Postacie normalne odwzorowań, układów dynamicznych i układów sterowania

Postać normalna to szczególna postać wyrażenia, która jest w pewnym sensie równoważna każdemu wyrażeniu z pewnego zbioru wyrażeń. Od postaci systemu zależy, jaki to zbiór i jaki jest sens równoważności. Wyrażenie może mieć jedna postać normalną bądź nie mieć jej wcale.

Nie ma jednej dobrej, formalnej definicji postaci normalnej. Różnego rodzaju wyrażenia przekształca się do takiej postaci ponieważ w ten sposób dokonywane jest pewne uproszczenie. Co upraszczamy zależy od tego, co chcemy otrzymać i czego dotyczy konkretna postać normalna. W przypadku układu sterowania może się zdarzyć, że po przekształceniu go mamy już dla niego gotowe algorytmy sterowania.

W związku z tym, że twierdzenia są dowodzone na postaciach normalnych, należy stosować się do pewnego sposobu postępowania:

1. Doprowadzić układ do postaci normalnej,

2. Dowodzić własności na postaci normalnej,

3. Wnioskować na tej podstawie używając już gotowych twierdzeń, algorytmów etc.

Odwzorowanie

Odwzorowaniem zbioru 𝑋 w zbiór 𝑌 nazywamy funkcję f przekształcającą elementy zbioru 𝑋 (podzbiory zawierające się w 𝑋) w elementy zbioru 𝑌 (podzbiory zawierające się w 𝑌). Matematycznie zapisuje się to:

f : X → Y

albo po prostu tak, jak nas uczono od wielu lat: y=f(x).

W odniesieniu do odwzorowań należy znać pojęcia takie jak:

• Dyfeomorfizm / homeomofrizm

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.

• Funkcja Morse’a

Teoria Morse'a jest klasycznym i ważnym narzędziem topologii różniczkowej, które pozwala poznać własności topologiczne (takie jak typ homotopii lub grupy homologii) gładkiej rozmaitości poprzez badanie gładkich funkcji rzeczywistych określonych na niej. Poza wszelkimi gałęziami topologii teoria Morse'a i jej współczesne uogólnienia znajdują zastosowania w tak różnorodnych dyscyplinach jak geometria algebraiczna, teoria osobliwości, geometria riemannowska, geometria symplektyczna, teoria strun, a nawet kombinatoryka, analiza danych, topografia czy krystalografia.

Funkcją Morse’a nazywamy taką funkcję, która ma wyłącznie niezdegenerowane punkty krytyczne. Punktem krytycznym nazywamy taki punkt, że

Niezdegenerowany punkt krytyczny to taki, że gradient zeruje się w nim, ale macierz drugich pochodnych jest nieosobliwa.

Samo twierdzenie Morse’a mówi, że:

„Funkcja Morse’a jest lokalnie LR-równoważna funkcji:

𝑔(ξ)=−ξ₁²−...−ξ_𝑘²+ξ_𝑘+1²+…+ξ_𝑛²,

gdzie 𝑘 nazywana jest indeksem punktu krytycznego i jest równa liczbie ujemnych wartości własnych 𝐷₂𝑓(0).”

• Submersja oraz immersja

Pojęcia submersji oraz immersji związane są z odwzorowaniami regularnymi, czyli takimi, których zbiór punktów krytycznych jest pusty. Jeśli m≤n, to odwzorowanie regularne F : U → Rⁿ, U ⊂ R^m nazywamy immersją, natomiast gdy m≥n – submersją.

Układ dynamiczny

Układem dynamicznym nazywamy parę (X,T), gdzie X jest pewnym zbiorem (nazywanym przestrzenią fazową), a T grupą lub półgrupą przekształceń X w siebie. W klasycznym przypadku kaskady, są to iteracje jednej transformacji (wtedy przez T oznaczamy tę transformację). Zazwyczaj przestrzeń X jest wyposażona w jakąś strukturę, a transformacje z grupy T zachowują tę strukturę. Teoria układów dynamicznych jest dziedziną interdyscyplinarną, gdzie stosowane są metody badawcze z bardzo wielu gałęzi matematyki. Jest to teoria gwałtownie rozwijająca się w ciągu ostatnich kilku dziesięcioleci i z powodzeniem konkurująca w zastosowaniach do opisywania i przewidywania zjawisk zachodzących w rzeczywistości z metodami statystycznymi, a nawet numerycznymi.

Postać normalna układu dynamicznego wynika z samej definicji i wygląda następująco:

$$\dot{x} = f\left( x \right),\ \ $$

gdzie x ∈ Rⁿ,  f ∈ C^∞,  a funkcja (x,t)jest okreslona ∀t ∈ R

Funkcję (x,t) nazywamy strumieniem układu.

Ważnymi twierdzeniami dla układów dynamicznych są:

• Twierdzenie o prostowaniu

Niech 0 ∈ Rⁿ będzie punktem regularnym układu σ. Wówczas układy σ i $\dot{}$ są różniczkowo równoważne, gdzie:

$$\dot{}\ :\ \ \ \dot{z} = F\left( z \right),\ F\left( z \right) = e_{1}\ $$

Punkt regularny x układu: f(x)≠0. Różniczkowa równoważność oznacza, że istnieje dyfeormorfizm ϕ taki, że Dϕ(x)·f(x)=F(ϕ(x)).

Bardziej matematycznie:

• Twierdzenie o linearyzacji

Twierdzenie o prostowaniu dotyczyło równoważności różniczkowej, natomiast twierdzenie o linearyzacji – równoważności topologicznej. Układy są topologicznie równoważne, gdy istnieje homeomorfizm µ taki, że µ(φ_t(x)) = Φ_t(µ(x)).

Twierdzenie Hartmanna-Grobmana o linearyzacji mówi:

Niech 0 ∈ Rⁿ będzie hiperbolicznym punktem równowagi układu σ. Wówczas układy σ oraz $\dot{}$ są lokalnie topologicznie równoważne, gdzie

$$\dot{}\ :\ \ \ \dot{z} = \text{Az},\ A = \frac{\partial f}{\partial x}(0)\ $$

Układ σ jest lokalnie równoważny topologicznie jednemu z (n+1) układów:

Punkt 𝑥0 jest hiperbolicznym punktem równowagi jeśli wszystkie wartości własne macierzy $A = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0})\ $mają części rzeczywiste różne niż zero.

Układy sterowania

Układy sterowania przedstawia się w ogólnej postaci jako:

gdzie f(x) oznacza dryf, natomiast g(x) = [g₁(x), … , g_m(x)] – pola sterujące. Jest to afiniczny układ sterujący.

Z pojęciem układu sterowania związane są:

• Równoważność przez statyczne sprzężenie zwrotne

• Postać Brunovskiego

• Układ łańcuchowy

Ponieważ wszystkie te rzeczy są związane ze sprzężeniem zwrotnym, którego dotyczy osobne pytanie, a które również ja mam opracować, to nie będę dublować treści – odsyłam do opracowania pytania A6