Zmienna losowa
Niech będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych, o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych, posiadającą własność mówiącą, że dla dowolnej liczby zbiór zdarzeń elementarnych , dla których jest spełniona nierówność jest zdarzeniem, czyli.
Przez zmienną losową można nieformalnie rozumieć zmienną, która w wyniku doświadczenia przyjmuje pewne wartości z określonym prawdopodobieństwem. Wyróżnia się dwa typy zmiennych losowych: zmienne losowe skokowe oraz ciągłe.
Zmienna losowa jest typu skokowego (dyskretnego), jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór jej wartości , taki że oraz(warunek unormowania). Punkty nazywamy punktami skokowymi. Funkcję nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa.
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej nazywamy funkcję . Określa ona prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x.
Własności dystrybuanty:
,
jest funkcją niemalejącą
jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą,
prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału <a,b) jest równe przyrostowi dystrybuanty: . W przypadku zmiennej losowej skokowej fakt domknięcia lub nie domknięcia końców przedziału <a,b) ma znaczenie.
Podstawowe charakterystyki liczbowe jednowymiarowej zmiennej losowej
1. Wartość oczekiwana oraz wariancja zmiennej losowej dyskretnej: ;
2. Pewne własności: , ; ; (przy założeniu braku korelacji zm. losowych).
Niektóre standardowej rozkłady dyskretne
Rozkład zero-jedynkowy. Zmienna losowa o tym rozkładzie jest związana z doświadczeniem, w którym możliwe są tylko 2 wyniki, interpretowane czasem jako sukces i porażka. Funkcja prawdopodobieństwa jest postaci: , .
Rozkład dwumianowy. Zmienna losowa o tym rozkładzie opisuje liczbę sukcesów w dowolnej kolejności w n niezależnych doświadczeniach o identycznym prawdopodobieństwie sukcesu p w każdym z nich. Funkcja prawdopodobieństwa jest postaci: , , .
Rozkład Poissona. Rozkład opisuje liczbę wystąpień zjawiska, np. w danym odcinku czasu. Funkcja prawdopodobieństwa jest postaci: ,, .