POLITECHNIKA KRAKOWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Automatyka i Robotyka

Kaliszan Bartosz Gr 311c Rok Akad. 2006/2007

Projekt

z

Dynamiki Układów Automatyki

Drgania poprzeczne belki

Obliczenia metodą ścisłą i metodą Ritza

I Rysunek schematyczny liczonej belki:

II Obliczenie powierzchni i momentu bezwładności przekroju belki

Środek ciężkości wyznaczam z zależności:

Gdzie F jest polem przekroju poprzecznego belki, a S_y statycznym momentem bezwładności przekroju względem wybranej osi y

Obliczam moment bezwładności przekroju względem y_s

III Dane:

IV Obliczenia metodą ścisłą:

warunki brzegowe:

(1)

(2)

(3)

(4)

Z warunku (1):

Z warunku (2):

Z warunku (3):

Z warunku (4):

Na podstawie wyliczonych równań tworzę macierz. Jej wyznacznik musi być równy zero:

Obliczam wyznacznik:

Po wstawieniu danych rozwiązuję ze względu na k:

Stąd rozwiązania wynoszą [rad/s]:

V Obliczenia metodą Ritza:

Dobrana funkcja aproksymująca musi spełniać warunek nie zerowania się tożsamościowego dla x=0 i x=l oraz zerowania się pierwszej jej pochodnej w punkcie x=0 i niezerowania tożsamościowego w x=l.

Energia kinetyczna belki:

Energia potencjalna belki:

Przy:

Stąd (przy podstawieniu funkcji aproksymującej i z=ω²):

Zapisuję macierz:

Jej wyznacznik musi się zerować:

Po podstawieniu danych rozwiązuję ze względu na z:

Wtedy dwie pierwsze częstości własne wynoszą [rad/s]:

---