Szeregi czasowe

• Zbiór obserwacji danej cechy przeprowadzonych w kolejnych momentach {x_t}, gdzie t – 1, 2 … t numer obserwacji,

t – liczba obserwacji.

• Elementy szeregu czasowego x₁, x₂, x_3, x_4, x₅, x₆, …, x_t, x_t+1, …, x_T

Np. Stypendia studenckie w kolejnych latach 2000 – 2008 w zł

180 , 180, 190, 195, 200, 220, 220, 250

Dane w szeregach czasowych

• W postaci liczb w poziomach (200zł)

• W postaci miar względnych $\frac{\text{warto}sc\ \text{cec}hy\ w\ \text{poziomac}h}{\begin{matrix} \text{punkt}\ \text{odniesienia} \\ \end{matrix}}$

Np. 300zł/rok; 300zł/studenta; lub

Wskaźniki dynamiki – klasa miar względnych

Podstawowe to:

• Stopy wzrostu (indeksy – szersza kategoria);

• Tempa wzrostu.

Pojęcia wstępne:

• Absolutne różnice cechy x_t = x_t − x_t − i

• Różnice absolutne łańcuchowe X₂-x₁, x₃-x₂, x₄-x_3, x₅-x₄, x₆-x₅

• Różnice absolutne jednopodstawowe X₂-x₁, x₃-x₁, x₄-x_1, x₅-x₁, x₆-x₁

Stopy wzrostu

Są to stosunkowe różnice cechy I_t/t-i = $\frac{x_{t}}{x_{t - i}}$

Przykład: $I_{\frac{1982}{1980}} = \frac{\text{DN}_{1982}}{\text{DN}_{1980}} = \frac{4,6\text{bln}\ zl}{5,5\text{bln}\ zl} = 0,8364 \rightarrow 83,64\%$

Stopy wzrostu – rodzaje

• Jednopodstawowe $I_{\frac{2}{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$ , $I_{\frac{3}{1}} = \frac{x_{3}}{x_{1}}$, $I_{\frac{4}{1}} = \frac{x_{4}}{x_{1}}$, $I_{\frac{5}{1}} = \frac{x_{5}}{x_{1}}$

• Łańcuchowe $I_{\frac{2}{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$, $I_{\frac{3}{2}} = \frac{x_{3}}{x_{2}}$, $I_{\frac{4}{3}} = \frac{x_{4}}{x_{3}}$, $I_{\frac{5}{4}} = \frac{x_{5}}{x_{4}}$,

Tempa wzrostu

1. Oparte o przyrosty jednopodstawowe – rzadko używane $r_{1} = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1}}$ $r_{2} = \frac{x_{3} - x_{2}}{x_{1}}$ $r_{3} = \frac{x_{4} - x_{3}}{x_{1}}$

2. Oparte o przyrosty łańcuchowe $r_{1} = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1}}$ $r_{2} = \frac{x_{3} - x_{2}}{x_{2}}$ $r_{3} = \frac{x_{4} - x_{3}}{x_{3}}$

3. Związek między indeksem łańcuchowym a tempem wzrostu r = $\frac{x_{t} - x_{t - 1}}{x_{t - 1}} = \frac{x_{t}}{x_{t - 1}} - \frac{x_{t - 1}}{x_{t - 1}} = I_{\frac{t}{t - 1}} - 1$

czyli r=$I_{\frac{t}{t - 1}} - 1$ lub w ujęciu procentowym r=$I_{\frac{t}{t - 1}} - 100$

Statystyka opisowa

• Miary przeciętne

• Miary zmienności

• Miary asymetrii

• Miary koncentracji

• Przyrosty

• Indeksy

• Analiza zależności dwóch zmiennych

Średnia arytmetyczna – nieważona (z szeregu prostego)

$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$ gdzie x₁, …, x_n są obserwacjami pewnej zmiennej X, a n liczbą tych obserwacji

Średnia arytmetyczna – ważona (z szeregu rozdzielczego punktowego)

x	n
x1	n1
…	…
xk	nk
∑	N
x	fi
x1	f1
…	…
xk	fk

Średnia arytmetyczna – ważona (z szeregu rozdzielczego przedziałowego)

x	ni
x0-x1	n1
…	…
xk-1-xk	nk
∑	N

Średnia harmoniczna

Zadanie: w kolejnych kilometrowych odcinkach drogi zaobserwowano następujące prędkości samochodu: 105 110 90 95 100. Jaka była średnia prędkość samochodu?

Rozwiązanie: średnia prędkość jest jednakową prędkością, z jaką poruszałby się samochód w tym samym czasie po tej samej drodze.

Czas przejazdu: $t = \frac{1}{105} + \frac{1}{110} + \frac{1}{90} + \frac{1}{95} + \frac{1}{100}$

Średnia prędkość: $v_{sr} = \frac{5\text{km}}{\frac{1\text{km}}{105\text{km}/h} + \frac{1}{110} + \frac{1}{90} + \frac{1}{95} + \frac{1}{100}}$

• Dla szeregu prostego (średnia nieważona)

• Dla szeregu rozdzielczego punktowego (średnia ważona)

Uwaga: dla szeregów rozdzielczych przedziałowych należy zastąpić każde x_i odpowiednim środkiem klasowym.

Średnia geometryczna

Zadanie: Przez kolejnych 5 lat zaobserwowano następujące stopy wzrostu kapitału: 1.05 1.10 0.90 0.95 1.20. Jaka jest średnioroczna stopa wzrostu naszego kapitału?

Rozwiązanie: średnioroczna stopa wzrostu jest jednakowa we wszystkich badanych latach i daje po pięciu latach ten sam wynik z tego samego kapitału początkowego.

K_i – kapitał po i latach. Wówczas: K_i=K_i-1r_i gdzie r_i oznacza stopę wzrostu w roku i.

Otrzymujemy:

$\left. \ \begin{matrix} K_{1} = 1.05*K_{0} \\ K_{2} = 1.10*K_{1} \\ K_{3} = 0.90*K_{2} \\ K_{4} = 0.95*K_{3} \\ K_{5} = 1.20*K_{4} \\ \end{matrix} \right\}$ K₅ = 1.05 * 1.10 * 0.90 * 0.95 * 1.20 * K₀

Gdyby w każdym roku stopa wzrostu była równa r, to

K₅=r⁵*K₀ czyli r⁵=1.05*1.10*0.90*0.95*1.20

$$r = \sqrt[5]{1.05*1.10*0.90*0.95*1.20} - 1$$

• Dla szeregu prostego (średnia nieważona)

• Dla szeregu rozdzielczego punktowego (średnia ważona)

• Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego (średnia ważona)

$$\overset{\overline{}}{x_{g}} = \sqrt[{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}}]{\prod_{i = 1}^{k}x_{i}^{{0\ n}_{i}}}$$

Związki między średnimi

$$\frac{1}{\overset{\overline{}}{x}H} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}\frac{n_{i}}{x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{n_{i}\frac{1}{x_{i}}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \overset{\overline{}}{\left( \frac{1}{x} \right)}$$

$$\frac{1}{\overset{\overline{}}{x}H} = \overset{\overline{}}{\left( \frac{1}{x} \right)}$$

Średnia arytmetyczna – własności

$$\overset{\overline{}}{\left( x + y \right)} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}\left( x + y \right)_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}\left( x_{i} + y_{i} \right)}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}\left( n_{i}x_{i} + {n_{i}y}_{i} \right)}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} + \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}y}_{i}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \overset{\overline{}}{x} + \overset{\overline{}}{y}$$

Niech c ɛ R

$$\overset{\overline{}}{(c*x)} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}\left( c*x \right)_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}\text{cx}_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = c\frac{\sum_{i = 1}^{k}{n_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{k}n_{i}} = c*\overset{\overline{}}{x}$$

$$\overset{\overline{}}{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}c}{n} = \frac{\text{nc}}{n} = c$$

$$\overset{\overline{}}{(x - \overset{\overline{}}{x})} = \overset{\overline{}}{x} - \overset{\overline{}}{x} = 0$$

Średnie pozycyjne – dominanta

• Dominantą zamiennej skokowej jest jej wartością najczęściej się powtarzającą, czyli wartość o największej liczebności lub częstości

• Dominantą zmiennej ciągłej jest liczba wokół której skupiona jest lokalnie największa liczba obserwacji tej zmiennej

Dominanta - geometria

Dominanta – algebra

D = x_0D + z

$$\frac{z}{h_{D} - z} = \frac{n_{D} - n_{D - 1}}{n_{D} - n_{D + 1}}$$

z(n_D−n_D + 1) = (h_D−z)(n_D − n_D − 1)

z(n_D−n_D + 1+n_D−n_D − 1) = h_D(n_D − n_D − 1)

$$z = h_{D}\frac{n_{D} - n_{D - 1}}{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right) + (n_{D} - n_{D + 1})}$$

$$D = x_{0D} + h_{D}\frac{n_{D} - n_{D - 1}}{\left( n_{D} - n_{D - 1} \right) + (n_{D} - n_{D + 1})}$$

Średnia arytmetyczna – problemy

• Dobra miara, gdy zbiorowość jest w miarę jednorodna względem badanej cechy, czyli poszczególne jednostki nie różnią się od siebie zbytnio, średnia jest punktem, wokół którego skupiają się wartości cechy większości jednostek zbiorowości

• Jest wrażliwa na skrajne wartości

• Gdy szereg jest wielostopniowy przyjęcie środka przedziału zamiast średniej w przedziale powoduje, że popełniamy błąd In minus (nie doszacujemy sumy wartości cechy) w przedziałach przed średnią, In plus za średnią

• Średnie opierają się o wartości cechy dla każdej jednostki statystycznej. Brak danych o jakiejkolwiek wartości cechy wyklucza w zasadzie możliwości obliczenia średniej. Poważnym problemem zatem staje się szereg z otwartymi przedziałami skrajnymi

Dominanta – problemy

• Nie można jej używać gdy cecha nie wykazuje tendencji do skupiania się jednostek wokół jakiejkolwiek wartości lub wykazuje tendencję do skupiania się wokół kilku wartości (szeregi wielomodalne)

• Szereg wielostopniowy musi mieć równe przedziały klasowe, jeśli nie ma musimy stosować wzór z przekształconymi przedziałami

• Nie należy jej używać gdy szereg jest skrajnie asymetryczny, a nie da się policzyć sla szeregu wielostopniowego skrajnie asymetrycznego o otwartych przedziałach klasowych

• W przypadku mało licznych przedziałów klasowych szeregu rozdzielczego dominanta może być przypadkową wartością, należy więc być bardzo ostrożnym przy jej obliczaniu i interpretacji, zwłaszcza w przypadku szeregów cechy ciągłej

Kwantyle rzędu Ө (Өɛ(o,1))

• Kwantylem rzędu Ө zmiennej X nazywamy liczbę q_Ө taką, że częstość obserwacji mniejszych od q_Ө jest ≤ Ө, natomiast częstość obserwacji niewiększych od q_Ө jest ≥ Ө

• Kwantylem rzędu Ө zmiennej ciągłej X nazywamy liczbę q_Ө taką, że częstość obserwacji mniejszych odd q_Ө jest =Ө, zatem F_x(q_Ө)=Ө. Gdzie F_x jest dystrybuantą zmiennej X

Kwantyl rzędu Ө-q_Ө

x	Licz.	l.sk.
0-10	5	5
10-20	15	20
20-30	30	50
30-40	60	110
40-50	55	165
50-60	45	210
60-70	40	250
70-80	30	280
80-90	20	300

Kwantyle rzędu q(q∈(0,1))

$$q_{\theta} = x_{0q} + z = x_{0q} + h\frac{\theta N - n_{0q}^{\text{sk}}}{n_{q}}$$

Kwartyle – MEDIANA

$Me = x_{0q} + h\frac{\frac{2}{4}N - n_{0q}^{\text{sk}}}{n_{q}}$ cecha ciągła

q_0.5 - mediana – Me

Liczba obserwacji mniejszych od mediany (Me) jest równa połowie wszystkich obserwacji

50% Me 50%

MEDIANA cechy skokowej

$$Me = \left\{ \begin{matrix} x_{\frac{N + 1}{2}\ },\ \ \ dla\ N\ nieparzystych \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N + 1}{2}}}{2},\ dla\ N\ parzystych \\ \end{matrix} \right.\ $$

q_0.25 – kwartyl pierwszy – Q₁

Liczba obserwacji mniejszych od kwartyla pierwszego (Q₁) jest równa jednej czwartej wszystkich obserwacji

25% Q₁ 75%

q_0.75 – kwartyl trzeci – Q₃

Liczba obserwacji mniejszych od kwartyla pierwszego (Q₃) jest równa trzem czwartych wszystkich obserwacji

75% Q₁ 25%

Decyle

$$q_{\frac{6}{10}} = x_{0q} + h\frac{\frac{6}{10}N - n_{0q}^{\text{sk}}}{n_{q}}$$

q_0.6 - decyl szósty – d₆

Liczba obserwacji mniejszych od decyla szóstego (d₆) jest równa sześciu dziesiątym wszystkich obserwacji

60% d₆ 40%

Centyle

$$q_{\frac{7}{100}} = x_{0q} + h\frac{\frac{7}{100}N - n_{0q}^{\text{sk}}}{n_{q}}$$

q_0.07 – centyl siódmy – p₇

Liczba obserwacji mniejszych od centyla siódmego (p₇) jest równa siedmiu setnym wszystkich obserwacji

7% p₇ 93%

Miary zmienności

1. Zakres zmienności = x_max-x_min

2. Odchylenie przeciętne

$$d = \left\{ \begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n}\left| x_{i} \right.\ - \overset{\overline{}}{x}|/n \\ \sum_{i = 1}^{k}n_{i}\left| x_{i} \right.\ - \overset{\overline{}}{x}|/\sum_{i = 1}^{k}n_{i} \\ \sum_{i = 1}^{k}n_{i}\left| x_{i}^{0} \right.\ - \overset{\overline{}}{x}|/\sum_{i = 1}^{k}n_{i} \\ \end{matrix} \right.\ $$

d ≥ 0

d = 0 V X = c    c ∈ R

1. Wariancja

$$s^{2} = \left\{ \begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}/n \\ \sum_{i = 1}^{k}{n_{i}(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}/\sum_{i = 1}^{k}n_{i} \\ \sum_{i = 1}^{k}{n_{i}(x_{i}^{0} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}/\sum_{i = 1}^{k}n_{i} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Własności wariancji

s_x² ≥ 0 s_x² = 0 V X = r r∈R

$s_{x}^{2} = \overset{\overline{}}{{(r - \overset{\overline{}}{r})}^{2}} = \overset{\overline{}}{{(r - r)}^{2}} =$(0)²=0

$$s_{X + r}^{2} = \overset{\overline{}}{\left( \left( X + r \right) - \overset{\overline{}}{X + r} \right)^{2}} = \overset{\overline{}}{\left( \left( X + r \right) - \overset{\overline{}}{X} - r \right)^{2}} = \overset{\overline{}}{\left( X - \overset{\overline{}}{X} \right)^{2}} = s_{X}^{2}$$

$$s_{\text{rX}}^{2} = \overset{\overline{}}{{(rX - \overset{\overline{}}{\text{rX}})}^{2}} = \overset{\overline{}}{{(rX - r\overset{\overline{}}{X})}^{2}} = \overset{\overline{}}{{(r(X - \overset{\overline{}}{X}))}^{2}} = \overset{\overline{}}{{r^{2}(X - \overset{\overline{}}{X})}^{2}} = r^{2}{(X - \overset{\overline{}}{X})}^{2} = r^{2}s_{X}^{2}$$

$$s_{X}^{2} = \overset{\overline{}}{\left( X - \overset{\overline{}}{X} \right)^{2}} = \overset{\overline{}}{({X^{2} - 2X\overset{\overline{}}{X} + \overset{\overline{}}{X}\ }^{2})} = \overset{\overline{}}{X^{2}} - \overset{\overline{}}{2X\overset{\overline{}}{X}} + \overset{\overline{}}{{\overset{\overline{}}{X}}^{2}} = \overset{\overline{}}{X^{2}} - 2\overset{\overline{}}{X}\overset{\overline{}}{X} + {\overset{\overline{}}{X}}^{2} = \overset{\overline{}}{X^{2}} - {\overset{\overline{}}{X}}^{2}$$

1. Odchylenie standardowe - s - jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej

Własności: s_X ≥ 0 s_X = 0 V X = r r ∈ R

$$s_{X + r} = \sqrt{s_{X + r}^{2}} = \sqrt{s_{X}^{2}} = s_{X}$$

$$s_{\text{rX}} = \sqrt{s_{\text{rX}}^{2}} = \sqrt{r^{2}s_{X}^{2}} = |r|s_{X}$$

1. Odchylenie ćwiartkowe - Q - jest to parametr określający odchylenie wartości cechy od mediany. Mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek; po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% jednostek o wartościach największych

1. Typowe obszary zmienności – $\left( \overset{\overline{}}{x} - s_{X},\ \overset{\overline{}}{x} + s_{X} \right)$ (Me-Q, Me+Q)

2. Współczynniki zmienności (miary względne) –

$$V_{d} = \frac{d_{X}}{\overset{\overline{}}{x}}*100\%$$

$$V_{Q} = \frac{Q_{X}}{\text{Me}}*100\%$$

$$V_{Q_{1}Q_{3}} = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{Q_{3} + Q_{1}}*100\%$$