Statystyka. Wykład czwarty. Miary asymetrii i koncentracji.

Miary asymetrii

1. Miary asymetrii

1. asymetria rozkładu- określana przez porównywanie x_A, Me i D:

• jeżeli x_A=Me=D - szereg symetryczny.

• jeżeli x_A>Me>D - rozkład o asymetrii prawostronnej (dominacja wyników niskich)

• jeżeli x_A<Me<D - rozkład o asymetrii lewostronnej (dominacja wyników wysokich)

2. rozkłady symetryczne - to takie, w których obserwacje rozłożone są równomiernie po obu stronach osi symetrii, np. względem średniej, mediany, dominanty.

3. rozkłady asymetryczne -

• I - większość obserwacji znajduje się w przedziałach położonych bliżej początku szeregu, większość cech ma wartości i niskich nominałach.

• II - przedział klasowy zawierający największą liczbę obserwacji przesunięty jest w prawo - w ostatnich przedziałach

• Rozkłady bimodalne - dwa wyraźne punkty skupienia

• rozkłady siodłowe - posiada dwa punkty skupienia obserwacji znajdujące się w krańcowych przedziałach (pierwszym i ostatnim)

• rozkład równomiarowy - we wszystkich przedziałach występuje ta sama liczba obserwacji.

• asymetria dodatnia - punkt skupienia znajduje się prze niskich wartościach cechy

• asymetria ujemna - punkt skupienia znajduje się przy wyższych wartościach cechy.

4. miernik skośności - jest podstawowym miernikiem asymetrii rozkładu

• M_s = 0 - symetria

• M_s >0 - asymetria prawostronna

• M_s <0 - asymetria lewostronna

5. współczynniki skośności - siła i kierunek skośności

W_s∈ (-1, 1)

S = odchylenie standardowe

W_s = 0 - symetria

A_s∈ (-1, 1)

S = odchylenie standardowe

A_s = 0 - symetria

6. pozycyjna miara asymetrii

A_sp∈ (-1,1)

A_sp ∈ (-1,0> - asymetria lewostronna

A_sp ∈ <0,1) - asymetria prawostronna

7. moment centralny trzeci w jednostkach standardowych - najdokładniejsza miara, bo uwzględnia wszystkie wartości

α₃∈ (-2,2) - im bliższy 0 tym asymetria jest słabsza

2. Miary koncentracji - jak bardzo poszczególne obserwacje skupiają się wokół średniej arytmetycznej:

1. kurtoza

E - eksces (współczynnik spłaszczenia):

K∈(-3,3) - jeżeli K= 3 rozkład normalny

Wylosowano grupę 12 studentów. Sprawdzono ich wyniki egzaminu w punktach (Y), przetestowano kwestionariuszem ilorazu inteligencji IQ i zapytano o przeciętny czas, który poświęcają na naukę tygodniowo po zajęciach.

i	Y-wyniki egzaminu	X - IQ	Z - czas poświęcany na naukę tygodniowo
1	83	112	9
2	77	115	6
3	95	129	14
4	49	103	4
5	63	117	8
6	80	115	12
7	91	124	10
8	79	113	9
9	36	106	5
10	58	114	7
11	93	136	8
12	84	127	3

Statystyki opisowe

	Y-wyniki egzaminu	X - IQ	Z - czas poświęcany na naukę tygodniowo
N ważnych	12	12	12
Średnia	74	117,58
Harmon.			6,59
Mediana Me	79,5	115	8
Moda	Wielokr.	115	Wielokr.
Liczność	1	2	2
Suma	888	1411	95
Min	36	103	3
Max	95	136	14
Kwartyl dolny Q1	60,5	112,5	5,5
Kwartyl górny Q3	87,5	125,5	9,5
Rozstęp zwykły R	59	33	11
Rozstęp Q3-Q1	27	13	4
Wariancja s^2	344,36	93,17	10,27
Odch.Std. s	18,56	9,65	3,2
Wsp. zmienności względem średniej	0,25	0,08	0,49
Skośność α3	-0,9	0,46	0,31
Skośność As	-0,89	0,80	-1,32
Kurtoza	-0,07	-0,29	-0,18

---