Temat: Badanie własności sprężystych ciał.

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest poznanie własności sprężystych ciał stałych, analiza ruchu

obrotowego bryły sztywnej na przykładzie wahadła torsyjnego oraz doświadczalne

wyznaczenie modułu sztywności.

Moduł sztywności G – to współczynnik sprężystości materiału, równy stosunkowi naprężania stycznego ss do kąta skręcenia a deformowanego ciała: G = ss/a [N/m2]. Występuje w odkształceniach postaciowych, przy zachowaniu stałej objętości ciała.

2. UKŁAD POMIAROWY

Obiektem badań jest pręt o długości l i średnicy 2r, którego górny koniec jest sztywno zamocowany, drugi dolny jest poddawany działaniu sił skręcających.

Schemat wahadła rys. 1

W dolnej części pręta zamocowane jest ramię o długości 2d , na którym znajdują się kołki do zamocowania walców. Walce są wtedy mocowane na zewnętrznych kołkach. W ćwiczeniu można także używać dwóch identycznych walców mocowanych symetrycznie na kolejnych kołkach. Odchylony w płaszczyźnie poziomej układ wykonuje drgania torsyjne. Jest to jeden z przykładów wahadła fizycznego - wahadło torsyjne. Jak dla każdego wahadła fizycznego jego okres zależy od jego momentu bezwładności

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D}}$$

gdzie J jest momentem bezwładności, a D jest modułem skręcania drgającej bryły względem zadanej osi obrotu. Dla wyznaczenia modułu skręcenia, a następnie modułu sprężystości wystarczy zmierzyć okres T₀

drgań wahadła i wyznaczyć jego moment bezwładności J₀. Jednak bezpośrednie wyznaczenie

momentu bezwładności jest trudne.

Trudność tę można ominąć mierząc najpierw okres drgań To wahadła nieobciążonego o

pewnym nieznanym momencie bezwładności Jo , a następnie mierząc okres T drgań

wahadła obciążonego dodatkowym ciałem o kształcie pozwalającym analitycznie obliczyć

jego moment bezwładności J . Otrzymuje się wtedy okresy drgań po

prostych przekształceniach pozwolą wyeliminować z tych dwóch równań wielkość Jo i

otrzymać wyrażenie dla modułu skręcenia D , a następnie na moduł sprężystości G :

$$G = 32\pi*m*L\ \frac{d_{2}^{2} - d_{1}^{2}}{r^{4}*(T_{2}^{2} - T_{1}^{2})}$$

3. PRZEBIEG ĆWICZENIA I DOKONANE POMIARY.

Przebieg ćwiczenia:

1. Wyznaczenie masy czterech ciężarków i umieszczenie je na krzyżu w odległości d₁

2. Wprawienie krzyżaka w drgania, za pomocą stopera zmierzenie czasu 10 okresów. Pomiar powtórzyliśmy 3 razy. Obliczenie T_1dsr

3. Zmiana położenia ciężarków na odległość d₂, zmierzenie okresu T_2dsr jak poprzednio.

4. Zmierzenie długości drutu L oraz jego średnicę 2r.

5. Przedstawienie wyników.

Tabela pomiaru 10 okresów dla d₁ = 0, 166 [ m ]

T1	Td1s	T2	T3	m	L	r	G
[ s ]	[ s ]	[ s ]	[ s ]	[ kg ]	[ m ]	[ m ]	[ N/m^2]
2,857	2,848	2,833	2,854	0,053	0,549	0,00148	5, 8104 * 10^10

Tabela pomiaru 10 okresów dla d₂ = 0, 13 [ m ]

T1	Td2s	T2	T3	m	L	r	G
[ s ]	[ s ]	[ s ]	[ s ]	[ kg ]	[ m ]	[ m ]	[ N/m^2]
2,451	2,45	2,453	2,448	0,053	0,549	0,00148	5, 8104 * 10^10

Obliczenia :

Podstawione wyniki pomiarów do wzoru:

$$G = 32\pi*0,053*0,549\ \frac{{0,13}_{}^{2} - {0,166}_{}^{2}}{{0,00148}^{4}*({2,45}_{}^{2} - {2,848}_{}^{2})} = 5,8104*10^{10}$$

4. BŁĘDY POMIAROWE.

Błąd urządzeń pomiarowych:

∆L + 0.002 [ mm ]

∆T ± 0,1 [ s ]

∆m ± 0,001 [ kg ]

∆r ± 0,02 [ mm ]

∆d ± 0,002 [ m ]

Obliczamy błąd względnego modułu sztywności korzystając ze wzoru:

$$\frac{G}{g} = \left| \frac{1}{m} \right|*m + \left| \frac{1}{L} \right|*L + \left| \frac{2*d_{2}}{d_{2}^{2} - d_{1}^{2}} \right|*d_{1} + \left| \frac{4}{r} \right|*r + \left| \frac{2*T_{2}}{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}} \right|*T_{2} + \left| \frac{2*T_{1}}{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}} \right|*T_{1}$$

Podstawiamy otrzymane wyniki:

$$\frac{G}{g} = \left| \frac{1}{0,053} \right|*0,001 + \left| \frac{1}{0,549} \right|*2*10^{- 6} + \left| \frac{2*0,13}{{0,13}^{2} - {0,166}^{2}} \right|*0,002 + \left| \frac{4}{0,00148} \right|*2*10^{- 5}* + \left| \frac{2*2,45}{{2,45}^{2} - {2,848}^{2}} \right|*0,1 + \left| \frac{2*2,848}{{2,45}^{2} - {2,848}^{2}} \right|*0,1 = 0,5079180658$$

5. Wnioski i spostrzeżenia:

W doświadczeniu wykorzystaliśmy następujące urządzenia : suwmiarka , miarka, waga elektroniczna oraz elektroniczny licznik mierzący czas. Błąd w pomiarze został spowodowany niedokładnością przyrządów pomiarowych , nieprecyzyjnym odczytem wyników podczas pomiaru długości drutu oraz jego szerokości. Nasze ćwiczenie składało się z 3 pomiarów dla ciężarków na odległości d=16,6 [cm] i 3 pomiarów dla odległości d= 13 [cm]. Na wyliczony błąd modułu sztywności wpływają błędy poszczególnych wielkości mierzonych w wykonanym doświadczeniu.