SPRAWOZDANIE Z WYKONANIA ĆWICZENIA

POPRAWA

Elżbieta Tchorowska

18.10.2012

Dr T. Ossowski

Rok:2, kierunek: fizyka

Czwartek, godz. 10:30

Ćwiczenie nr 9,

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ JEDNOSTRONNEGO ROZCIĄGANIA

1. Przyrządy pomiarowe: Dokładność:

………metrówka…..………………... …………..1mm……..

………śruba mikrometryczna………. …………..0,01mm…..

………………………………………. ………………………..

………………………………………. ………………………..

1. Tabela pomiarowa

Pomiar I	Pomiar II	Pomiar III	Pomiar IV	Pomiar V
Średnica drutu	0,8mm	0,79mm	0,8mm	0,79mm
Średnica wsk.	0,94mm -> 11 działek na lunecie

Nr	Obciążenie [kg]	Wydłużenie drutu I [j]	Wydłużenie drutu II [j]	Nr	Obciążenie	Wydłużenie drutu I [j]	Wydłużenie drutu II [j]
1.	0,5	0	0	15.	7,0	12	14
2.	1,0	1	1	16.	6,5	12	13
3.	1,5	2	4	17.	6,0	10	12
4.	2,0	3	5	18.	5,5	9	12
5.	2,5	5	6	19.	5,0	8	10
6.	3,0	5	7	20.	4,5	8	10
7.	3,5	6	7	21.	4,0	7	9
8.	4,0	8	9	22.	3,5	7	9
9.	4,5	8	10	23.	3,0	6	8
10.	5,0	9	11	24.	2,5	5	6
11.	5,5	9	11	25.	2,0	4	5
12.	6,0	10	12	26.	1,5	1	4
13.	6,5	11	13	27.	1,0	1	2
14.	7,0	11	14	28.	0,5	0	1

Dokładność wykonanych pomiarów wydłużenia drutu wynosi 1 jednostka

1. Wyjaśnienie niezbędnych pojęć:

Własności sprężyste ciał stałych – jeśli na ciało działamy jakąś siłą, to ciało to ulega odkształceniu. Wyróżniamy dwa typy odkształceń: sprężyste (ciało wraca do poprzedniego kształtu) i plastyczne (ciało nie wraca do poprzedniego kształtu).

Deformacja ciała stałego – zmiana wymiarów i objętości ciała, spowodowana najczęściej działaniem temperatury bądź przyłożeniem siły.

Odkształcenie bezwzględne – różnica końcowego i początkowego wymiaru ciała lub jego elementu

Odkształcenie względne – odkształcenie bezwzględne odniesione do wymiaru początkowego

Prawo Hooke’a i zakres jego stosowalności – prawo to mówi, że odkształcenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do tego ciała. Prawo to działa w sposób przybliżony, dla niezbyt dużych sił i odkształceń.

1. obszar stosowalności prawa Hooke’a

2. obszar sprężystości

3. początkowy obszar odkształceń trwałych

4. obszar plastyczności

5. obszar poprzedzający zerwanie

źródło: http://www.fizykon.org/statyka_osr_ciagle/sprezystosc_prawo_hooke_stosowalnosc.htm

Współczynniki charakteryzujące sprężystość ciał i zależności między nimi – najczęściej spotykanym współczynnikiem tego typu jest współczynnik sprężystości, który wynosi:

$$k = \frac{\text{mg}}{x_{0}}$$

Definicja i wymiar modułu Younga – moduł Younga jest wartością określającą sprężystość materiału. Wyraża on charakterystyczną dla danego materiału zależność odkształcenia względnego liniowego do naprężenia. Jednostką modułu jest Pa, czyli N/m2.

Sposób wyznaczania modułu Younga metodą jednostronnego rozciągania – podczas rozciągania ciała, odległość między cząsteczkami ciała rośnie, przez co rośnie również energia cząsteczek. Wywołuje to stan nierównowagi. Jeśli w wyniku rozciągania ulega zmianie tylko jeden wymiar ciała, to mówimy o rozciąganiu jednostronnym. Mierząc wtedy stosunek długości wydłużenia ciała do długości ciała nierozciągniętego możemy określić iloczyn naprężenia i modułu sprężystości.

Inne metody pomiaru modułu Younga – moduł możemy zbadać metodą dynamiczną. Polega ona na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora w postaci pręta, obciążonego ciałem o momencie bezwładności I.

Śruba mikrometryczna i dokładność pomiaru - W celu pomiaru śrubą mikrometryczną wkładamy mierzony przedmiot między kowadełko i wrzeciono śruby mikrometrycznej (rys. 4-10) i pokręcamy bębnem ze sprzęgłem oraz nakrętką aż do uzyskania charakterystycznego grzechotania (wrzeciono jest wtedy dociśnięte do powierzchni mierzonego przedmiotu). Odczytujemy wynik pomiaru. Milimetry i połówki milimetra odczytujemy na podziałce wzdłużnej. Setne części milimetra odczytujemy na podziałce poprzecznej, licząc działki od zera do kresy podziałki poprzecznej, odpowiadającej przedłużeniu wzdłużnej kresy tulei stałej.

Źródło: http://www.if.pwr.wroc.pl/lpf/informacje/psm.pdf

1. Niezbędne wzory:

   1. Moduł Younga:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$

1. Prawo Hooke’a:

$l = K\frac{Fl_{0}}{S}$,

1. Siła potrzebna do rozciągnięcia sprężyny:

F = kx

1. Niezbędne przekształcenia:

   1. W pierwszej kolejności wyliczamy wartość średnią wydłużenia drutu (bez zamiany jednostek na metry):

Dla obciążenia 1 kg przy zwiększaniu obciążenia:

$$\overset{\overline{}}{l} = \frac{1 + 1}{2} = 1$$

Nr	Obciążenie [kg]	Śr. wydłużenie drutu [j]	Nr	Obciążenie	Śr. wydłużenie drutu [j]
1.	0,5	0	15.	7,0	13
2.	1,0	1	16.	6,5	12,5
3.	1,5	3	17.	6,0	11
4.	2,0	4	18.	5,5	10,5
5.	2,5	5,5	19.	5,0	9
6.	3,0	6	20.	4,5	9
7.	3,5	6,5	21.	4,0	8
8.	4,0	8,5	22.	3,5	8
9.	4,5	9	23.	3,0	7
10.	5,0	10	24.	2,5	5,5
11.	5,5	10	25.	2,0	4,5
12.	6,0	11	26.	1,5	2,5
13.	6,5	12	27.	1,0	1,5
14.	7,0	12,5	28.	0,5	0,5

Dokładność średniego wydłużenia drutu zależy od dokładności poszczególnych składników średniej i wynosi 1 jednostkę.

1. Przeliczenie jednostek z lunety na milimetry:

Dla obciążenia 1 kg przy zwiększaniu obciążenia:

$$1j = \frac{0,94mm}{11j}*1 = 0,085mm$$

Nr	Obciążenie [kg]	Śr. długość drutu I [mm]	Nr	Obciążenie	Śr. długość drutu I [mm]
1.	0,5	0	15.	7,0	1,11
2.	1,0	0,085	16.	6,5	1,068
3.	1,5	0,25	17.	6,0	0,94
4.	2,0	0,34	18.	5,5	0,90
5.	2,5	0,47	19.	5,0	0,77
6.	3,0	0,51	20.	4,5	0,77
7.	3,5	0,56	21.	4,0	0,68
8.	4,0	0,73	22.	3,5	0,68
9.	4,5	0,77	23.	3,0	0,60
10.	5,0	0,85	24.	2,5	0,47
11.	5,5	0,85	25.	2,0	0,38
12.	6,0	0,94	26.	1,5	0,21
13.	6,5	1,025	27.	1,0	0,13
14.	7,0	1,068	28.	0,5	0,042

Przyjęto zaokrąglenie do dwóch cyfr znaczących z powodu bardzo małych wyników pomiarów. Zaokrąglenie do dwóch miejsc po przecinku może spowodować znaczący spadek precyzji. Z powodu dokładności do jednej jednostki, dokładność otrzymanych wyników wynosi 0,085mm.

1. Niezbędne obliczenia:

   1. Obliczenie siły działającej na drut przy danym obciążeniu

Dla obciążenia 1kg:

F = m * g = 1 * 9, 81[N]

Nr	Obciążenie [kg]	Siła [N]
1.	0,5	4,91
2.	1,0	9,81
3.	1,5	14,72
4.	2,0	19,62
5.	2,5	24,53
6.	3,0	29,43
7.	3,5	34,34
8.	4,0	39,24
9.	4,5	44,15
10.	5,0	49,05
11.	5,5	53,96
12.	6,0	58,86
13.	6,5	63,77
14.	7,0	68,67

Dokładność siły zależy tylko od dokładności przyjętej stałej przyspieszenia grawitacyjnego (zaokrąglenie do wartości 9,81) i wynosi 0,01 N.

Musimy sprawdzić, czy podane zależności mieszczą się w stosowalności prawa Hooke’a (czerwona część wykresu):

Dla zwiększania obciążenia:

Dla zmniejszania obciążenia:

1. Zależność przyłożonej siły do wydłużenia jest liniowa, więc można założyć, że zarówno przy zwiększaniu jak i zmniejszaniu obciążenia stosowalność prawa Hooke’a jest zachowane.

2. Obliczenie modułu Younga

   1. Korzystamy ze wzoru:

$$E = \frac{F*l_{0}}{S*l} = \frac{\text{mg}l_{0}}{Sl}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack,\ $$

S − pole przekroju drutu = πr² = 3, 14 * (0, 796*10⁻³)² = 1, 99 * 10⁻⁶[m²]

l₀ − dlugosc drutu = 1[m]

l − wydluzenie drutu

Obliczenia dla :

Nr	Obciążenie [kg]	Śr. długość drutu I [mm]
2.	1,0	0,085

$$E = \frac{1*9,81*1}{1,99*10^{- 6}*0,085*10^{- 3}} = 5,8*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$

1. Tabela z wynikami dla zwiększania obciążenia:

Nr	Obciążenie [kg]	Śr. długość drutu I [mm]	Moduł Younga [N/m2]
1.	0,5	0	0
2.	1,0	0,085	5, 8 * 10^10
3.	1,5	0,25	2, 96 * 10^10
4.	2,0	0,34	2, 9 * 10^10
5.	2,5	0,47	2, 62 * 10^10
6.	3,0	0,51	2, 9 * 10^10
7.	3,5	0,56	3, 08 * 10^10
8.	4,0	0,73	2, 7 * 10^10
9.	4,5	0,77	2, 88 * 10^10
10.	5,0	0,85	2, 9 * 10^10
11.	5,5	0,85	3, 19 * 10^10
12.	6,0	0,94	3, 15 * 10^10
13.	6,5	1,025	3, 13 * 10^10
14.	7,0	1,068	3, 23 * 10^10

$$3,19*10^{10}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

1. Tabela z wynikami dla zmniejszania obciążenia:

Nr	Obciążenie [kg]	Śr. długość drutu I [mm]	Moduł Younga [N/m2]
15.	7,0	1,11	3, 11 * 10^10
16.	6,5	1,068	3, 00 * 10^10
17.	6,0	0,94	3, 15 * 10^10
18.	5,5	0,90	3, 01 * 10^10
19.	5,0	0,77	3, 20 * 10^10
20.	4,5	0,77	2, 88 * 10^10
21.	4,0	0,68	2, 90 * 10^10
22.	3,5	0,68	2, 54 * 10^10
23.	3,0	0,60	2, 46 * 10^10
24.	2,5	0,47	2, 62 * 10^10
25.	2,0	0,38	2, 59 * 10^10
26.	1,5	0,21	3, 52 * 10^10
27.	1,0	0,13	3, 79 * 10^10
28.	0,5	0,042	5, 87 * 10^10

$$3,20*10^{10}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

1. Wartość średnia z wartości średnich dla obydwu tablic:

$$\overset{\overline{}}{E} = \frac{\left( 3,20*10^{10} \right) + (3,19*10^{10})}{2} = 3,195*10^{10}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

1. Obliczenie niepewności pomiarowej:

Dla każdego z pomiarów zastosowano:

$u = \sqrt{\frac{1}{27*(27 - 1)}*282,12*10^{20}} = 4,02*10^{9}\lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$

Dzielono przez 27 niezerowych pomiarów.

1. Wnioski

Materiał	Moduł Younga (E) GPa
Guma	0,01–0,10
Polietylen (LDPE)	0,2
Polipropylen (PP)	1,5–2,0
Osłonka wirusa	1–3
Poli(tereftalan etylenu) (PET)	2,0–2,5
Polistyren (PS)	3,0–3,5
Nylon	2–4
Drewno dębowe	11
Beton	>27
Magnez (Mg)	45
Stop glinu (aluminium) (Al)	69
Szkło	72
Mosiądz (Cu, Zn) i Brąz (Cu, Sn)	103–124
Tytan (Ti)	105–120
Kompozyt z włókna węglowego	150
Żelazo kute i stal	190–210
Wolfram (W)	400–410
Węglik krzemu (SiC)	450
Węglik tytanu (TiC)	450–650
Miedź	100–115
Cynk	84
Ołów	16
Cyna	47

Przedstawiono tabelę przybliżonych wartości modułu Younga dla wybranych materiałów. Przedstawione wielkości posiadają jednostkę GPa, czyli $\frac{N}{m^{2}}*10^{9}$.

Otrzymany przez nas wynik wynosi: $3,195*10^{10}\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack + / - 0,402*10^{10}\lbrack\frac{N}{m^{2}}$].

Z tablicy możemy odczytać, że jest to moduł dla betonu, jednakże nie wszystkie metale są podane w tablicy. Jestem skłonna przyjąć, że drut był wykonany z jakiegoś stopu cyny.