Ćwiczenie W2

Wyznaczanie stałej Plancka z wykorzystaniem zjawiska fotoelektrycznego

Wprowadzenie

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem zewnętrznego efektu fotoelektrycznego oraz wyznaczenie stałej Plancka.

Po raz pierwszy wprowadził ją Max Planck w wyrażeniu określającym energię atomów budu- jących ciało doskonale czarne. Atomy takie zachowują się jak oscylatory elektromagnetyczne, które emitują falę elektromagnetyczną. Planck założył, że energia oscylatora nie może być dowolna, lecz jest skwantowana, to znaczy może przyjmować tylko ściśle określone wartości. Założenie to nie posiadało żadnego umocowania w znanych wtedy teoriach fi cznych. Postulat Plancka wyrażał się wzorem

E = nhν,

gdzie E oznacza energię oscylatora, ν – częstotliwość drgań, n – liczbę naturalną, a h jest stałą, na- zwaną potem stałą Plancka. Wychodząc od takiego stwierdzenia Planckowi udało się wyjaśnić postać rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego. Zagadnienie to nie mogło być rozwiązane na gruncie fi klasycznej. Więcej informacji o tym problemie znajduje się np. w [2].

Mechanika kwantowa pokazała, że założenie Plancka o energii oscylatorów było nie do końca słuszne. Okazuje się bowiem, że prawidłowe wyrażenie ma postać E = (n + 1 )hν. Jednak w modelu Plancka istotne były różnice pomiędzy kolejnymi wartościami energii, te zaś są takie same w obydwu przypadkach.

Innym zjawiskiem, w którym pojawia się stała Plancka jest zewnętrzny efekt fotoelektryczny. Po-

lega on na emisji elektronów z metalowej powierzchni, pod wpływem padającego na tę powierzchnię światła. Elektrony te nazywamy fotoelektronami, należy jednak pamiętać, że są one w istocie takimi samymi elektronami jak wszystkie inne, a specjalna nazwa podkreśla jedynie ich związek z efek- tem fotoelektrycznym. Powierzchnię, na którą pada światło, i która emituje fotoelektrony, nazywamy fotokatodą.

Zjawisko fotoelektryczne posiada kilka właściwości, których nie można wytłumaczyć na gruncie falowej teorii światła.

1. Teoria falowa przewiduje, że rejestrowana energia kinetyczna elektronów powinna rosnąć nie- ograniczenie wraz ze wzrostem natężenia światła padającego na fotokatodę. Doświadczenie po- kazuje jednak, że dla danej długości fali światła padającego, istnieje pewna maksymalna wartość energii kinetycznej fotoelektronów, niezależna od natężenia oświetlenia fotokatody.

2. Na gruncie teorii falowej można dojść do wniosku, że zjawisko fotoelektryczne powinno zacho- dzić dla dowolnej częstotliwości fali padającej. Okazuje się tymczasem, że istnieje minimalna częstotliwość fali, poniżej której emisja fotoelektronów nie zachodzi, niezależnie od wielkości natężenia światła docierającego do fotokatody.

3. Jeżeli elektron znajdujący się w metalu pobierałby energię od fali świetlnej o słabym natęże- niu, to powinno istnieć mierzalne opóźnienie pomiędzy rozpoczęciem oświetlania fotokatody, a emisją fotoelektronu. W trakcie tego czasu elektron „gromadziłby” energię pochodzącą od fali elektromagnetycznej, a potrzebną na opuszczenie powierzchni metalu. W doświadczeniu opóź- nienie nie pojawia się, a prąd fotoelektronów występuje albo natychmiast, albo wcale (patrz punkt poprzedni).

Dokładnych pomiarów właściwości efektu fotoelektrycznego dokonał Robert Millikan, co przynio- sło mu nagrodę Nobla przyznaną w 1923 roku. Osobliwości tego zjawiska wyjaśnił Albert Einstein wprowadzając koncepcję fotonu. Według Einsteina, światła docierającego do fotokatody nie należy traktować jak fali elektromagnetycznej, ale jak strumień cząstek – fotonów. Energia pojedynczego fotonu określona jest wzorem

E = hν, (1)

gdzie h oznacza stałą Plancka, a ν jest częstotliwością światła traktowanego jako fala elektromagnetycz- na. Foton uderzając w powierzchnię metalu może przekazać swoją energię elektronowi. Jeśli będzie ona dostatecznie duża, elektron opuści powierzchnię metalu. Jeśli elektron nie straci części energii na zderzenia wewnętrzne podczas opuszczania fotokatody, to zasadę zachowania energii możemy zapisać następująco:

hν = E0 + Ekmax . (2)

E0 jest energią potrzebną na wyrwanie elektronu z powierzchni metalu, nazywa się ją pracą wyjścia. Ekmax oznacza energię kinetyczną fotoelektronu. Indeks kmax sygnalizuje, że chodzi o fotoelektron, który nie tracił energii pochłoniętej od fotonu na zderzenia wewnątrz metalu. Powyższe równanie nazywane jest czasem wzorem Einsteina dla zewnętrznego efektu fotoelektrycznego.

Teoria Einsteina wyjaśnia zjawiska, z którymi nie radziła sobie teoria falowa.

Ad 1. Maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów związana jest tylko z energią poszczególnych fotonów, a nie z ich ilością (natężeniem oświetlenia).

Ad 2. Aby efekt fotoelektryczny zaszedł, potrzebne jest pochłonięcie fotonu o energii większej bądź równej od pracy wyjścia danego metalu. Fotony, którym odpowiada większa długość fali (i mniejsza energia) nie są w stanie wyrwać elektronu.

Ad 3. W teorii fotonowej nie występuje żadne „gromadzenie” energii przez elektrony, które praktycz- nie natychmiast pochłaniają energię fotonu i ewentualnie opuszczają fotokatodę.

Za swoją rewolucyjną (w czasach absolutnej dominacji teorii falowej) koncepcję fotonu Albert Einstein otrzymał w 1921 roku nagrodę Nobla.

We współczesnej fi ce stała Plancka pełni rolę fundamentalną, występuje bowiem w głównym równaniu mechaniki kwantowej – równaniu Schro¨ dingera. Elementarne wprowadzenie do tej teorii można znaleźć w [2]. Obecnie, większość zależności mechaniki kwantowej zapisuje się z użyciem

stałej n = h . Nie należy mylić wielkości n oraz h.

Układ pomiarowy

Na rysunku 1 widzimy przygotowany do pracy układ pomiarowy. Światło pochodzące z lam- py spektralnej przechodzi przez szczelinę o regulowanej szerokości oraz soczewkę i pada na siatkę dyfrakcyjną. Światło lampy rtęciowej składa się z fal o kilku, ściśle określonych długościach. Odpowia- dają im, zgodnie ze wzorem (1), fotony o różnych energiach. Siatka dyfrakcyjna ugina fale o różnych długościach pod różnymi kątami, rozdzielając światło lampy na barwne prążki. (Ściśle rzecz biorąc, długości fal w świetle lampy spektralnej jest znacznie więcej niż „kilka”. Część z nich daje jednak prążki o bardzo słabym natężeniu, inne zaś różnią się od siebie o znikomą wartość, tak że obraz dy- frakcyjny zlewa się w jeden prążek. W naszym doświadczeniu obserwujemy pięć głównych prążków, z czego dwa w nadfi Siatka dyfrakcyjna służy zatem jako przyrząd separujący fotony o różnych energiach. Dzięki właściwemu ustawieniu soczewki możemy uzyskać ostry obraz prążka na wejściu okienka fotokomórki. Wewnątrz fotokomórki znajduje się lampa próżniowa, a w niej, wystawiona na działanie zewnętrznego oświetlenia fotokatoda wykonana z potasu. Wybijane z niej elektrony dociera- ją do anody, na której zbiera się w związku z tym pewien ładunek. W miarę jak rośnie ujemny ładunek anody, zwiększa się różnica potencjałów (napięcie) między anodą i katodą. Napięcie to przeciwstawia się ruchowi fotoelektronów. Jeśli ładunek q porusza się między dwoma punktami przestrzeni, między którymi istnieje różnica potencjałów V, to jego energia kinetyczna zmienia się o qV. Fotoelektrony będą docierać do anody, dopóki napięcie anoda – katoda nie osiągnie granicznej wartości hamującej wszystkie z nich. Sytuację tę możemy opisać wzorem

Ekmax = eUh,

gdzie e oznacza bezwzględną wartość ładunku elementarnego, a Uh – bezwzględną wartość napięcia hamującego najszybsze fotoelektrony. Wykorzystując równość (2) dostajemy

hν − E0 = eUh. (3)

Katoda i anoda podłączone są do woltomierza. Połączenie to nie jest bezpośrednie, lecz z użyciem wzmacniacza pomiarowego, którego zadaniem jest, w tym przypadku, maksymalne zwiększenie opo- ru wewnętrznego układu mierzącego napięcie. Dzięki temu minimalizujemy prąd rozładowujący fo- tokomórkę podczas pomiaru. Obserwując woltomierz widzimy, że napięcie rośnie, aż w końcu osiąga pewną stabilną wartość. Wskazanie woltomierza, nazwijmy je U, nie jest dokładnie równe napięciu które blokuje fotoelektrony. Na skutek tego, że katoda i anoda są wykonane z różnych metali po- wstaje między nimi samorzutnie pewna różnica potencjałów φ, związana z różnicą prac wyjścia obu substancji. Napięcie φ nie jest rejestrowane przez woltomierz, gdyż jest związane z lokalnym skokiem potencjału, występującym tylko przy powierzchni elektrod. Uwzględniając ten fakt możemy napisać

Uh = U + φ.

Równanie (3) przyjmie wtedy postać

hν − E0 = e(U + φ).

Przekształcając powyższy wzór dostajemy

U = h ν − ( E0 + φ ,

e e

a zatem zależność U(ν) określa prostą, której współczynnik kierunkowy jest równy h . Ponieważ ma- my do dyspozycji prążki pochodzące od fal o różnych częstotliwościach, możemy doświadczalnie wyznaczyć punkty zależności U(ν). Po dopasowaniu do nich prostej metodą najmniejszych kwadra- tów dostaniemy współczynnik kierunkowy, a tym samym stałą Plancka.

W doświadczeniu występuje jeszcze pewien dodatkowy czynnik utrudniający pomiary. Otóż w bańce próżniowej zawsze znajdują się pewne śladowe ilości ładunków elektrycznych. W miarę na- rastania fotoelektrycznej różnicy potencjałów, będą one tworzyć prąd rozładowujący układ anoda – katoda. Prąd ten, choć niewielki, zmienia poziom napięcia, przy którym występuje stabilizacja wska- zań woltomierza. Przeciwdziałać temu zjawisku możemy poprzez zwiększanie prądu wybijanych fotoelektronów, ten zaś rośnie ze wzrostem natężenia oświetlenia fotokatody. Należy zatem dbać o staranne ustawienie prążka dyfrakcyjnego na okienku fotokatody, a także używać w miarę dużych szerokości szczeliny.

Rysunek 1: Zestaw pomiarowy: a – rtęciowa lampa spektralna, b – szczelina o regulowanej szerokości, c – soczewka, d – zasilacz lampy, e – uchwyt na siatkę dyfrakcyjną, f – miernik uniwersalny (używany jako woltomierz), g – wzmacniacz pomiarowy, h – fotokomórka

Przebieg doświadczenia

Poniższe informacje mają charakter propozycji. Ostateczną decyzję o przebiegu pomiaru podejmuje prowadzący zajęcia.

Przygotowanie układu pomiarowego

Zestaw układ pomiarowy według rysunku 1.

1. Na nieruchomą część ławy optycznej załóż kolejno soczewkę, szczelinę i rtęciową lampę spek- tralną. Lampę traktuj z najwyższą ostrożnością!

2. Lampę umieść na końcu ramienia ławy. Szczelinę odsuń na odległość około 4cm od bańki lampy.

3. Na przegub ławy wstaw uchwyt, a do niego ostrożnie włóż siatkę dyfrakcyjną. Siatka powinna być ustawiona prostopadle do nieruchomego ramienia ławy.

4. Na końcu ruchomego ramienia ławy umieść fotokomórkę.

5. Wyrównaj ustawienie elementów, tzn. doprowadź do sytuacji w której środki: szczeliny, soczew- ki, siatki dyfrakcyjnej oraz okienka fotokomórki znajdują się na wysokości środka lampy spek- tralnej. Całą ławę ustaw w ten sposób, aby ramię ruchome można było przesuwać swobodnie w zakresie 0◦ – 20◦.

6. Podłącz lampę do wyłączonego zasilacza, a fotokomórkę (przewodem BNC) do wyłączonego wzmacniacza pomiarowego.

7. Do wyjścia  wzmacniacza pomiarowego podłącz miernik ustawiony w tryb woltomierza prądu stałego. Jako zakres miernika wybierz 2V.

8. Wzmacniacz pomiarowy przełącz w tryb elektrometru. Wybierz wzmocnienie 1 (100) i stałą czasową 0 (patrz rysunek 2).

Rysunek 2: Wzmacniacz pomiarowy

1. Włącz zasilacz lampy spektralnej i wzmacniacz.

2. Przesuwając soczewkę znajdź obraz prążków dyfrakcyjnych na białym pasku papieru przykle- jonym do obudowy fotokomórki. Szerokość szczeliny ustaw tak, aby prążki miały grubość około 3/4cm. Zwróć uwagę, że dzięki fl papieru możesz obserwować prążki pochodzące od promieniowania ultrafi owego. Są one umieszczone przed prążkiem fi owym i mają kolor zbliżony do niebieskiego.

3. Po około 10 minutach od włączenia układ jest gotowy do pracy. Wyreguluj jeszcze wzmacniacz pomiarowy. Zamknij okienko fotokomórki i trzymając wciśnięty przycisk dobierz takie po- łożenie pokrętła aby miernik wskazywał 0V.

Lampa spektralna nagrzewa się w trakcie pracy do wysokiej temperatury. Nigdy nie należy dotykać bańki włączonej lampy!

Pomiar

Pomiary powinny być wykonywane przy zgaszonym świetle.

1. Poruszając ramieniem ławy optycznej ustaw okienko fotokomórki tak by było oświetlane przez pierwszy prążek (UV). Zwróć uwagę, że za pierwszym otworem wpuszczającym światło do fotokomórki, znajduje się drugi, mniejszy, ułożony mimośrodowo względem pierwszego. Na- prowadź prążek na środek wewnętrznego otworu. (Prawidłowe „wycelowanie” prążka w foto- komórkę ma istotne znaczenie, gdyż redukuje wpływ prądu rozładowującego układ anoda – katoda).

2. Rozładuj wejściowy kondensator wzmacniacza pomiarowego poprzez wciśnięcie przycisku .

3. Poczekaj aż wskazania woltomierza przestaną się zmieniać (może to trwać nawet kilkadziesiąt sekund) i zapisz otrzymaną wartość napięcia hamującego.

4. Powyższe czynności powtórz dla pozostałych prążków. Dla prążków zielonego i czerwonego użyj fi w o odpowiadających im barwach. Mają one za zadanie wyeliminować wpływ ul- trafi owych prążków dyfrakcyjnych drugiego rzędu. Filtry mocuj w uchwycie przy okienku fotokomórki. Wyniki zbierz w tabeli.

Kolor prążka	Długość fali λ [nm]	Napięcie U [V]
UV	365
UV	405
fi owy	436
zielony	546
żółtopomarańczowy	579

1. Po zakończeniu ćwiczenia uporządkuj stanowisko pomiarowe.

Opracowanie sprawozdania

Wiążącą decyzję o sposobie opracowania danych pomiarowych podejmuje prowadzący zajęcia.

Sprawozdanie może być sporządzone według następującego planu.

1. Krótki wstęp z opisem celu ćwiczenia i metody pomiarowej. Nie przepisujemy instrukcji!

2. Tabela pomiarowa.

3. Wykres zależności napięcia od częstotliwości padającego promieniowania U(ν). Częstotliwość obliczamy ze wzoru ν = c/λ, gdzie c = 2, 99792 · 108m/s – prędkość światła. Na wykresie nanosimy prostą U = aν + b, której parametry obliczamy metodą najmniejszych kwadratów.

4. Wartości współczynników otrzymanych w metodzie najmniejszych kwadratów wraz z błędami.

5. Stała Plancka obliczona ze wzoru h = ea, gdzie e = 1, 6021892 · 10−19C – ładunek elementarny.

6. Błąd wyznaczania stałej Plancka obliczony ze wzoru ∆h = e∆a.

7. Poprawnie zaokrąglony i zaopatrzony w jednostkę wynik końcowy, zapisany w postaci h =

hobl ± ∆h.

1. Wnioski. Porównanie otrzymanej wartości stałej Plancka z danymi tablicowymi. Jakie są najważ- niejsze przyczyny niedokładności pomiaru? Jak można udoskonalić eksperyment?

Pytania kontrolne

Zakres materiału obowiązującego przy odpowiedzi teoretycznej ustala prowadzący zajęcia. Podane pytania mają charakter przykładowy.

1. Na czym polega efekt fotoelektryczny?

2. Wzór łączący energię fotonu z długością odpowiadającej mu fali elektromagnetycznej.

3. Co to jest praca wyjścia?

4. Wzór Einsteina.

5. Co to jest siatka dyfrakcyjna i jaki jest efekt jej działania?

6. W jakim celu używaliśmy siatki dyfrakcyjnej w ćwiczeniu?

Literatura

[1] D. Halliday, R. Resnick Fizyka t. 2

[2] B. Jaworski A. Dietłaf Kurs fizyki t.3 Procesy falowe, optyka, fizyka atomowa i jądrowa

[3] http://www.walter-fendt.de/ph14pl/photoeffect_pl.htm – wirtualny eksperyment badający zjawisko fotoelektryczne

[4] http://klub.chip.pl/mpytel/ – strona, na której można znaleźć program „Spektruś” wyświe- tlający widma emisyjne różnych pierwiastków, w tym rtęci