Potrzebne definicje, wzory i oznaczenia

1. Niech i będą liczbami dodatnimi

• liczbę nazywamy średnią arytmetyczną liczb i

• liczbę nazywamy średnią geometryczną liczb i

2. Wzory, które trzeba pamiętać

• suma początkowych liczb naturalnych 

 

• suma kolejnych potęg (od zera do ) liczby 

 

3. Niech będzie funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, krótko:

Taką funkcję nazywamy ciągiem liczbowym, "ciągiem " i zamiast powyższego oznaczenia piszemy
Wartości tej funkcji, czyli oznaczamy 
i nazywamy wyrazami ciągu 

4. Ciąg jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej, każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego, czyli

5. Ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej, każdy następny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego, czyli

6. Definicja rekurencyjna ciągu
Podajemy wartość wyrazu pierwszego lub kilku pierwszych wyrazów oraz regułę wg której można obliczyć wyraz gdy znamy wyrazy poprzednie.

Np. sławny ciąg, który zwykle definiuje się rekurencyjnie - ciąg Fibonacciego (o nim na naszych stronach w tekście "Ciąg Fibonacciego"). Zdefiniowany jest tak:

 Jego początkowe wyrazy to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...   

 

Ciąg arytmetyczny

Definicja rekurencyjna

jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba , że dla każdego zachodzi równość:
                                            
                                           czyli
Wyraz pierwszy należy podać.

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego - oprócz pierwszego - otrzymujemy dodając do poprzedniego tą samą liczbę .
Liczbę nazywa się różnicą ciągu.

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

Ciąg arytmetyczny jest określony, jeżeli znamy jego wyraz pierwszy i różnicę . Wtedy:

 

...

 

Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Definicja przez podanie wyrazu ogólnego

Ciąg , którego wyraz ogólny ma postać
                        , gdzie 
jest ciągiem arytmetycznym.

Własności ciągu arytmetycznego

• Monotoniczność - ciąg arytmetyczny jest:

- rosnący, gdy
- stały, gdy
- malejący, gdy

• Jeżeli jest ciągiem arytmetycznym, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu

zachodzi równość

która oznacza, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.

Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

Przez oznaczamy sumę kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego

Łatwo jest pokazać, że

Równości te wynikają z tego, że suma wyrazów ciągu arytmetycznego równo odległych od początku i końca ciągu jest taka sama i równa

Piszemy

 

i po dodaniu stronami otrzymujemy:

a stąd

O pewnych ciągach arytmetycznych (i innych)

• Kolejne liczby naturlane 1,2,3, ... , , ... tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1,  
  Ze wzoru na otrzymujemy:

czyli wzór na sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do . Suma taka pojawia się często nie tylko w matematyce, czy fizyce.

• Weźmy sumę kolejnych liczb nieparzystych

oczywiście

• W 1837r Lejeune Dirichlet udowodnił bardzo ważne, klasyczne twierdzenie o postępie arytmetycznym

Jeśli i są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi to ciąg arytmetyczny zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.

              Np. każdy z poniższych ciągów zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych:
                1.
                2.
                3.

• Jeszcze o sumach ciągów, które nie są ciągami arytmetycznymi
  1. suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do

2. suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych od 1 do

Takie sumy pojawiają się często w fizyce i różnych działach matematyki. Warto więc pamiętać wyrażające je wzory:

 

Ciąg geometryczny

Definicja rekurencyjna

Niech  będzie wyrazem pierwszym ciągu oraz niech dla każdego zachodzi równość Tak określony ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym, a liczbę nazywamy ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny jest określony, gdy znamy jego wyraz pierwszy  i iloraz 
Z definicji tej wynika też, że stosunek wyrazu następnego do poprzedniego, dla wszystkich wyrazów, jest stały.

Zgodnie z powyższą definicją mamy:

 

...

 

Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Definicja przez podanie wyrazu ogólnego

Ciąg , którego wyraz ogólny ma postać 
                         , gdzie 
jest ciągiem geometrycznym.

Własności ciągu geometrycznego

• Monotoniczność - ciąg geometryczny, którego wyraz pierwszy jest:

- rosnący, gdy
- stały, gdy
- malejący, gdy

• Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu

zachodzi równość

która oznacza, że każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.

Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego

Przez  oznaczamy sumę  kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego

Łatwo jest udowodnić, że dla kązdego i zachodzi

W podręcznikach szkolnych podaje się zwykle następujący dowód

Odejmujemy te równości stronami i otrzymujemy

a stąd mamy

Zbieramy wzory do zapamiętania 
                             
                                 
           

 

Szereg geometryczny

Niech będzie nieskończonym ciągiem liczowym. Wyrażenie 
                    
nazywamy szeregiem nieskończonym, a liczby wyrazami tego szeregu. 

Zamiast przedstawionej powyżej nieskończonej sumy, stosuje się też symbol

Dodając wyrazy ciągu tworzymy ciąg sum

 

...
...

 

Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych danego szeregu.

Sumą szeregu  nazywamy granicę ciągu sum częściowych jeżeli granica ta istnieje.
                                                  

Piszemy wtedy

nadając w ten sposób sens liczbowy symbolowi 

Jeżeli suma jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, w przeciwnym razie (gdy suma jest równa lub granica wcale nie istnieje) nazywamy go rozbieżnym. 

Najprostszym przykładem szeregu nieskończonego jest szereg geometryczny

Jego -ta suma częściowa jest równa

Ciąg ma granicę skończoną, gdy   równą

Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie  i ilorazie jest zbieżny, jeżeli

Jego suma jest wtedy równa    

Zadania, w których pojawia się szereg geometyczny bardzo często pojawiały się na maturach, dlatego ich przykłady znajdziecie poniżej.

Zad_1
Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie
Lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym, w którym i ma sens liczbowy, gdy tzn dla
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór jest to dziedzina danej nierówności. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, dla należących do dziedziny, mamy nierówność

czyli

która jest równoważna nierówności 

Rozwiązaniem początkowej nierówności są takie wartości  które spełniają ostatnią nierówność i należą do dziedziny.
Po obliczeniach otrzymujemy odpowiedź

Zad_2
Rozwiąż równanie

Rozwiązanie
Przestawiając wyrazy i zmieniając kolejność sumowania, lewą strone zapisujemy w postaci

Mamy dwa szeregi geometryczne o ilorazach  i 

Lewa strona równania ma sens liczbowy dla spełniających układ nierówności

czyli i  
Dziedziną równania jest więc zbiór Dla korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy równianie

Licznik ułamka zeruje się dla i  Z nich tylko należy do dziedziny równania, jest więc rozwiązaniem równania.

Uwaga. Przyjęliśmy, że można przestawiać i grupować wyrazy szeregu - można to robić tylko dla szeregów bezwzględnie zbieżnych!

 

 

Procent składany

W matematyce finansowej występują pojęcia stopy procentowej, kapitału początkowego, kapitalizacji itp, które są używane do określania korzyści płynących w używania kapitału. 

Pojęcie takie, jak kapitał początkowy, kapitał końcowy nie wymagają objaśnienia. Roczna stopa procentowa, to stosunek odsetek do kapitału, który je wygenerował. Np. gdy wpłacimy na roczną lokatę 1000zł, z której po roku otrzymamy 1080zł, to mamy odsetki w wysokości 80zł. Roczna stopa procentowa wynosi

Kapitalizacja polega na powiększaniu kapitału o odsetki wygenerowane przez ten kapitał.
Przyjmujemy oznaczenia:

• - początkowa wartość kapitału (kapitał początkowy),

• - roczna stopa oprocentowania (stopa roczna),

• - czas oprocentowania wyrażony w latach.

Obliczamy kapitał jaki będziemy mieli po roku, dwóch latach, ..., latach, gdy mamy oprocentowanie składane, tzn. gdy odsetki oblicza się co roku i kapitalizuje się je na koniec każdego roku.

• Kapitał początkowy -

• Na koniec pierwszego roku - bo do kapitału początkowego dopisuje się odsetki (kapitalizuje się) równe

• Na koniec drugiego roku - bo do dopisuje się odsetki równe i mamy

•  ...

• Kapitał końcowy po latach -

Wypiszmy te wartości kapitału:

Widać, że tworzą one ciąg geometryczny o wyrazie początkowym i ilorazie jest to więc ciąg rosnący i jak każdy taki ciąg geometryczny rośnie bardzo szybko, gdy weźmiemy odpowiednio dalekie wyrazy.
Chyba warto wspomnieć, że jest też oprocentowanie proste, gdy procent oblicza się od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości oprocentowania. W poprzednich oznaczeniach, po latach będziemy mieli kapitał końcowy o wartości:
bo do kapitału początkowego dodamy odsetki
Zauważmy, że dla oprocentowanie składane jest znacznie korzystniejsze niż oprocentowanie proste, bo