23. równanie błędu obserwacji kątowych

Zgodnie z rysunkiem pomierzony kąt α można obliczyć ze współrzędnych punktów C,L,P na podstawie różnicy azymutów boków CL i CP

α = A_CP - A_CL

a stąd:

α = arc tg $\frac{Y_{\text{p\ }} - Y_{C}}{X_{P} - X_{C\$}}$ - arc tg $\frac{Y_{L} - Y_{C}}{X_{L} - X_{C}}$

Powyższa funkcja wyrażająca zależność pomiędzy pomierzonym kątem α a współrzędnymi punktów C ,L, P jest funkcja nieliniową, różniczkujemy ją aby uzyskać jej postać linową. Różniczka ma postać:

dα= $\frac{\partial\alpha}{\partial Y_{L}}$*dY_L+ $\frac{\partial\alpha}{\partial Y_{L}}$*dX_L+$\ \frac{\partial\alpha}{\partial Y_{C}}$*dY_c+ $\frac{\partial\alpha}{\partial X_{C}}$*dX_c+ $\frac{\partial\alpha}{\partial Y_{P}}$*dY_P+$\frac{\partial\alpha}{\partial X_{P}}$*dX_P

Po zróżniczkowaniu w rezultacie otrzymujemy

$\frac{\partial\alpha}{\partial Y_{C}} =$(A_L – A_P) ; $\frac{\partial\alpha}{\partial X_{C}} = \ $- (B_L – B_P)

Gdzie A_L , A_P ,B_L , B_P, noszą nazwę współczynników kierunkowych. Zależnie czy kąty są podane w mierze gradowej czy stopniowej trzeba użyć odpowiedni zamiennik q

q’’= 206 265 ‘’ q^cc=636 620 ^cc

a wzory na współczynniki A I B przyjmują postać :

A=$\frac{\mathrm{\Delta}\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{y}^{\mathrm{2}}}$*q B=$\frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2}}$*q

Współczynniki kierunkowe obliczone według powyższych wzorów podajemy przeważnie w zaokrągleniu do liczb całkowitych lub z dokładnością najwyżej do 1 miejsca po przecinku. Po wprowadzeniu symboli tych współczynników do równania różniczki zupełnej dα obserwacji kątowej otrzymamy:

dα =A_PdY_p –B_pdX_p- A_LdY_L + B_LdX_L+(A_L – A_P)dY_c – (B_L-B_P)dX_c

Utożsamiając różniczkę zupełną dα z przyrostem kąta Δα uzyskamy najprawdopodobniejszą wartość kąta, dodając przyrost Δα do przybliżonej wartości tego kąta –α_prz, obliczonej ze współrzędnych przybliżonych C,L,P. Wielkość tę można także wyrazić jako sumę kąta pomierzonego α_obs i błędu pozornego (poprawki) v_α. Znając więc równość:

α_prz + Δα = α_obs+ v_α

stąd:

v_α = Δα +α_prz –α_obs

Ostatecznie równanie poprawki obserwacji kątowych w postaci liniowej ma postać :

v_α =$\left| \begin{matrix} \mathbf{d}\mathbf{X}_{\mathbf{L}} & \mathbf{d}\mathbf{Y}_{\mathbf{P}} \\ \mathbf{- A}_{\mathbf{L}} & \mathbf{-}\mathbf{B}_{\mathbf{P}} \\ \end{matrix} \right|\left| \begin{matrix} \mathbf{d}\mathbf{X}_{\mathbf{c}} & \mathbf{d}\mathbf{Y}_{\mathbf{C}} \\ \mathbf{- (}\mathbf{A}_{\mathbf{L}}\mathbf{-}\mathbf{A}_{\mathbf{P}}\mathbf{)} & \mathbf{- (}\mathbf{B}_{\mathbf{L}}\mathbf{-}\mathbf{B}_{\mathbf{P}}\mathbf{)} \\ \end{matrix} \right|$₁+α_prz-α_obs

* Kontrolę obliczenia współczynników kierunkowych można przeprowadzić w oparciu o wzór:

$q = \left| \begin{matrix} x & y \\ A & B \\ \end{matrix} \right|$₂