1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest praktyczne sprawdzenie wiedzy na temat popularnych metod rozwiązywania zagadnień początkowych równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych. Porównanie przydatności poszczególnych metod do rozwiązywania specyficznych zagadnień. Zaznajomienie z metodami automatycznej zmiany długości kroku.

2. Dane równania różniczkowe wraz z warunkami początkowymi:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

Dla równania d) zostały przyjęte następujące wartości stałych:

C=2, A=3, które przyjęto w obliczeniach.

3. Obliczenia i wykresy dla metod stało-krokowych:

1. metoda jawna Eulera - I-ego rzędu

2. metoda Rungego - II-ego rzędu

3. metoda Heuna - III-ego rzędu

4. metoda Rungego-Kutta - IV-ego rzędu

• dla równania I-ego

• dla równania II-ego

• dla III-ego równania

• dla IV równania

Obliczenia dla przykładu a)

Krok	Maksymalny błąd bezwzględny
		Metoda
		Euler	Runge	Heun	Runge-Kutty
0,2	0,6648	0,0552	0,0028	2,2721*10^-4
0,1	0,3348	0,0136	3,3945*10^-4	1,4278*10^-5
0,05	0,1660	0,0034	4,2290*10^-5	8,9127*10^-7
0,025	0,0826	8,4993*10^-4	5,2874*10^-6	5,5758*10^-8
0,0125	0,0412	2,1257*10^-4	6,6034*10^-7	3,4843*10^-9
0,00625	0,0206	5,3140*10^-5	8,2525*10^-8	2,1777*10^-10

Obliczenia dla przykładu b)

Krok	Maksymalny błąd bezwzględny
		Metoda
		Euler	Runge	Heun	Runge-Kutty
0,2	0,1034	0,0033	3,7317*10^-5	1,1069*10^-6
0,1	0,0508	8,3322*10^-4	4,6448*10^-6	6,9435*10^-8
0,05	0,0252	2,0826*10^-4	5,7956*10^-7	4,3387*10^-9
0,025	0,0126	5,2081*10^-5	7,2399*10^-8	2,7125*10^-10
0,0125	0,0063	1,3021*10^-5	9,0460*10^-9	1,6953*10^-11
0,00625	0,0031	3,2552*10^-6	1,1305*10^-9	1,0602*10^-12

Obliczenia dla przykładu c)

Krok	Maksymalny błąd bezwzględny
		Metoda
		Euler	Runge	Heun	Runge-Kutty
0,2	0,0478	8,0866*10^-4	1,8331*10^-5	2,2516*10^-7
0,1	0,0235	2,0217*10^-4	2,2796*10^-6	1,4461*10^-8
0,05	0,0116	5,0542*10^-5	2,8459*10^-7	9,0985*10^-10
0,025	0,0058	1,2636*10^-5	3,5563*10^-8	5,7066*10^-11
0,0125	0,0029	3,1589*10^-6	4,4451*10^-9	3,5680*10^-12
0,00625	0,0014	7,8973*10^-7	5,5563*10^-10	2,2327*10^-13

Obliczenia dla przykładu d)

Krok	Maksymalny błąd bezwzględny
		Metoda
		Euler	Runge	Heun	Runge-Kutty
0,2	0,2274	0,0309	0,0028	2,8922*10^-4
0,1	0,1053	0,0067	3,0374*10^-4	1,5673*10^-5
0,05	0,0508	0,0016	3,5432*10^-5	9,1184*10^-7
0,025	0,0250	3,8061*10^-4	4,2809*10^-6	5,4979*10^-8
0,0125	0,0124	9,3567*10^-5	5,2591*10^-7	3,3750*10^-9
0,00625	0,0062	2,3197*10^-5	6,5171*10^-8	2,0905*10^-10

4. Wnioski

Analizując otrzymane wyniki obliczeń oraz wykresy błędów można stwierdzić, że wraz ze wzrostem rzędu metody, błąd bezwzględny rozwiązania równania różniczkowego maleje, czyli spośród czterech powyższych metod (met. jawna Eulera, met. Rungego, met. Heuna oraz met. Rungego-Kutty) najbardziej dokłane rozwiązanie równania różniczkowego uzyskuje się stosując metodę Rungego-Kutty, natomiast najmniej dokładne rozwiązanie uzyskamy stosując metodę jawną Eulera. Duże znaczenie ma również przyjęta długość kroku w stosowanych metodach. Z powyższych wykresów wynika, że dokładniejsze rozwiązania uzyskać można przy małej długości kroku (wraz ze zmniejszaniem się długości kroku, maleje błąd bezwzględny rozwiązania równania różniczkowego). Powyżej zamieszczono tabele przedstawiające zalezność wartości maksymalnej błędu bezwzględnego rozwiązania równania różniczkowego od długości kroku dla każdej z metod. Można zauwazyć, że wartość ta maleje wraz ze zmniejszaniem się długości kroku.

9

---