POLITECHNIKA ŚLĄSKA
WYDZ. MAT.- FIZ.
KIERUNEK :
FIZYKA TECHNICZNA
REZONATOR KWARCOWY.
SEKCJA 7.
JAROSŁAW KONIECZNY
GRZEGORZ SZYC
1. WSTĘP.
Parametr charakteryzujący zdolność oscylatora do wykonywania drgań niewymuszonych nazywany jest dobrocią . Dobroć oscylatora zdefiniowana jest jako stosunek energii posiadanej przez drgający oscylator do energii traconej w jednym cyklu drgań .Z definicji wynika , że oscylator o dużej dobroci raz pobudzony do drgań będzie oscylował długo , wykona wiele wachnięć zanim się zatrzyma . Taki oscylator nazywa się rezonatorem , gdyż przyjmuje on energię w zjawisku rezonansu .
Jeżeli próbować pobudzić do drgań oscylator za pomocą okresowo przykładanej małej siły , to w przypadku oscylatora o dużej dobroci trzeba zadbać o to , aby siła była przykładana z okresem dokładnie rownym okresowi drgań własnych oscylatora . Względna rożnica okresów nie może być większa od dobroci Q :
ΔT / T ≈ 1 / Q
Tak więc dobroć jest z jednej strony rowna ilości wahnięć jaką wykona wahadło swobodne zanim amplituda nie zmaleje dwukrotnie , a z drugiej strony jest odwrotnością dopuszczalnych względnych odchyleń okresu drgań .
Drgania wymuszone.
Równanie ruchu ciała oscylującego o masie m ma postać :
m (d2x / dt2) + mΓ ( dx / dt ) + mω02x = F sinωt.
Powyższe równanie różniczkowe jest bilansem sił działających na oscylującą masę m , gdzie licząc od lewej , znaczenie składników jest następujące : siła bezwładności , siła tłumiąca drgania , siła sprężystości i od prawej siła wymuszająca drgania . Ponadto :
Γ - współczynnik tłumienia ,
F - amplituda siły wymuszającej drgania ,
ω - częstość siły wymuszającej ,
ω0 - częstość drgań własnych oscylatora ( częstość z jaką ciało to wykonuje drgania , poddane działaniu jedynie siły sprężystości proporcjonalnej do chwilowej wartości wychylenia ciała z położenia równowagi ).
Oscylator opisany powyższym równaniem będzie drgał z amplitudą A :
A2 = A02 (Γ2ω02) / ((ω02-ω2)2 + Γ2ω2)
Jeżeli warunek ten jest spełniony , w układzie drgającym występuje zjawisko rezonansu . Dobroć oscylatora wynosi :
Q = ω0 / Δω .
Drgania swobodne .
Jeżeli w ogólnym równaniu ruchu oscylatora przyjąć F=0 , to jego rozwiązanie ma postać :
x = A0 exp ( -Γt / 2) sinω1t ,
gdzie : ω1=ω02 - (Γ/2)2 ≈ ω02 .
Równanie opisujące zanik amplitudy drgań w funkcji czasu ma postać :
A = A0 exp ( -t / τ )
gdzie : τ - stała czasowa .
Zanik amplitudy drgań oscylatora tłumionego w funkcji czasu .
2. STANOWISKO POMIAROWE.
Badany układ drgający stanowi rezonator kwarcowy o nominalnej częstości 100 kHz . Pobudzany on jest przebiegiem sinusoidalnym z wysokostabilnego generatora o regulowanej częstości . Częstotliwość mierzona jest za pomocą przelicznika z dokładnością do 1 Hz . Drgania rezonatora obserwowane są na ekranie oscyloskopu . Generator można odłączać od układu za pomocą wyłącznika .
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA.
A. ZDEJMOWANIE KRZYWEJ REZONANSOWEJ.
1. Za pomocą oscyloskopunależy wykonać kilkanaście pomiarów amplitudy obserwowanych drgań zmieniając częstotliwość wokół częstości rezonansowej w takim zakresie , by osiągnąć małe amplitudy z obydwu stron częstości rezonansowej . Jednocześnie z pomiarami amplitudy należy notować względną fazę sinusoidy .
2. Przełączyć oscyloskop na pracę X - Y , podając na wejście X sygnał z generatora używany dotąd do synchronizacji oscyloskopu . Obserwując elipsę należy sprawdzić czy w rezonansie przebiegi wymuszany i wymuszający są zgodne w fazie .
B. WYZNACZANIE STAŁEJ ZANIKU DRGAŃ.
1. Ustawić częstość generatora możliwie blisko częstości rezonansowej , a oscyloskop na normalną pracę,z wolną podstawą czasu np.0.1 s/działkę
2. Odłączyć generator przez naciśnięcie wyłącznika i obserwować zanik drgań . Wielokrotnie powtarzając tę czynność należy starać się ocenić wartość stałej czasu zaniku drgań τ , tj. czas , po jakim amplituda maleje ok. trzykrotnie ( do wartości 1/e amplitudy z włączonym generatorem ).
4. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW.
1. Wykreślić kwadrat amplitudy A2 w funkcji częstotliwości . Na podstawie wykresu odczytać szerokość połówkową krzywej rezonansowej Δf , czyli szerokość maksimum w połowie jego wysokości oraz częstotliwość rezonansową f0 .
2. Obliczyć dobroć generatora korzystając ze wzoru Q1= f0 /Δf . Oszacować dokładnośc uzyskanego wyniku obliczeń .
3. Na podstawie stałej zaniku drgań obliczyć dobroć rezonatora na podsawie wzoru Q2= π τ f0 .
4. Sprawdzić czy w ramach błędów Q1= Q2 .
5. Wykreślić wartość fazy w funkcji częstości .