Test Manna – Whitney’a:

Założenia: wartości analizowanej cechy w dwóch populacjach wyrażone są co najmniej w skali porządkowej.

Dane: wyniki prób
liczebność prób
poziom istotności alfa

Cel: weryfikacja H0 względem H1

Hipotezy: H0: wyniki obydwu prób pochodzą z jednej populacji
H1: wyniku obydwu prób pochodzą z różnych populacji
ale możliwe jest sformułowanie hipotezy jednostronnej Hi: wyniki w jednej populacji osiągają wyższe (/niższe) wartości niż w drugiej

Tok obliczeń:
-wyniki obydwu prób obliczeniowych n1 i n2 porządkuje się narastająco w jednym wspólnym ciągu wartości, zachowując informacje z której pochodzą próby(próbę o mniejszej liczebności oznaczamy numerem 1
-wartościom we wspólnym uporządkowanym ciągu przypisuje się rangi (numery pozycji, jakie zajmują w tym ciągu)
-jednokrotnym wartościom (jeżeli istnieją) nadaje się uśrednianie rangi (średnia arytmetyczna pozycji, na których znajdują się identyczne wartości)
-rozdzielamy rangi przypisane wynikom obydwu prób
-oblicza się sumę rang (R1) przypisanych wynikom próby 1

Jeżeli mamy prawdziwość H0 to rozkład sumy rang zależy jedynie od n1 i n2.

Wnioskowanie: gdy 3<=n1<=n2<=10 z tablicy właściwego rozkładu (z uwzględnieniem typu obszaru krytycznego) odczytuje się prawdopodobieństwo „p” uzyskania sumy rang mniejszej bądź równej R1.
Jeżeli p<=alfa przyjmujemy H1
Jeżeli p>alfa nie mamy podstaw do odrzucenia H0.
gdy n1>10 i/lub n2>10 obliczamy: m=$\frac{n1(n1 + n2 + 1)}{2}$ ; $\sigma^{2} = \ \frac{n1n2(n1 + n2 + 1)}{12}$
oraz wartości statystyki U: U = $\frac{R1 - m \pm 0,5}{\sigma}$ przy czym +0,5 gdy R1<m
-0,5 gdy R1>m

Gdy mamy prawdziwość H0 to statystyka U ma rozkład N(0,1)

Korekta na rangi wiązane:
$\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{n}\mathbf{1}\mathbf{n}\mathbf{2}}{\left( \mathbf{n}\mathbf{1 + n}\mathbf{2} \right)\left( \mathbf{n}\mathbf{1 + n}\mathbf{2 + 1} \right)}\mathbf{(}\frac{\mathbf{(n}\mathbf{1 + n}\mathbf{2}\mathbf{)}^{\mathbf{3}}\mathbf{- \ (n}\mathbf{1 + n}\mathbf{2)}}{\mathbf{12}}\mathbf{- \ }\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{g}}\frac{\mathbf{t}^{\mathbf{3}}\mathbf{j - \ }\mathbf{t}_{\mathbf{j}}}{\mathbf{12}}\mathbf{\ )}$
g- liczba grup rang wiązanych
tj – liczba rang wiązanych w grupie j

Test sumy rang – Kruskalla Wallisa:
Założenia: wartości analizowanej cechy w kilku populacjach wyrażone są w skali co najmniej porządkowej

Dane: wyniki prób
liczebność prób
liczba populacji
poziom istotności alfa

Cel: na podstawie wyników k zweryfikować H0 względem H1

Hipotezy: H0: wyniki k próby nie różnią się istotnie (próby należą do jednej populacji)
H1: wyniki k prób różnią się istotnie (próby nie należą do jednej populacji)

Obliczenia (przykład dla k=3):
-wyniki pomiarów: x11 x12 … x1j … x1n1
x21 x22 … x2j … x2n2
x31 x32 … x3j … x3n3
-wyniki pomiarów do uporządkowania
x3n3, x12, x22, x11, ……………………………………………….
-Rangi 1,2,3,4,…………………………………………,n1+n2+n3
-Statystyka kW
kW = $\frac{12}{n(n + 1)}\sum_{i = 1}^{k}{\frac{Ri^{2}}{\text{ni}} - \ 3(n + 1)}$

Wnioskowanie:
przy założeniu prawdziwości H0 statystyka kW ma rozkład zależny jedynie od k oraz oraz liczebności ni (tablice wartości krytycznych).
Jeżeli kW>=kWα,_{k, n1-nk} to przyjmujemy H1
gdy kW<kWα,_{k, n1-nk} to nie mamy podstaw do odrzucenia H0

Przy założeniu prawdziwości H0 gdy k>3 i/lub choć jedna z liczebności ni>5 statystyka kW ma rozkład zbliżony do rozkładu hi^2 o df=k-1 stopniach swobody.
Decyzje o odrzuceniu bądź braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej podejmuje się na identycznych zasadach jak w przypadku każdego testu wykorzystującego statystyke hi^2.

Poprawka na rangi mieszane:
jeżeli w trakcie „rangowania” zachodzi konieczność obliczenia uśrednionych wartości rang (rangi wiązane) wzór do obliczenia wartości statystki kW przyjmuje postać:
kWp=kW/PkW
przy czym wartość PkW oblicza się ze wzoru:
PkW=1-$\frac{\sum_{j = 1}^{g}{(t^{3}j - tj)}}{n^{3} - n}$ (wartość poprawki w przedziale 0-1)

Test rangowanych znaków Wilcoxona:

Założenia: -wartości analizowanej cechy wyrażone są w skali różnicowej/ilorazowej
-dwukrotny pomiar badanej cechy : przed i po
-zadziałanie czynnika zewnętrznego

Dane: -wyniki próby
-liczebność próby
-poziom istotności alfa

Cel: na podstawie wyników próby zweryfikować H0 względem H1

Hipotezy: H0: obydwie serie pomiarowe należą do jednej populacji (czynnik zewnętrzny nie wywołał istotnych zmian)
H1: między badanymi seriami wyników istnieje istotna różnica (istotny wpływ czynnika zewnętrznego)

Obliczenia: -różnice pomiarów (po – przed) z
-różnice z1 z2 0 … zi … Zn-2 … 0 zn
-różnice bezwzględne
PRZYPORZĄDKOWANIE RÓŻNIC BEZWZGLĘDNYCH W CIĄGU
NIEMALEJĄCYM
-Różnice 0 , Zn-2 ……………………
-Różnice bezwzględne
-Rangi
-Rangi (-)
-Rangi (+)

Wnioskowanie: Statystyka R(-) lub R(+) ma przy założeniu prawdziwości H0 rozkład zależny jedynie od liczebności próby n (tablice).
Z tablicy tego rozkładu….
Jeżeli p<=alfa to odrzucamy H0
gdy p>alfa nie mamy podstaw do odrzucenia H0
Jeżeli liczebność próby n (liczebność różnic różnych od zera) przekracza liczbę 15 to statystyka R ma asymptotyczny rozkład normalny N(m,σ) przy czym:
m=$\frac{n(n + 1)}{4}$ ; $\sigma = \sqrt{\frac{n\left( n + 1 \right)(2n + 1)}{24}}$

Weryfikacja hipotezy zerowej wymaga standaryzacji wartości statystycznych R wg wzoru:
u=(R-m)/sigma
Statystyka u ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1).
Korekta na rangi wiązane:
sigma = $\sqrt{\frac{n\left( n + 1 \right)(2n + 1)}{24} - \ \frac{1}{48}\ \sum_{j = 1}^{g}{(t^{3}j + \ \ tj)}}$