu R obraca się ze stałą prędkością kątową ω₁. W pewnym momencie od brzegu krążka odłamuje się mały kawałek o masie m odlatując pionowo do góry od miejsca, w którym się odłamał.

1. Jaka będzie prędkość uszkodzonego krążka?

2. Jak wysoko wzniesie się odłamany kawałek krążka?

5.17

Z jaką prędkością kątową obraca się tarcza, gdy człowiek idzie po okręgu współśrodkowym o promieniu r z prędkością względem tarczy v_w?

M - masa tarczy, R - jej promień, m - masa człowieka

5.18

Jednorodna, cienka płyta kwadratowa o masie M może swobodnie obracać się dookoła osi pionowej. W punkcie A prostopadle do płytki w odległości l od osi uderza kulka o masie m poruszająca się z prędkością v. Zbadać jak będą poruszały się kula i płytka po tym zderzeniu. Rozważyć: zderzenie doskonale sprężyste zderzenie doskonale niesprężyste kula po zderzeniu wytraca swą prędkość i spada.

5.19

W punkcie A kula prostopadle zderza się z płytą. Jaka była prędkość kuli jeżeli płyta odchyliła się o kąt φ. Rozpatrzeć przypadki zadania 5.18. M - masa płyty m - masa kuli OO' - osie obrotu I = (Ml^2)/3 (moment bezwładności względem osi OO')

Zadania dla Studentów Informatyki Wydziału FTIMS (Studia Wieczorowe i Zaoczne)

10

a

m

a

m₁

m₂

m₂ > m₁

a

F

m

M

φ

φ

m

a

m₂

m₁

2r

m, r

m₂

k

φ

m_, 2r

φ

m₂

m₁

2r

2R

F

F

2r

m₁

m₂

F

C

m₃

F

m₂

m₁

2r

2r

m

m₁

2r

m₂

m₂

m₁

2r₁

2r₂

2r₂

m₂

m₁

2r₁

m₂>m₁

2r

2R

m₁

m₂

I₀ - moment bezwładności

a

2R

2r

a

h

s

φ

M

h

m, v

o

o'

m - masa

r - promień

m, r

φ

h

s

φ

O

O'

A

O

O'

A

a

l

---