Co to jest napręż. w świetle kin.teor. mat? Gęstość rozkładu sił powierzchniow. określona wielkością pN nazywamy wektorem naprężenia. pN=pXnX+pYnY+pZnZ. pN = Pn, gdzie: pXX pYX pZX P = pXY pYY pZY jest tensorem naprężenia. pXZ pYZ pZZ n = nXi + nYj + nZk - wektor normalny Co to jest linia prądu? Jeżeli symbolem ∂s = ∂xi + ∂yj + ∂zk oznaczamy element łuku lini prądu to warunek styczności z wektorem U zapiszemy w postaci iloczynu wektorowego: ∂s x u = 0 Czym różni się deformacja od pręd. deform. Deformacja-składa się z wydłużeń odcinków, zmian kątów.D0-tensor prędkości deformacji. U=U0+D0δr+^1/2rotU0 ^xδr. Składowe prędkości elementu płynu wynikające z prędkości deformacji zostały określone przez iloczyn tensora pr.deform. od odległości od bieguna δr. Składowe tensora D, określają dwojakiego rodz.prędkość deformacji:-prędkość deform.liniowej i kątowej. Prawo zachownia pędu. Zmiana pędu w czasie w objętości kontrolnej jest równa adwekcyjnemu strumieniowi pędu przez powierzchnię kontrolną oraz sumie sił masowych i powierzchniowych działających na objętość. Prawo zachowania energii Zmama całkowitej energii kinetycznej w czasie w objętości kontrolnej jest równa adwekcyjnemu strumieniowi energii przez powierzchnię kontrolną, mocy sił masowych, mocy sił powierzchniow. oraz względnemu strumieniowi energii przez powierzchnię kontr. Charakteryst. równania zachowania masy. Jeżeli zamiast funkcji F(r,t) podstawiamy ρ(r,t) to całka τ(s)∫Fdτ będzie określała miarę zawartą w objętości τ(s) m= τs∫ρdτ. Jeżeli te same elementy płynu zajmują ciągle objętość płynną τ, to m zawarta w tej objętości jest niezmienna w czasie d/dtł(S) ρdł=0. Wykorzystując równość mamy d/dtł(S) ρdł=ł(S) (dρ/dt+ρdivU)dł=0. To funkcja podcałkowa ma być równa zero dρ/dt+ρdivU=0 Charakteryst. równania zachowania pędu. ∑FM= V∫gfdV f=1/ρ(dFM/dV) dFM=fdV ∑FP=pndS δ(ρu)/δt + div(ρu ^xu) = ρf + div[P] ρDu/Dt=ρf + div[P] - r.r.z.p.[P] = pNX + pNY + pNZ dV-element objętości; ρdV - element masy; uρdV - element pędu; ∫ρudV - pęd w objętości; δ/δt∫ρudV - zmiana pędu w czasie P-tensor napręż, f-gęst. rozkładu sił masowych,ρ-gęst.subst.,u-prędk. Subst Co mówi hipoteza Newtona? Możn astwierdzić, iż zawsze ruch chaotyczny molekuł jest przyczyną istnienia naprężenia stycznego. Lepkość jest więc cechą nieodłączną płynu, wynikającą z molekularnej struktury. Istotą tego modelu okeżla relacja Pni=Pyx=μδux/δy. W przypadku pola prędkości zmiennego w trzech kierunkach zamiast relacji w/w przyjmuje się relację pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem prędkości deformacji. Relacja ta jest istotą hipotezy Newtona i ma postać P=aE+bD, gdzie a i b są nieznanymi współczynnikami, które dla płynów izotropowych mają charakter skalarny, E - jest tensorem jednostkowym. P = -(p+^2/3 μdivu)E +2μD Podstawowe niewiadome w mech.płynów. (μ, p, ρ, T) Ruch płynu charakteryzują 2 wielkości fizyczne: -zmienne zależne będące funkcjami czasu i współrzędnych przestrzennych;- zmienne niezależne które są rozwiązaniami układu równań. Stałe parametry (ρ, μ, f-gęstość rozkładu sił masowych). Definicja liczby Froude'a. Jest to liczba wyrażająca stosunek 2 sił - siły bezwładności do siły masowej. Nazywamy ją też stosunkiem 2 prędkości. Fr=u^2/fl; Fr=(ρu^2/l)/(ρf) Definicja liczby Reynoldsa. Jest to liczba bezwymiarowa. Jest to stosunek sił bezwładności do sił lepkości. Re =ρul/μ = (ρu^2/l)/( μu/l^2)

12A.Zdefiniować funkcję prądu. Funkcja zachowująca stałość wzdłuż linii prądu dϕ=0. Dla przepływu płaskiego: uX = uX (x,y); uY = uY (x,y); uZ = 0 . Jeżeli ruch jest bezwirowy to składowa rotacji jest równa zero δuX/δy - δuY/δx = 0 - warunek bezwirowości. Dla przepływu nieściśliwego równainie zachowania masy ma postać δuX/δx+δuY/δy=0 To równanie dopuszcza istnienie funkcji ψ(x,y) zwanej funkcją prądu, która spełnia to równanie jeżeli: uX = δψ/δy ; uY = - δψ/δx. Podstawiając te zależności do warunku bezwirowości otrzymamy równanie Laplace'a: δ^2ψ/δx^2 + δ^2ψ/δy^2 = 0 Δψ = 0 12B.Równania Eulera a Naviera-Stokena. Eulera: ρdu/dt = ρf - gradp p-ciśn., ρ - gęstość. N-S:ρdu/dt = ρf - gradp + μΔu Równania Eulera są szczególnym przypadkiem N-S dla μ = 0. Ale wraz z niezerowym współ. lepkości wzrasta rząd równań. Równania dla płynów lepkich są rzędu drugiego. Oznacza to konieczność dodatkowego sformuowania warunków brzegowych dla równania Eulera. Tym dodatkowym warunkiem jest przyleganie elementów płynu do ścianek opływanych ciał. uS = uC zamiast zerowania się tylko składowej normalnej dla płynu nielepkiego. 13B.Płaski ruch potencjalny - definicja. Ruch płaski, gdy wektor prędkości posiada 2 składowe: u = uX(x,y)i + uY(x,y)j Ruch potencjalny: u = gradϕ = (δϕ/δx)i + (δϕ/δy)j + (δϕ/δz)k Suma tych dwóch ruchów to pł. ruch potencj. 14A.Własności tójmianu Bernouliego? 1) grad E = u ^xrotu mnożymy skalarnie przez wektor jednostkowy styczny do linii prądu lS grad E^.lS = dE/ds = 0 bo (u ^xrotu)^.lS = 0 tzn E=const. na linii prądu. 2) mnożymy skalarnie przez wektor jednostkowy styczny do linii wirowej lW grad E^.lW = dE/dw = 0 E=const.wzdłuż l.prądu 3) Jeżeli przepływ jest śrubowy (rotu = λu) to u ^xrotu = u ^x λu Stąd grad E = 0 i E=cont na całej przestrzeni objętej przepływem. 4) Jeżeli przepływ jest bezwirowy rotu=0 to również grad E = 0 i E=const również w całej przestrzeni. 5) Dla u = 0, co odpowiada sytuacji hydrostatycznej, także E = P + π =const w całej przestrzeni. 14B.Założenia równania Bernouliego. 1) płyn jest nielepki (μ=0); 2) przepływ jest stacjonarny (δ/δt=0); 3) pole sił masowych ma potencjał π(f= -gradπ); 4)płyn jest barotropowy - gęstość zmienia się funkcji ciśnienia ρ=ρ(p)

---