Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy [ ćw19 ]

1.Wstęp teoretyczny

Do płynów możemy zaliczyć takie substancje jak ciecze i gazy, gdzie po przyłożeniu siły do nich zaczynają płynąć w przeciwieństwie do ciał stałych które ulegają odkształcaniu.

Lepkość jest to typ tarcia występujący w cieczy który spowalnia ruch ciała stałego poruszającego się w nim. W przypadku ruchu ciała stałego w cieczy możemy zaobserwować że po przyłożeniu odpowiedniej siły ciało zacznie początkowo poruszać się ruchem przyspieszonym, a następnie osiągając odpowiednią prędkość(u) ruchem jednostajnym. Zależność ta wynika z siły tarcia ciała stałego działającego na powierzchnię cieczy, która rośnie wraz z prędkością ciała stałego.

Siła oporu którą doznaje płyta tzn. siła lepkości jest wprost proporcjonalna do powierzchni płyty S i do szybkości zmian prędkości warstw cieczy z odległością od płyty:

$F = - \eta \bullet S \bullet \frac{u}{h}$ , gdzie h jest odległością jakie nasze ciało stałe pokonało, η to współczynnik dynamicznej lepkości płynu.

Aby przewidzieć przewidywalne zachowanie się rurek płynu stosuję się liczbę Reynolds'a(Re), która jest stosunkiem oporów objętościowych(turbulentny) i lepkościowych(laminarnych):

$Re = \frac{\text{uρl}}{\eta}$ ,gdzie l jest stosunkiem

Z przepływem laminarnym mamy do czynienia, kiedy w dowolnym punkcie przepływu prędkość V każdej przechodzącej przez ten pkt cząstki płynu jest zawsze taka sama. W przypadku przepływu turbulentnego prędkość zmienia się bezwładnie od punktu do punktu a także w miarę upływu czasu.

Do obliczenia współczynnika lepkości rozważmy kulę o promieniu r i masie m_k spadającą swobodnie w cieczy o gęstości ρ_c z prędkością v przy zachowaniu warunków przepływu laminarnego. Na kulkę działają trzy siły: grawitacji, wyporu(Archimedesa) oraz lepkości.

Pierwszą z nich jest siła grawitacji powodująca ruch kulki w dół i równa Q= m_kg

Drugą z naszych sił jest siła wyporu działająca na kulkę w górę odpowiadająca równaniu F_w= -Vρ_cg gdzie w naszym przypadku objętość naszej bryły jest równa $\frac{4}{3}\pi r^{3}$.

Ostatnią z naszych sił jest siła lepkości (oporu cieczy) działająca w tym samym kierunku co siła wyporu F_s= -αηvl gdzie α jest współczynnikiem kształtu gdzie dla naszej kulki przyjmujemy 6π a l jest parametrem liniowym wynoszącym r, zależność ta nosi również nazwę prawa Strokes'a.

Widzimy w takim razie, że na kulkę działa siła wypadkowa równa

F = Q + F_s + F_w . Stosując drugą zasadę dynamiki przedstawiamy równanie: $m_{k}\frac{d_{v}}{d_{t}} = m_{k}g - \frac{4}{3}\pi r^{3}\rho_{c}g - 6\pi\eta rv\ $. Siła Stokes'a rośnie wraz z prędkością kulki do momentu kiedy nasze trzy siły się zrównoważą i kulka zacznie poruszać się ruchem jednostajnym czyli jest prędkość osiągnie wartość stałą, graniczną czyli nasze v_gr . Dla kulki spadającej w cylindrze o promieniu R

i wysokości słupa cieczy H możemy obliczyć v_gr przekształcając nasz powyższy wzór:

$V_{\text{gr}} = \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{9\eta\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{H} \right)}$

2.Wykonanie ćwiczenia.

Celem naszego ćwiczenia było obliczenie współczynnika lepkości dwóch cieczy które znajdowały się w dwóch pionowych słupach tak jak na zamieszczonym obrazku. Mieliśmy do dyspozycji różną ilość kulek (małe, średnie, duże), które spuszczaliśmy w cieczy a następnie mierzyliśmy ich czas spadania na wybranym przez nas obszarze.

Pierwszym zadaniem ,które musieliśmy wykonać w naszym ćwiczeniu było zmierzenie pojedynczej wagi każdej z kulek. W celu uzyskania jak najmniejszego błędu wagi kulki ważyliśmy kilka kulek tego samego rozmiaru naraz, a następnie dzieliliśmy przez ich ilość co dawało nam dokładniejszą wagę jednej kulki zarówno małej, średniej jak i dużej. Następnie wybraliśmy po 5 kulek z każdego rodzaju i zmierzyliśmy ich średnicę. Mając wszystkie potrzebne dane zaczęliśmy wrzucać kolejno nasze wybrane kulki do cieczy i mierzyliśmy czas w jakim pokonają wyznaczoną odległość (l) po każdym zmierzonym czasie usuwaliśmy kulkę z naszej cieczy używając kurka. Po wykonaniu wszystkich pomiarów dla pierwszej cieczy wyczyściliśmy nasze używane kulki w spirytusie aby przy mierzeniu czasu w drugiej cieczy wyniki wychodziły prawidłowo i pozostałości z pierwszej cieczy na kulkach nie zmieniły naszego mierzonego czasu.

3. Analiza danych

a)

Kulki	Masa kulek + ligniny [g]	Masa ligniny [g]	Masa 1 kulki [g]	∆m [g]
DUŻE (5 sztuk)	1,713	0,866	0,16940	0,00020
ŚREDNIE (11 sztuk)	2,046	0,866	0,10730	0,00009
MAŁE (3 sztuki)	1,040	0,866	0,05834	0,00033

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{m}}}_{\mathbf{\text{kd}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,713 - 0,866}}{\mathbf{5}}\mathbf{= 0,169g}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{m}}}_{\mathbf{ks}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2,046 - 0,866}}{\mathbf{11}}\mathbf{= 0,107}\mathbf{g}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{m}}}_{\mathbf{\text{km}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,040 - 0,866}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 0,058}\mathbf{g}$$

$$\mathbf{}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{kd}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,001}}{\mathbf{5}}$$

$$\mathbf{}\mathbf{m}_{\mathbf{ks}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,001}}{\mathbf{11}}$$

$$\mathbf{}\mathbf{m}_{\mathbf{\text{km}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,001}}{\mathbf{3}}$$

b)

Kulki	Średnica d [mm]	d śr. [mm]	∆d śr. [mm]	r [mm]	r śr. [mm]	∆ r śr. [mm]
1. DUŻE	4,00			2,00
	4,00			2,00
	4,00	3,992	0,011	2,00	1,99600	0,00902
	3,98			1,99
	3,98			1,99
2. ŚREDNIE	3,48			1,74
	3,48			1,74
	3,48	3,4840	0,0099	1,74	1,74200	0,00702
	3,48			1,74
	3,50			1,75
3. MAŁE	2,98			1,49
	2,98	2,987	0,015	1,49	1,4933	0,0088
	3,00			1,50

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{\text{kd}}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{d}_{\mathbf{\text{kd}}}}{\mathbf{N}}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{ks}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{d}_{\mathbf{ks}}}{\mathbf{N}}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{\text{km}}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{d}_{\mathbf{\text{km}}}}{\mathbf{N}}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{\text{kd}}}\mathbf{= 3,9920 \pm 0,0058\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{ks}}\mathbf{= 3,4840 \pm 0,0058\ \lbrack mm\rbrack}$$

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}_{\mathbf{\text{km}}}\mathbf{= 2,9867 \pm 0,0058\lbrack mm\rbrack}$$

$$\mathbf{}\mathbf{d}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}{\mathbf{K*}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{sr}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{}\mathbf{d}_{\mathbf{\max}}}{\sqrt{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{{\sum_{}^{}{\mathbf{(}\mathbf{d}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{d}_{\mathbf{sr}}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N(N - 1)}}}$$

Do naszych obliczeń przyjmujemy stopień K=2 (poziom poufałości 95%)

d_max=0, 01 [mm]

Obliczam gęstość kulek:

$$\mathbf{\rho =}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\text{πr}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack$$

Kulki	gęstość [kg/m^3]	∆ gęstość
duże	5088,19106	0,00007
średnie	4848,27098	0,00006
małe	4184,347671	0,000098

$$\mathbf{\rho =}\left| \frac{\mathbf{\text{σρ}}}{\mathbf{\text{σm}}} \right|\mathbf{m +}\left| \frac{\mathbf{\text{σρ}}}{\mathbf{\text{σr}}} \right|\mathbf{r\ =}{\left( \frac{\mathbf{m}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}} \right)_{\mathbf{m}}}^{\mathbf{'}}\mathbf{m +}{\left( \frac{\mathbf{m}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}} \right)_{\mathbf{r}}}^{\mathbf{'}}\mathbf{r =}\left| \frac{\mathbf{1}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{3}}} \right|\mathbf{m +}\left| \mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{m}}{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{r}^{\mathbf{4}}} \right|\mathbf{r}$$

d)

Kulki	d śr. [mm]	GLICERYNA	OLEJ
		t [s]	s [cm]
DUŻE	4,00	16,65	100
	4,00	16,66
	4,00	16,50
	3,98	16,40
	3,98	16,45
ŚREDNIE	3,48	21,65	100
	3,48	21,59
	3,48	21,53
	3,48	21,38
	3,50	21,44
MAŁE	2,98	29,65	100
	2,98	29,78
	3,00	29,85

t- czas opadania kulki

s – droga kulki

e) Opracowanie wyników :

• Współczynnik lepkości wyznaczamy ze wzoru:

$$\eta = \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9V_{\text{gr}}\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{h} \right)}$$

	g [m/s^2]	10
wysokość rurki	h [m]	1,24
promień rurki	R [m]	0,014
gęstość	ρk:
	duza	5088,191
	srednia	4848,271
	mala	4184,348

• $\eta = \left| \frac{\text{ση}\left( r,\ \rho_{k},V_{\text{gr}} \right)}{\text{σr}} \right|\Delta r + \ \left| \frac{\text{ση}\left( r,\ \rho_{k},V_{\text{gr}} \right)}{\sigma\rho_{k}} \right|\Delta\rho_{k} + \left| \frac{\text{ση}\left( r,\ \rho_{k},V_{\text{gr}} \right)}{\sigma V_{\text{gr}}} \right|\Delta V_{\text{gr}} =$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ \ \left| \ \frac{2g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9V_{\text{gr}}} \bullet \left( \frac{2r + r^{2}\left( \frac{3,1}{h} + \frac{2,4}{R} \right)}{\left( \left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{R} \right) \right)^{2}} \right) \right|r\ + \left| \frac{2r^{2}g}{9V_{\text{gr}}r\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{R} \right)} \right|\rho_{k} + \left| \frac{2r^{2}g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9{V_{\text{gr}}}^{2}\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{R} \right)} \right|V_{\text{gr}}$$

$$\mathbf{}\mathbf{\eta}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}{\mathbf{K*}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{sr}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{}\mathbf{\eta}_{\mathbf{\max}}}{\sqrt{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{{\sum_{}^{}{\mathbf{(}\mathbf{\eta}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{\eta}_{\mathbf{sr}}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N(N - 1)}}}$$

Błąd uśrednienia obliczam jako odchylenie standardowe serii pomiarów dla założonego poziomu ufności α-0,95.

• Opracowanie wyników dla gliceryny :

Kulki	d śr [mm]	t [s]	∆t [s]	s [m]	∆s [m]	Vgr [m/s]	∆Vgr [m/s]	η [Ns/m^2]	∆η [Ns/m^2]
DUŻE	4,00	16,65	0,15	1,000	0,003	0,0601	0,0007	0,3965	0,0051
	4,00	16,66				0,0600	0,0007	0,3968	0,0051
	4,00	16,50				0,0606	0,0007	0,3930	0,0051
	3,98	16,40				0,0610	0,0007	0,3906	0,0050
	3,98	16,45				0,0608	0,0007	0,3918	0,0050
ŚREDNIE	3,48	21,65	0,15	1,000	0,003	0,0462	0,0005	0,37908	0,00401
	3,48	21,59				0,0463	0,0005	0,37803	0,00401
	3,48	21,53				0,0464	0,0005	0,37698	0,00400
	3,48	21,38				0,0468	0,0005	0,37435	0,00399
	3,50	21,44				0,0466	0,0005	0,37540	0,00404
MAŁE	2,98	29,65	0,15	1,000	0,003	0,0337	0,0003	0,3170	0,0029
	2,98	29,78				0,0336	0,0003	0,3183	0,0029
	3,00	29,85				0,0335	0,0003	0,3191	0,0029

średnie η	0,3698
średnie ∆ η	0,0042

η = 0,3698 ± 0,0042

• Opracowanie wyników dla oleju :

Kulki	d śr [mm]	t [s]	∆t [s]	s [m]	∆s [m]	Vgr [m/s]	∆Vgr [m/s]	η [Ns/m^2]	∆η [Ns/m^2]
DUŻE	3,50	4,22	0,20	0,850	0,003	0,2014	0,0103	0,13806	0,00035
	3,50	4,16				0,204	0,011	0,13610	0,00035
	3,49	4,12				0,206	0,011	0,13479	0,00036
	3,49	4,12				0,206	0,011	0,13479	0,00035
	3,49	4,12				0,206	0,011	0,13479	0,00035
ŚREDNIE	3,00	5,37	0,20	0,850	0,003	0,158	0,006	0,13048	0,00023
	3,50	5,31				0,160	0,007	0,12902	0,00023
	3,49	5,29				0,161	0,007	0,12854	0,00023
	3,49	5,28				0,161	0,007	0,12829	0,00023
	3,49	5,07				0,168	0,007	0,12319	0,00023
MAŁE	2,50	7,06	0,20	0,850	0,003	0,120	0,004	0,10863	0,00015
	2,49	6,88				0,124	0,004	0,10586	0,00015
	2,50	6,94				0,122	0,004	0,10679	0,00015

średnie η	0,12610
średnie ∆ η	0,00026

η= 0,12610 ± 0,00026

Wnioski :

Doświadczenie pozwoliło nam poprzez szereg pomiarów wyznaczyć wartość współczynnika lepkości cieczy dla gliceryny i oleju. Współczynnik tych cieczy jest różny, zauważyć można iż współczynnik lepkości gliceryny jest większy od współczynnika lepkości oleju. Ze względu na niedostateczne informacje na temat płynów i ich temperatur, niedokładność podczas wykonywanych pomiarów oraz urządzeń wykorzystanych do ich wykonania , wyniki obarczone są błędami.