PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA IM. WITELONA W LEGNICY

Wydział Nauk Technicznych i Ekonomicznych
Kierunek: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji
Specjalność: Logistyka w przedsiębiorstwie
Studia stacjonarne

Ewa Jabłońska

Joanna Rowińska
Rok studiów: trzeci
Rok akademicki: 2015/2016

Referat z przedmiotu "Zarządzanie projektami inżynierskimi"

Metoda PERT i PERT-COST

Referat napisany
pod kierunkiem: dr inż. Jerzego Kwaśnika

Legnica 2016

2. Metoda Pert

   1. Geneza i istota metody

PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique) – probabilistyczna metoda planowania i kontroli projektu, wykorzystująca programowanie sieciowe, stosowana w zarządzaniu projektami^[1].

Technikę PERT opracowano na potrzeby marynarki wojennej USA w latach 1956-1957 podczas realizacji projektu nuklearnej łodzi podwodnej Polaris. Pozwoliła ona na sprawną koordynację działań 3000 wykonawców, dzięki czemu udało się znacznie przyspieszyć zakończenie prac. Początkowo wykorzystywana była głównie przy dużych, wieloletnich programach wojskowych, z czasem znalazła również zastosowanie w projektach cywilnych. Celem techniki jest zidentyfikowanie elementów procesu i wyznaczenie odcinków czasu, które mają największy wpływ na realizację projektu. Jest to jedna z technik sieciowych. Dzięki niej można znaleźć odpowiedzi na następujące pytania:

- Kiedy dany projekt zostanie zakończony ?

-Które czynności i zadania wchodzące w skład projektu są dla niego krytyczne, czyli ich opóźnienie spowoduje opóźnienie całego projektu?

- Które czynności i zadania wchodzące w skład projektu mogą być rozpoczęte później lub realizowane w dłuższym czasie bez opóźnienia całego projektu, a więc które czynności nie są dla niego krytyczne ?

- Jakie jest prawdopodobieństwo realizacji projektu w założonym terminie ?

- Czy projekt realizowany jest zgodnie z terminarzem, czy jest opóźniony, czy może wykonywany z wyprzedzeniem ? ^[1]

W przypadku metody PERT projekt jest przedstawiany w postaci wykresu sieciowego, ilustrującego zależności między wszystkimi czynnościami i zdarzeniami wchodzącymi w jego skład, a na podstawie podjętych założeń oraz z wykorzystaniem metod stochastycznych określa się prawdopodobieństwo realizacji projektu w założonym terminie^[1].

Podobnie jak w przypadku techniki CPM w technice PERT mamy do czynienia z analizą ścieżki krytycznej w sieci o sztywnej, deterministycznej konstrukcji. Dodatkową możliwością, którą stwarza ta technika, jest wykorzystanie statystycznego oszacowania czasu trwania poszczególnych czynności, a co za tym idzie, wskazania prawdopodobieństwa zrealizowania poszczególnych etapów projektu w z góry założonych terminach^[1].

Metoda PERT pozwala na skonstruowanie harmonogramu prac optymalizującego czas i koszty realizacji zadania, pozwalającego na bezkolizyjną współpracę wszystkich jego uczestników, wyeliminowanie przestojów i tzw. wąskich gardeł^[2].

[1] Trocki M., Grucza B., Ogonek K.: Zarzadzanie Projektami, PWE, Warszawa 2003.

[2] Brandenburg H.: Zarzadzanie Projektami, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice 2002.

Sposób konstruowania

Technika PERT realizowana jest w siedmiu podstawowych etapach:

1. Określenie projektu i przygotowanie analizy jego struktury.

   Przedmiotem techniki planowania sieciowego są projekty. W planowaniu przebiegu projektów należy wyróżnić zdarzenia i czynności. Zdarzenie jest określane jako wystąpienie jasno zdefiniowanego stanu. W przeciwieństwie do zdarzeń, czynności są wyróżniane fragmentami projektu, są to zadania ze ściśle oznaczonym początkiem i zakończeniem, których realizacja wymaga określonego czasu i środków. Zdarzenia oznaczają zakończenia jednej lub wielu czynności i/lub rozpoczęcie jednej lub wielu następnych czynności. Zdarzeniu odpowiada pewnie moment na osi czasu, jednak samo zdarzenie nie rozciąga się w czasie.

2. Określenie zależności między poszczególnymi czynnościami wchodzącymi w skład projektu.

W skład projektu może wchodzić wiele czynności i zdarzeń. Istotne z punktu widzenia planowania oraz realizacji projektu jest ich dokładne określenie i wyodrębnienie z szerszej grupy. Kolejnym krokiem jest zidentyfikowanie wzajemnych zależności pomiędzy czynnościami i zdarzeniami. Zależności te charakteryzują strukturę projektu i mogą być zależnościami logicznymi (bez podania odstępu czasu) oraz logiczno – czasowymi ( z podaniem odstępu czasu). Zazwyczaj na określenie struktury projektu potrzeba kilku tygodni.

1. Sporządzenie wykresu sieciowego projektu.

Do przedstawienia czynności i zdarzeń służą węzły (kółka) oraz łuki – krawędzie (strzałki). Węzły są punktami powiązań w wykresie sieciowym, krawędzie zaś ukierunkowanymi powiązaniami między węzłami. Wykresy sieciowe stosowane w metodzie PERT sporządza się zgodnie z zasadami:

• Czynność może się zacząć dopiero wówczas, gdy będą zakończone wszystkie czynności poprzedzające. Wynika z tego, że za wyjątkiem pierwszej czynności zdarzenie początkowe czynności jest tożsame z e zdarzeniem końcowym czynności poprzedzającej.

• Jeśli zakończenie wielu czynności warunkuje rozpoczęcie następnej czynności, wówczas kończą się one zdarzeniem początkowym następnej czynności.

• Jeżeli zakończenie wielu czynności jest warunkowane zakończeniem czynności poprzedzającej, wówczas rozpoczynają się one zdarzeniem końcowym czynności poprzedzającej.

• Jeśli dwie lub więcej czynności mają wspólne zdarzenie początkowe i końcowe. Wówczas ich jednoznaczne oznaczenie wymaga zastosowania czynności pozornej (takiej, która ma zerowy czas trwania, a jej celem jest logiczne przedstawienie zależności).^[3]

  [3] Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003.

• Jeśli jakieś zdarzenie jest początkiem i końcem wielu czynności, wówczas właściwym sposobem przedstawienia zależności jest zastosowania czynności pozornej.

• Do sieci można wprowadzić dowolnie wiele czynności pozornych. Oprócz przedstawienia zależności logicznych służą one także uzyskaniu lepszej przejrzystości wykresu sieciowego.

• Jeśli jakaś czynność musi się rozpocząć, zanim poprzednia czynność będzie całkowicie zakończona, wówczas czynność poprzedzająca powinna być podzielona zdarzeniem pośrednim.

• Każda czynność może wystąpić na wykresie sieciowym tylko jednorazowo. Na wykresie niedopuszczalne są pętle.^[1]

1. Przypisanie poszczególnym czynnościom zakładanego czasu ich realizacji, kolejno: najbardziej optymistycznego, najbardziej prawdopodobnego, najbardziej pesymistycznego.

Technika PERT posługuje się deterministycznymi modelami sieciowymi projektowanymi przy zastosowaniu techniki dwupunktowej. Czas trwania czynności traktuje się jako zmienną losową o rozkładzie beta. Ponieważ obliczenia wykonywane są przy użyciu parametrów rozkładu zmiennej losowej, wyniki obliczenie są wielkościami deterministycznymi i powinny być uzupełnione wyznaczeniem odpowiednich prawdopodobieństw. Należy zatem określić, na podstawie dotychczasowych doświadczeń i wiedzy oraz z uwzględnieniem rzeczywistych warunków realizacyjnych, najbardziej optymistyczne, pesymistyczne i prawdopodobne czasy realizacji poszczególnych czynności. Na wykresie sieciowym pod łukami zaznaczone są kolejno najbardziej optymistyczny, najbardziej realny i najbardziej pesymistyczny czas wykonania czynności.

Najbardziej optymistyczny czas oznaczany jest jako a_n i jest to, realistycznie zakładając, najkrótszy możliwy termin ukończenia danej czynności. Najbardziej prawdopodobny czas oznaczany jest jako m_n i jest to, realistycznie zakładając, najpewniejszy termin ukończenia danej czynności. Najbardziej pesymistyczny czas zaś oznaczany jest jako b_n. Realistycznie zakładając jest to najpóźniejszy możliwy termin ukończenia danej czynności. Wartości te są najczęściej określane przez osoby zajmujące się bezpośrednio realizacją projektu i poszczególnymi czynnościami. Wynikają one z wiedzy i doświadczenia.^[3]

1. Obliczenie oczekiwanego czasu wykonania czynności i odchylenia standardowego.

Kolejnym krokiem przy planowaniu projektu za pomocą techniki PERT jest obliczenie czasu oczekiwanego t_en wykonania każdej czynności n wchodzącej w skład projektu wg następującego wzoru:

$$t_{\text{en}} = \frac{a_{n} + \ 4m_{n} + b_{n}}{6}$$

Zapis ten oznacza średnią ważoną, w której największą wagę, wynoszącą 4, przykłada się doi założonego, najbardziej prawdopodobnego czasu wykonania czynności, mniejszą zaś do czasu uważanego za najbardziej optymistyczny i najbardziej pesymistyczny.^[1]

Z praktyki zarządzania projektami wiadomo, że szacowany czas wykonania czynności często przekracza wartość podaną jako najbardziej prawdopodobną, ponieważ ludzie mają tendencję do zbytniego optymizmu w swoich szacunkach.^[3]

Interpretacją czasu oczekiwanego wykonania czynności n jest stwierdzenie, iż według przyjętych szacunków optymistycznych, pesymistycznych i najbardziej realnych oczekiwany czas realizacji czynności n wyniesie t_en jednostek czasu. Parametr określający prawdopodobne odchylenie czasu wykonania czynności od czasu oczekiwanego, czyli odchylenie standardowe σ_n, oblicza się dla każdej z czynności według wzoru:

$$\sigma_{n} = \ \frac{b_{n} - a_{n}}{6}$$

Odchylenie standardowe jest równe jednej szóstej różnicy pomiędzy ekstremalnymi szacunkami czasu wykonania czynności i jest miarą niepewności wykonania danej czynności w oczekiwanym czasie.

1. Określenie ścieżki krytycznej.

Technika PERT opiera się na analizie ścieżki krytycznej projektu. Musi więc charakteryzować się następującymi cechami:

• wszystkie zadania i czynności wchodzące w skład projektu powinny być dokładnie zdefiniowane ii jednoznacznie wskazywać zakończenie projektu,

• poszczególne zadania i czynności są niezależne od siebie, mogą być rozpoczynane, zatrzymywane i realizowane oddzielnie – w ramach poszczególnych ścieżek,

• zadania i czynności są uporządkowane i następują po sobie w ustalonej sekwencji.

W przypadku ciągów czynności następujących po sobie i tworzących ścieżkę czas przejścia ścieżki jest sumą czasów oczekiwanych wykonania poszczególnych czynności.

1. Zastosowanie wykresu sieciowego do założonych celów.

Przedmiotem dalszej analizy w przypadku techniki PERT jest ścieżka krytyczna projektu. Jednak fakt ten ma negatywne konsekwencje, bowiem zawęża obszar zainteresowań do jednej z wielu możliwych ścieżek realizacji projektu. Jeżeli czasy przejścia kilku ścieżek nie różnią się bardzo od siebie, a szacowany czas wykonania poszczególnych czynności obarczony jest dużym możliwym odchyleniem standardowym, może okazać się, że to inne ścieżki staną się ścieżkami krytycznymi. PERT opiera się na obliczeniach stochastycznych i nie może wskazać żadnej ścieżki krytycznej z całkowitą pewnością. W praktyce, w przypadku projektów stosujących metodę PERT mniej niż 10% czynności wchodzących w ich skład było czynnościami krytycznymi.^[3]

Analizując ścieżkę krytyczną można zauważyć, że ponieważ wartości czasów oczekiwanych wykonania poszczególnych czynności zawierają w sobie jakąś dozę niepewności, czas oczekiwany realizacji całego projektu również nie będzie czasem pewnym. Aby uporać się z tym problemem, należy wskazać prawdopodobny błąd w szacunkach przez obliczenie standardowego odchylenia czasu realizacji całego projektu T_e. Parametr ten opiera się na odchyleniu standardowym czynności leżących na ścieżce krytycznej i jest pierwiastkiem sumy kwadratów odchyleń standardowych czasu wykonania czynności leżących na ścieżce krytycznej:

σ T_e=$\sqrt{\Sigma\sigma_{n}^{2}}$

Znając czas oczekiwany realizacji projektu oraz jego odchylenie standardowe, można obliczyć prawdopodobieństwo zakończenia projektu w dowolnym zadanym czasie.^[3]

Pierwszym krokiem będzie podanie żądanego czasu realizacji projektu T_ż, w którym należy się zmieścić. Dalszym etapem będzie obliczenie parametru z, będącego liczbą odchyleń standardowych między czasem żądanym a oczekiwanym czasem realizacji projektu. Jest on niezbędny do odnalezienia w tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego konkretnej wartości prawdopodobieństwa. Obliczany jest wg wzoru:

$z = \frac{czas\ zadany - czas\ oczekiwany}{\text{odchylenie\ standardowe}}$= $\frac{T_{z} - \ T_{e}}{\text{σT}_{e}}$

Ostatnią czynnością jest znalezienie wartości prawdopodobieństwa odpowiadającej wartości z na podstawie tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego. Będzie ona odpowiedzią na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo realizacji projektu w żądanym terminie.^[3]

Zalety i wady metody

Do zalet metody PERT należą:

• metoda ta jest przydatna w zarządzaniu dużymi projektami,

• odznacza się przejrzystą koncepcją i niedużym skomplikowaniem matematycznym,

• graficzna prezentacja projektu w postaci wykresu sieciowego umożliwia szybką identyfikację wzajemnych relacji pomiędzy czynnościami,

• pozwala na identyfikację ścieżki krytycznej wskazującej czynności wymagające szczególnej uwagi z punktu widzenia realizacji projektu,

• daje możliwość łatwego przypisania odpowiedzialności za poszczególne fazy projektu dzięki przejrzystemu modelowi sieciowemu,

• umożliwia sprawdzenie, kiedy dany projekt zostanie zakończony,

• umożliwia sprawdzenie, które czynności i zadania wchodzące w skład projektu są dla niego krytyczne, czyli ich opóźnienie spowoduje opóźnienie całego projektu,

• możliwe jest określenie prawdopodobieństwa zakończenia projektu w założonym terminie,

• możliwe jest sprawdzenie, czy projekt przebiega zgodnie z terminarzem, czy jest opóźniony, czy być może wykonywany jest z wyprzedzeniem,

• w dowolnym momencie realizacji projektu można skontrolować, czy dotychczasowe wydatkowane środki są zgodne z założeniami budżetu projektu,

• istnieje możliwość badania podczas realizacji projektu, czy posiadane zasoby są wystarczające do zakończenia projektu w terminie,

• w przypadku konieczności zakończenia projektu przed założonym terminem istnieje możliwość określenia, jak osiągnąć ten cel najniższym kosztem.

Należy także wymienić wady techniki PERT:

• nie jest to technika podejmowania optymalnych decyzji, ponieważ decyzja o realizacji projektu już zapadła,

• czynności muszą być jednoznacznie zdefiniowane, niezmienne, a zależności między nimi muszą być stałe, co powoduje, że sieć jest sformalizowana i utrudnia elastyczne reagowanie na zmiany sytuacji podczas realizacji projektu,

• szacowany czas wykonania czynności jest subiektywny, w związku z czym podatny na zbytni optymizm lub pesymizm planujących projekt,

• istnieje ryzyko nadmiernego koncentrowania się na czynnościach leżących na ścieżce krytycznej oraz zaniedbywania pozostałych czynności i ścieżek,

• nie jest to technika oceny projektu inwestycyjnego z punktu widzenia jego atrakcyjności lub czasu trwania,

• bardzo złożone projektu podlegają zmianą wraz z upływem czasu, dlatego sieć zbudowana na początku projektu może być nieaktualna po jakimś czasie,

• nie wszystkie zależności między czynnościami dają się określić z góry, w praktyce w niektórych projektach sekwencje działań mogą być zmienne,

• badania wskazują, iż zastosowanie metody PERT nie ma znaczącego wpływu na technologiczne wykonanie projektu, natomiast zmniejsza ryzyko przekroczenia budżetu i terminów realizacji projektu^[3].

  1. Przykład zastosowania metody

Technikę PERT zastosowano do planowania i kontroli złożonego projektu „Rozwój produktu X”. W skład projektu wchodzi wiele różnorodnych czynności. Realizacja tego projektu ma bardzo duże znaczenie dla przedsiębiorstwa ze względu na konieczność szybkiego wprowadzenia na rynek produktu spełniającego wysokie wymagania potencjalnych nabywców i co najmniej dorównującego produktom konkurencyjnym. Przedsiębiorstwo ma niewielkie doświadczenie w zakresie rozwoju. W okresie ostatnich kilkunastu lat nie prowadziło własnych prac rozwojowych na szeroką skalę. Utworzono zespół ekspertów, aby zaplanować projekt^[1].

Przedsiębiorstwo zamierza podjąć szeroko zakrojone działania marketingowe związane z wprowadzeniem nowego produktu na rynek, co będzie wymagać pełnej koordynacji działać z pionami produkcji i marketingu. Musi być znany możliwie najdokładniejszy termin zakończenia projektu, aby precyzyjnie zaplanować działania produkcyjne i promocyjne. Najdrobniejsze nawet opóźnienie w realizacji tego ambitnego projektu musi być na bieżąco zgłaszane zarządowi przedsiębiorstwa wraz z propozycją ich nadrobienia. Ponadto zarząd przedsiębiorstwa chciałby wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo opracowania nowego produktu przed świętami Bożego Narodzenia w przyszłym roku, czyli za 90 tygodni, kiedy to wprowadzenie produktu na rynek byłoby dla firmy najkorzystniejsze^[1].

Kolejność zdarzeń i czynności wchodzących w skład projektu „Rozwój produktu X” oraz wzajemne zależności między nimi obrazuje rysunek 1.

Rysunek 1. Wykres sieciowy projektu

Oszacowanie czasów wykonania poszczególnych czynności wchodzących w skład projektu zajęło zespołowi prawie 2 tygodnie. Efektem pracy zespołu oraz specjalistów z zewnątrz są podane w tabeli 1. szacunki optymistycznych, najpewniejszych i najbardziej pesymistycznych czasów realizacji czynności zebrane kolejno w kolumnie a, m, b. Wartości czasów wyrażono w tygodniach^[1].

Zdaniem członków zespołu, badanie i analiza rynku zajmą prawdopodobnie 8 tygodni, na pewno nie będą trwały krócej niż 7 tygodni, a w najgorszym przypadku nie potrwają więcej niż 10 tygodni. W przypadku niektórych nieskomplikowanych czynności, takich jak sporządzenie specyfikacji materiałowej, specjaliści byli zgodni, że czas ich wykonania będzie stały, niezależnie od optymistycznych czy pesymistycznych założeń^[3].

Tabela 1. Czasy trwania czynności projektu

Symbol	Opis czynności	Szacunki czasów
		a
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U	Podjęcie inicjatywy rozwoju produktu Badania i analiza rynku Opracowanie koncepcji rozwoju produktu Określenie budżetu prac konstrukcyjnych Ocena koncepcji, decyzja, założenia dla dalszych prac Pozyskanie środków na realizację prac konstrukcyjnych Opracowanie zasad rozwiązania konstrukcyjnego Opracowanie konstrukcji produktu Wstępna kalkulacja ceny produktu Opracowanie planu badań prototypu Opracowanie konstrukcji części składowych produktu Opracowanie technologii wykonania prototypu Sporządzenie specyfiki materiałowej Wybór miejsca i wykonawców badań prototypu Zamówienie i dostawa materiałów do budowy prototypu Budowa prototypu Zlecenie wykonania badań prototypu Badania prototypu Ocena wyników badań prototypu Podjęcie decyzji co do dalszych prac rozwojowych Wprowadzenie usprawnień konstrukcyjnych	2 7 3 1 1 3 4 10 2 4 12 7 1 2 2 5 1 7 2 1 4

Na rysunku nr 2. przedstawiono wykres sieciowy projektu uwzględniający oszacowane czasy wykonania czynności. Aby rysunek był bardziej przejrzysty zrezygnowano ze słownych opisów poszczególnych czynności i zastosowano oznaczenia literowe z tablicy.

Rysunek 2. Wykres sieciowy projektu z uwzględnieniem oszacowanych czasów wykonania poszczególnych czynności

Dla projektu „Rozwój produktu X” przedstawiono w tabeli 2. wartości czasu oczekiwanego oraz odchylenia standardowego dla każdej czynności. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że dla czynności U, polegającej na wprowadzeniu usprawnień konstrukcyjnych do projektowanego produktu, czas oczekiwany realizacji tej czynności wynosi 5,17 tygodnia, z możliwym odchyleniem o pół tygodnia.

Tabela 2. Wartości czasu oczekiwanego oraz odchylenie standardowe dla czynności projektu

Symbol czynności	Szacunki czasów	Czas oczekiwany	Odchylenie standardowe
	a	m	b
1	2	3	4
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U	2 7 3 1 1 3 4 10 2 4 12 7 1 2 2 5 1 7 2 1 4	3 8 4 1 2 5 6 12 2 5 16 9 1 3 3 7 2 8 2 2 5	4 10 5 2 4 8 9 15 2 6 21 10 1 4 4 10 2 10 3 3 7

W realizacji projektu można wskazać następujące pełne ścieżki czynności:

A-B-C-E-G-H-J-N-Q-R-S-T

A-B-C-E-G-H-J-N-Q-R-S-U

A-B-C-E-G-H-K-L-P-R-S-T

A-B-C-E-G-H-K-L-P-R-S-U

A-B-C-E-G-H-K-M-O-P-R-S-T

A-B-C-E-G-H-K-M-O-P-R-S-U

A-B-C-E-G-H-I-S-T

A-B-C-E-G-H-I-S-U

A-B-C-F-G-H-J-N-Q-R-S-T

A-B-C-F-G-H-J-N-Q-R-S-U

A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-T

A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-U

A-B-C-F-G-H-K-M-O-P-R-S-T

A-B-C-F-G-H-K-M-O-P-R-S-U

A-B-C-F-G-H-I-S-T

A-B-C-F-G-H-I-S-U

A-D-E-G-H-J-N-Q-R-S-T

A-D-E-G-H-J-N-Q-R-S-U

A-D-E-G-H-K-L-P-R-S-T

A-D-E-G-H-K-L-P-R-S-U

A-D-E-G-H-K-M-O-P-R-S-T

A-D-E-G-H-K-M-O-P-R-S-U

A-D-E-G-H-I-S-T

A-D-E-G-H-I-S-U

A-D-F-G-H-J-N-Q-R-S-T

A-D-F-G-H-J-N-Q-R-S-U

A-D-F-G-H-K-L-P-R-S-T

A-D-F-G-H-K-L-P-R-S-U

A-D-F-G-H-K-M-O-P-R-S-T

A-D-F-G-H-K-M-O-P-R-S-U

A-D-F-G-H-I-S-T

A-D-F-G-H-I-S-U

W przypadku ciągów czynności następujących po sobie i tworzących ścieżkę czas przejścia jest sumą czasów oczekiwanych wykonania poszczególnych czynności.

Tabela 3. Czasy przejścia ścieżek projektu

Ścieżka

Czas przejścia

A-B-C-E-G-H-J-N-Q-R-S-T A-B-C-E-G-H-J-N-Q-R-S-U A-B-C-E-G-H-K-L-P-R-S-T A-B-C-E-G-H-K-L-P-R-S-U A-B-C-E-G-H-K-M-O-P-R-S-T A-B-C-E-G-H-K-M-O-P-R-S-U A-B-C-E-G-H-I-S-T A-B-C-E-G-H-I-S-U A-B-C-F-G-H-J-N-Q-R-S-T A-B-C-F-G-H-J-N-Q-R-S-U A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-T A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-U A-B-C-F-G-H-K-M-O-P-R-S-T A-B-C-F-G-H-K-M-O-P-R-S-U A-B-C-F-G-H-I-S-T A-B-C-F-G-H-I-S-U A-D-E-G-H-J-N-Q-R-S-T A-D-E-G-H-J-N-Q-R-S-U A-D-E-G-H-K-L-P-R-S-T A-D-E-G-H-K-L-P-R-S-U A-D-E-G-H-K-M-O-P-R-S-T A-D-E-G-H-K-M-O-P-R-S-U A-D-E-G-H-I-S-T A-D-E-G-H-I-S-U A-D-F-G-H-J-N-Q-R-S-T A-D-F-G-H-J-N-Q-R-S-U A-D-F-G-H-K-L-P-R-S-T A-D-F-G-H-K-L-P-R-S-U A-D-F-G-H-K-M-O-P-R-S-T A-D-F-G-H-K-M-O-P-R-S-U A-D-F-G-H-I-S-T A-D-F-G-H-I-S-U

57,85 61,02 80,19 83,36 75,36 78,53 41,85 45,02 60,85 64,02 83,19 86,36 78,36 81,53 44,85 48,02 46,85 50,02 69,19 72,36 64,36 67,53 30,85 34,02 49,85 53,02 72,19 75,36 67,36 70,53 33,85 37,02

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że najbardziej czasochłonna jest realizacja ścieżki A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-U, której czas wynosi 86,36 tygodnia, będzie ona więc ścieżką krytyczna projektu. Opóźnienie którejkolwiek z czynności leżących na niej spowoduje spóźnienie całego projektu^[1].

Rysunek 3. Wykres sieciowy projektu z zaznaczoną ścieżką krytyczną

W przypadku projektu „Rozwój produktu X”, ze ścieżką krytyczna A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-U, odchylenie standardowe realizacji projektu wynosi:

$$\sigma T_{e} = \sqrt{6,2523} = 2,5$$

Przy realizacji projektu prawdopodobnie odchylenie terminu faktycznego zakończenia prac od czasu oczekiwanego 86,36 tygodnia wynosi zatem 2,5 tygodnia.

Odpowiadając na pytanie zarządu przedsiębiorstwa, jakie jest prawdopodobieństwo opracowania nowego produktu przed świętami Bożego Narodzenia przyszłego roku, czyli w ciągu 90 tygodni, należy obliczyć wartość parametru z:

$z = \frac{T_{z} - T_{e}}{\sigma T_{e}} = \frac{90 - 86,36}{2,5} = 1,456$.

Pozostaje już tylko znalezienie wartości prawdopodobieństwa odpowiadającej obliczonej wartości z na podstawie tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego. W tabeli tej wartości z=1,456 odpowiada prawdopodobieństwo 0,92785, a zatem szansa opracowania nowego produktu w ciągu 90 tygodni wynosi w przybliżeniu 93%^[3].

1. Metoda Pert – Cost

   1. Geneza i istota metody

W dotychczasowych rozważaniach przyjmowano, iż nie jest możliwe skrócenie czasu trwania czynności wchodzących w skład projektu. Użycie dodatkowych środków i zasobów z reguły może przyśpieszyć wykonanie niektórych czynności, np. dzięki wykorzystaniu większej liczby sprzętu technicznego czy zatrudnieniu dodatkowych pracowników. Działania takie wymagają jednak poniesienia większych kosztów i nie zawsze są ekonomicznie uzasadnione. W przypadku opóźnienia realizacji projektu i perspektywy wypłaty z tego tytułu wysokich odszkodowań lub gdy podczas realizacji projektu ponoszone są duże koszty stałe, użycie dodatkowych środków w celu skrócenia czasu trwania projektu czy zakończenia go w terminie będzie decyzją słuszną. W jaki sposób określić, które czynności mogą być skrócone, ile to będzie kosztowało, czy skrócenie danej czynności spowoduje wcześniejsze zakończenie projektu? Idealnym rozwiązaniem byłoby znalezienie metody skrócenia całego projektu najniższym kosztem. W tym celu opracowano modyfikację metody PERT, a mianowicie

PRET – COST. Służy ona do wyznaczenia optymalnego skracania czasu realizacji projektu w sieciach PERT przy minimalnych kosztach.

Określenie optymalnego terminu realizacji projektu będzie się wiązać z takim ułożeniem programu skracania czynności, aby największe przyspieszenie przypadało na te czynności krytyczne, których koszty będą najniższe. W przypadku PERT- COST krzywa kosztów będzie funkcją kilku parametrów danych czynności (a, m, b, t_e, σ). Ponadto PERT-COST posługuje się następującymi oznaczeniami:

t_en - oczekiwany, normalny czas trwania czynności n, któremu odpowiadają najniższe koszty wykonania czynności K_n,

t_egr – oczekiwany czas graniczny trwania czynności n, czyli najkrótszy możliwy, wynikający z ograniczeń technicznych i technologicznych, czas wykonania czynności, któremu odpowiadają koszty graniczne K_gr.

Założeniem techniki PERT-COST jest liniowy przebieg zależności kosztów wykonania czynności od czasu jej trwania, a zatem koszty realizacji czynności rosną proporcjonalne do jej skracania od czasu normalnego do granicznego. Dla każdej czynności można obliczyć średni gradient kosztu S, określający przyrost kosztów wykonania czynności spowodowany skróceniem czasu wykonania czynności o jednostkę:

$$S_{n} = \frac{K_{\text{gr}} - K_{n}}{t_{\text{en}} - t_{\text{egr}}} = tg\alpha$$

Dodatkowym założeniem metody PERT-COST są stałe relacje czasów poszczególnych czynności, wynoszące:

- dla czasu optymistycznego: $\frac{a_{n}}{t_{\text{en}}} = \ \frac{a_{\text{gr}}}{t_{\text{egr}}} = r_{1}$,

- dla czasu pesymistycznego: $\frac{b_{n}}{t_{\text{en}}} = \ \frac{b_{gr}}{t_{\text{egr}}} = r_{2}$.

Z relacji tych można wyznaczyć wartość odchylenia standardowego skróconego czasu czynności n:

$\sigma = \sqrt{\frac{(\ r_{2} - r_{1})^{2}}{36}t_{\text{es}}^{2}}$,

gdzie t_es oznacza skrócony czas wykonania danej czynności (po poniesieniu dodatkowych kosztów).

Koszty przyśpieszenia poszczególnych czynności oblicza się jako iloczyn gradientu kosztów dla danej czynności i liczby jednostek czasu, o które dana czynność krytyczna została skrócona:

K_n = (t_en−t_es) × S_n

Sposób konstruowania

Podczas stosowania techniki PERT – COST można wyróżnić następujące etapy postępowania:

1. Wyznaczenie terminu końcowego i ścieżki krytycznej na podstawie oczekiwanych, normalnych czasów trwania czynności (podobnie jak w technice PERT).

2. Zastawienie czynności krytycznych i obliczenie dla nich gradientów kosztów.

3. Wyeliminowanie z zestawienia tych czynności krytycznych, dla których średni gradient kosztów nie istnieje, czyli t_en = t_egr.

4. Rozpoczęcie procesu skracania czynności od czynności krytycznej o najniższym gradiencie kosztów.

5. Skracanie czasu trwania czynności o jak największą liczbę jednostek czasu, biorąc pod uwagę dwa ograniczenia:

   - czas graniczny danej czynności t_egr,

   - pojawienie się nowej ścieżki krytycznej – gdy zniknie zapas czasu w ciągu czynności niekrytycznych.

   6) Jeżeli występują dwie ścieżki krytyczne w sieci lub więcej, należy skracać czas o tę samą wielkość na wszystkich równoległych ścieżkach krytycznych.

   7) Najkrótszy termin wykonania projektu uzyskuje się wówczas, gdy wszystkie czynności leżące na którejkolwiek ścieżce krytycznej osiągną czasy graniczne t_egr. Dalsze skracanie czasu realizacji projektu jest wówczas niemożliwe.

   8) Koszty przyśpieszenia na każdym etapie oblicza się jako iloczyn gradientu kosztów dla danej czynności i liczby jednostek czasu, o które dana czynność krytyczna została skrócona: K_n = (t_en − t_es)×S_n. Łączne koszty przyśpieszenia realizacji projektu są sumą kosztów poniesionych na poszczególnych etapach.

   1. Przykłady zastosowań metody

Przykład 1.

W analizowanym wcześniej projekcie „Rozwój produktu X” zarząd przedsiębiorstwa wyznaczył zespołowi projektowemu zadanie jak najszybszego opracowania nowego produktu, dając do dyspozycji dodatkowe środki. Przedsiębiorstwo było zmuszone do takiego działania na skutek spodziewanego w najbliższym czasie wprowadzenia na rynek nowego produktu przez jego głównego konkurenta, co mocno osłabiłoby pozycję przedsiębiorstwa.

Czas graniczny wykonania poszczególnych czynności wyznaczono po konsultacji z osobami odpowiedzialnymi za realizację kolejnych etapów projektu, tak aby faktycznie zbliżyć się do granicy możliwości technicznych i technologicznych. Wyniki tych obliczeń przedstawia poniższa tabela.

Tabela 6. Obliczenia kosztowe dla czynności projektu

Symbol czynności	Szacunki czasów	te	tegr	Kn	Kgr
	a	m	b
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U	2 7 3 1 1 3 4 10 2 4 12 7 1 2 2 5 1 7 2 1 4	3 8 4 1 2 5 6 12 2 5 16 9 1 3 3 7 2 8 2 2 5	4 10 5 2 4 8 9 15 2 6 21 10 1 4 4 10 2 10 3 3 7	3,00 8,17 4,00 1,17 2,17 5,17 6,17 12,17 2,00 5,00 16,17 8,83 1,00 3,00 3,00 7,17 1,83 8,17 2,17 2,00 5,17	2 6 2 1 1 3 4 8 2 3 10 6 1 2 2 4 1 6 2 1 4
Razem	-	-	-	-	-

Zespół projektowy obliczył też normalny koszt wykonania danej czynności K_n, a więc koszt realizacji czynności w czasie oczekiwanym oraz koszt graniczny K_gr- wyższy koszt realizacji czasie granicznym przy maksymalnym wykorzystaniu sił i środków.

W dalszej kolejności obliczono dla każdej czynności średni gradient kosztu. Wyznaczono także relacje czasów poszczególnych czynności dla czasu optymistycznego i dla czasu pesymistycznego. Wyniki tych obliczeń obrazuje poniższa tabela.

Tabela 7. Obliczenia gradientu kosztów i relacji czasów wykonania czynności projektu

Symbol czynności	Szacunki czasów	te	tegr	Kn	Kgr	Średni gradient kosztu $$\mathbf{S}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{K_{\text{gr}} - K_{n}}{t_{\text{en}} - t_{\text{egr}}}$$	Relacja $$r_{1} = \frac{a}{t_{e}}$$	Relacja $$r_{2} = \frac{b}{t_{e}}$$
	a	m	b
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U	2 7 3 1 1 3 4 10 2 4 12 7 1 2 2 5 1 7 2 1 4	3 8 4 1 2 5 6 12 2 5 16 9 1 3 3 7 2 8 2 2 5	4 10 5 2 4 8 9 15 2 6 21 10 1 4 4 10 2 10 3 3 7	3,00 8,17 4,00 1,17 2,17 5,17 6,17 12,17 2,00 5,00 16,17 8,83 1,00 3,00 3,00 7,17 1,83 8,17 2,17 2,00 5,17	2 6 2 1 1 3 4 8 2 3 10 6 1 2 2 4 1 6 2 1 4	100 600 250 150 150 100 800 1200 100 200 1400 900 150 100 300 650 100 500 200 100 400	120 800 350 160 200 120 1000 1800 100 300 2000 1100 150 110 350 800 110 700 210 120 550	20 92 50 60 43 9 92 144 - 50 97 71 - 10 50 47 12 92 60 20 129
Razem	-	-	-	-	-	4850	11150	-

Ścieżką krytyczną projektu jest ciąg czynności: A-B-C-F-G-H-K-L-P-R-S-U Z CZASEM OCZEKIWANYM 86,36 TYGODNIA. Przy stosowaniu kryterium minimalnego gradientu kosztów S dla danej czynności skracanie rozpocznie się od czynności F i obejmie kolejno: A, P, C, S, L, B, G, R, K, U, H. Czas oczekiwany realizacji przedsięwzięcia po każdym kroku skraca się maksymalnie o różnice pomiędzy czasem oczekiwanym wykonania czynności a jej czasem granicznym. Poniższa tabela ilustruje kolejne kroki skracania czynności oraz odpowiadające temu działaniu koszty dodatkowe.

Tabela 8. Skracanie czynności z kosztem skracania i czasem realizacji

Krok	Czynność	Koszt skrócenia	Czas realizacji
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	Skrócenie tF o 2,17 Skrócenie tA o 1,00 Skrócenie tP o 3,17 Skrócenie tC o 2,00 Skrócenie tS o 0,17 Skrócenie tL o 2,83 Skrócenie tB o 2,17 Skrócenie tG o 2,17 Skrócenie tR o 2,17 Skrócenie tK o 6,17 Skrócenie tU o 1,17 Skrócenie tH o 4,17	KF = 2, 17 × 9 = 19, 53 KA = 1 × 20 = 20, 00 KP = 3, 17 × 47 = 148, 99 KC = 2 × 50 = 100 KS = 0, 17 × 60 = 10, 20 KL = 2, 83 × 71 = 200, 93 KB = 2, 17 × 92 = 199, 64 KG = 2, 17 × 92 = 199, 64 KR = 2, 17 × 92 = 199, 64 KK = 6, 17 × 97 = 598, 49 KU = 1, 17 × 129 = 150, 93 KH = 4, 17 × 144 = 600, 48	Te = 84, 19 tyg. Te = 83, 19tyg. Te = 80, 02 tyg. Te = 78, 02tyg. Te = 77, 85tyg. Te = 75, 02 tyg. Te = 72, 85 tyg. Te = 70, 68 tyg. Te = 68, 51 tyg. Te = 62, 34 tyg. Te = 61, 17 tyg. Te = 57, 00 tyg.

Dalsze skracanie czasu trwania projektu nie jest możliwe, ponieważ wszystkie czynności leżące na ścieżce krytycznej osiągnęły czasy graniczne. Odchylenie standardowe czasu oczekiwanego realizacji projektu po każdym kroku zmniejsza się , ponieważ zmniejsza się również wartość odchylenia standardowego, dla czynności skróconych, nawet jeśli dla pozostałych czynności leżących na ścieżce krytycznej odchylenie standardowe pozostaje bez zmian.

Po każdym kroku, polegającym na skracaniu kolejnych czynności, ścieżką krytyczną pozostaje wciąż ścieżka A – B – C – F – G – H – K – L – P – R – S – U, dlatego było możliwe dalsze skracanie czynności leżących na tej ścieżce. W przypadku innego projektu podczas skracania mogłyby powstać nowe ścieżki krytyczne, należałoby zatem w dalszej kolejności skracać czynności leżące na tych ścieżkach lub równoległych ścieżkach krytycznych.

W tabeli 9. Zestawiono wartości czasów oczekiwanych realizacji projektu po każdym kroku skracania czynności wraz z odpowiadającymi im ponoszonymi dodatkowymi kosztami. W ostatniej kolumnie obliczono odchylenie standardowe czasu realizacji projektu (pierwiastek sumy kwadratów odchyleń standardowych czasu wykonania czynności leżących na ścieżce krytycznej).

Tabela 9. Kalkulacja łącznych kosztów skrócenia czasu realizacji projektu

Krok	Te	K	∆K	σTe
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	86,36 84,19 83,19 80,02 78,02 77,85 75,02 72,85 70,68 68,51 62,34 61,17 57,00	0,00 19,53 20,00 148,99 100,00 10,20 200,93 199,64 199,64 199,64 598,49 150,93 600,48	0,00 19,53 39,53 188,52 288,52 298,72 499,65 699,29 898,93 1098,57 1697,06 1847,99 2448,47	2,5004 2,4119 2,3991 2,2973 2,2791 2,2782 2,2484 2,2290 2,1303 2,1031 1,7418 1,7129 1,5936

Koszt przyśpieszenia projektu z 86,36 tygodnia do 57 tygodni wynosi 2448,47 zł, koszt całkowity zaś 8450+2448,47=10898,47 zł. Skrócenie projektu poniżej 57 tygodni jest niemożliwe z powodu ograniczeń technologicznych i technicznych.

Przykład 2.

Przeprowadzić analizę czasowo – kosztową przedsięwzięcia, dla którego podstawowe parametry opisujące poszczególne czynniki modelu sieciowego podano w poniższej tabeli:

Tabela 4. Podstawowe parametry opisujące model sieciowy

i-j	ten	tegr	Kn	Kngr	S	r1	r2	t	t^2
1-2	8	4	500	600	25	0,6	1,9	1,73	3,00
1-3	12	10	700	900	100	0,8	1,5	1,40	1,96
2-4	10	10	1000	1000	-	-	-	-	-
2-5	4	3	800	850	50	0,5	2,4	1,26	1,60
3-5	5	2	900	990	30	0,7	1,1	0,33	0,11
4-5	7	5	1200	1300	50	0,6	2,4	2,10	4,41
4-6	10	6	600	760	40	0,8	1,2	0,66	0,44
5-6	5	4	1100	1110	10	0,5	1,8	1,08	1,17
			6800	7510

Analizę czasowo kosztową należy przeprowadzić dwutorowo, wykorzystując metodę graficzno – analityczną, w której występują dwa komplementarne elementy: graficzny i analityczny. Na podstawie danych przedstawionych w powyższej tabeli wykreślamy sieć zależności technologicznych, a następnie wyznaczamy podstawowe charakterystyki opisujące zarówno poszczególne czynności jak i całą sieć.

Rysunek 4. Model sieciowy z zaznaczoną ścieżką krytyczna

Termin końcowy realizacji przedsięwzięcia T_Kc= 30 jednostek czasu, ścieżka krytyczna przebiega czynnościami 1 - 2 – 4 – 5 – 6, a wariancja dla całego programu (suma wariancji czynności leżących na ścieżce krytycznej) σ_Tw² = 8, 6.

Proces skracania prowadzimy stosując kryterium minimalnego gradientu kosztów. Kolejne kroki skracania i wyniki obliczeń przedstawione zostaną poniżej.

KROK 1: Skracamy t_5-6 o 1: K_5-6= 1*10=10 ; σ_5 − 6² = 0, 75 ; T_Ke = 29.

KROK 2: Skracamy t_1-2 o 4: K_1-2= 4*25=100 ; σ_1 − 2² = 0, 75 ; T_Ke = 25.

KROK 3: Skracamy t_4-5 o 1 : K_4-5= 1*50=50 ; σ_4 − 5² = 3, 24 ; T_Ke = 24.

Powstaje nowa ścieżka krytyczna 1 – 2 – 4 – 6, a więc w następnym kroku skracamy czas trwania czynności na dwóch równoległych ścieżkach krytycznych o tę samą wartość.

KROK 4: Skracamy t_4-5 o 1: K_4-5= 1*50=50 ; σ_4 − 5² = 2, 25 ; T_Ke = 23.

Skracamy t_4-6 o 1: K_6-6= 1*40=40 ; σ_4 − 6² = 0, 36 ; T_Ke = 23.

Dalsze skracanie czasu trwania przedsięwzięcia jest niemożliwe, ponieważ wszystkie czynności leżące na ścieżce krytycznej 1 – 2 – 4 – 5 – 6 osiągnęły czasy graniczne.

Tabela 5. Kroki postępowania i wyniki obliczeń

Krok	TKe	K	∆K	σt	σt^2
0 1 2 3 4	30 29 25 24 23	0 10 100 50 90	0 10 110 160 250	2,92 2,85 2,43 2,17 1,93	8,58 8,16 5,91 4,74 3,75

Koszt akceleracji całego projektu wynosi 250 jednostek pieniężnych, natomiast koszt ogółem 6800+250=7050 jednostek pieniężnych. Zakładając, że dopuszczalne ryzyko dotrzymania terminy wynosi 30%, a więc wartość dystrybuanty rozkładu normalnego μ=0,52, można wyznaczyć najkrótszy czas ukończenia programu w tych warunkach:

T_min = T_ngr −  0, 52σ_t = 23 − 0, 52 * 1, 93 = 21, 99 jednostek czasu.

Warto przy tym podkreślić, że In większe jest prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego ukończenia przedsięwzięcia, tym wyższe są koszty jego realizacji.

Spis rysunków

Rysunek 1. Wykres sieciowy projektu 9

Rysunek 2. Wykres sieciowy projektu z uwzględnieniem oszacowanych czasów wykonania poszczególnych czynności 10

Rysunek 3. Wykres sieciowy projektu z zaznaczoną ścieżką krytyczną 13

Rysunek 4. Model sieciowy z zaznaczoną ścieżką krytyczna 20

Spis tabel

Tabela 1. Czasy trwania czynności projektu 10

Tabela 2. Wartości czasu oczekiwanego oraz odchylenie standardowe dla czynności projektu 11

Tabela 3. Czasy przejścia ścieżek projektu 12

Tabela 6. Obliczenia kosztowe dla czynności projektu 16

Tabela 7. Obliczenia gradientu kosztów i relacji czasów wykonania czynności projektu 17

Tabela 8. Skracanie czynności z kosztem skracania i czasem realizacji 18

Tabela 9. Kalkulacja łącznych kosztów skrócenia czasu realizacji projektu 18

Tabela 4. Podstawowe parametry opisujące model sieciowy 19

Tabela 5. Kroki postępowania i wyniki obliczeń 20

Literatura

[1] Trocki M., Grucza B., Ogonek K.: Zarzadzanie Projektami, PWE, Warszawa 2003.

[2] Brandenburg H.: Zarzadzanie Projektami, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice 2002.

[3] Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003.