Równanie ruchu i charakterystyka statyczna podstawowych członów automatyki.

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest liniowa to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach:

$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$

$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a₀, a₁,..., a_n-1 oraz b₀, b₁,..., b_m są stałymi rzeczywistymi.

Charakterystyką statyczną nazywamy zależność między sygnałem (wektorem) wyjściowym a sygnałem (wektorem) wejściowym w stanie ustalonym.

W stanie ustalonym, gdy t →∞ przyjmuje się w równaniu ruchu wszystkie pochodne względem czasu t równe 0, otrzymując równanie charakterystyki statycznej w postaci:

f(x,y) = 0 lub liniowe a₀y = b₀x

y y

$\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

x x

Linearyzacja statyczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi p(x₀, y₀). Linearyzacja statyczna w warunkach ustalonych (t → ∞) sprowadza równanie ruchu do postaci:

$\frac{d}{\text{dt}} = 0$

Jego postać zlinearyzowana to:

$$\left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{y0}y + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x0}x = 0$$

gdzie:

Równanie zlinearyzowane obowiązuje tylko w dobranym przedziale Δy, Δx wokół punktu pracy p(x₀, y₀) i definiuje go współczynnik wzmocnienie k.

y y^’

Δy $\tan{a = \frac{b_{0}}{a_{0}} = k}$

Δy P(x₀,y₀₎ x^’

Δx Δx x

Elementy automatyki - przykłady

1. Dźwignia

a b y

x

$$\tan{\alpha =}\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

$y = \frac{b}{a}x$

y = kx

X – sygnał wejścia

Y – sygnał wyjścia

k – wzmocnienie

Jest to równanie ruchu, charakterystyka statyczna i dynamiczna.

Element liniowy, proporcjonalny, bezinercyjny.

1. Dźwignia – sumator

c d y

x z

a b

$$\left\lbrack \begin{matrix} \tan{\alpha =}\frac{x}{c} = \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ a + b = c + d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x}{c} = \frac{y}{d} \\ \frac{y}{d} = \frac{z}{b - d} \\ \end{matrix} \\ c = a + b - d \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} xd = y(a + b - d) \\ y\left( b - d \right) = zd \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \begin{matrix} d(x + y) = y(a + b) \\ d\left( z + y \right) = yb \\ \end{matrix} \right.\ $$

$\frac{y}{x + y}\left( a + b \right) = \frac{y}{z + y}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :y$ b(x+y) = (z+y)(a+b)

bx = z(a+b) + ay

$z = \frac{b}{a + b}x - \frac{a}{a + b}y$

Etapy działania regulacyjnego dźwigni jako sumatora

- pojawienie się sygnału x:

c y

x e

a b

- etap regulacji:

c d y

x e

a b

- zakończenie regulacji, e=0:

c d y

x e=0

a b

Transmitancja operatorowa podstawowych członów automatyki.

Dane jest ogólne równanie ruchu n-tego rzędu o stałych współczynnikach:

$$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) =$$

$$= b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{dx(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$$

gdzie współczynniki a₀, a₁,..., a_n-1 oraz b₀, b₁,..., b_m są stałymi rzeczywistymi.

Dokonując transformaty Laplace'a na obu stronach równania ruchu przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy postać:

(sⁿ+a_n − 1s^n − 1+ …+a₁s+a₀)Y(s) = (s^m+b_m − 1s^m − 1+ …+b₁s+b₀)X(s)

Po przekształceniu otrzymujemy transmitancję operatorową danego elementu:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ \ldots + b_{1}s + b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$

Transmitancja operatorowa danego elementu jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) dla zerowych warunków początkowych. Pozwala na wyznaczenie charakterystyki dynamicznej elementu.

Własności transformaty streszczone mogą zostać następująco:

- Transmitancja operatorowa definiowana jest tylko dla układów liniowych stacjonarnych. Nie może zostać zdefiniowana dla układów nieliniowych.

- Transmitancja pomiędzy zmienną wejściową i zmienną wyjściową układu, definiowana jest jako transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej. Innym sposobem wyznaczania transmitancji jest wyznaczenie ilorazu transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty Laplace'a wejścia.

- Wszystkie warunki początkowe układu są zbiorem zerowym.

- Transmitancja nie zależy od rodzaju sygnału wejściowego.

- Transmitancja operatorowa układu ciągłego jest wyrażana tylko i wyłącznie jako funkcja operatorowa zmiennej zespolonej s. Nie jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, czasu ani żadnej innej zmiennej, która używana byłaby jako zmienna niezależna .

Transmitancja właściwa. Transmitancja opisana równaniem nazywana jest ściśle właściwą jeśli rząd wielomianu mianownika jest większy od rzędu wielomianu licznika (tzn. n => m). Transmitancja jest niewłaściwa jeśli n < m.

Równanie charakterystyczne. Równanie charakterystyczne układu liniowego jest definiowane jako równanie uzyskane poprzez przyrównanie wielomianu mianownika transmitancji do zera. Równanie charakterystyczne układu jest następujące:

sⁿ + a_n − 1s^n − 1 +  …+a₁s + a₀ = 0

Stabilność układów z pojedynczym wejściem i wyjściem określona jest wystarczająco poprzez pierwiastki równania charakterystycznego.

Linearyzacja dynamiczna nieliniowych równań różniczkowych

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:

gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych.

Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora.

Jego postać zlinearyzowana to:

$$\left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial y}^{(n)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(n)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial y}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta y}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{p}\Delta y + \left. \ \left. \ \frac{\partial f}{{\partial x}^{(m)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(m)} + \ \ldots + \frac{\partial f}{{\partial x}^{(1)}} \right|_{p}{\Delta x}^{(1)} + \left. \ \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{p}\Delta x + R = 0$$

Gdzie: R – nieliniowa część rozwinięcia,

Δyⁿ = yⁿ − y₀ⁿ

……………

Δy¹ = y¹ − y₀¹

Δy = y − y₀

Δx^m = x^m − x₀^m

……………

Δx¹ = x¹ − x₀¹

Δx = x − x₀

Dla R =0, otrzymuje się przybliżenie liniowe równania różniczkowego układu.

Przykład:

Znaleść rozwiązanie równania różniczkowego dla x=1(t) przy zerowych warunkach początkowych.

$$\ddot{y} + 2\dot{y} + 3y = 2x$$

s²Y(s) + 2sY(s) + 3Y(s) = 2X(s)

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s^{2} + 2s + 3}X\left( s \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X}\left( s \right) = \frac{1}{s}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{As^{2} + 2As + 3A + Bs^{2} + Cs}{s\left( s^{2} + 2s + 3 \right)}\text{\ \ }$$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A + C = 0 \\ 3A = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{2}{3} \\ B = - \frac{2}{3} \\ C = - \frac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$y_{1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

Δ = 4 − 12 = −8

$$\sqrt{\Delta} = \pm 2i\sqrt{2}$$

$$s_{1} = - 1 - i\sqrt{2}\text{\ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }s_{2} = - 1 + i\sqrt{2}\ $$

$$y_{1} = \frac{A + iC}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{B + iD}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \frac{As + A - iA\sqrt{2} + iCs + iC + C\sqrt{2} + Bs + B + iB\sqrt{2} + iDs + iD - D\sqrt{2}}{s^{2} + 2s + 3}\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} A + B = 1 \\ C + D = 0 \\ \begin{matrix} A + B + \sqrt{2}\left( C - D \right) = 2 \\ \sqrt{2}\left( B - A \right) + C + D = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A = \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ \begin{matrix} C = \frac{\sqrt{2}}{4} \\ D = - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$y_{1} = \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 - i\sqrt{2} \right)} + \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4}}{s - \left( - 1 + i\sqrt{2} \right)}\ $$

$$y_{1} = \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{4} \right)e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + \frac{1}{2}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} - i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t}\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} + e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}\left( e^{\left( - 1 - i\sqrt{2} \right)t} - e^{\left( - 1 + i\sqrt{2} \right)t} \right)\ $$

$$y_{1} = \frac{1}{2}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t} \right) + i\frac{\sqrt{2}}{4}e^{- t}\left( e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} - e^{i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\frac{e^{- i\sqrt{2}t} + e^{i\sqrt{2}t}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

Według wzorów Eulera

$$\cos a = \frac{e^{\text{ia}} + e^{- \text{ia}}}{2};\ \ \ \ \ \ \ \sin{a =}\frac{e^{i\sqrt{2}t} - e^{- i\sqrt{2}t}}{2i}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}e^{- t}\sin{\sqrt{2}t}\ $$

$$y_{1} = e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

Ze wzorów trygonometrycznych

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

Asin(α+β) = Asinαcosβ + Acosαsinβ

$$\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A\sin\alpha = 1 \\ \operatorname{Acos}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}{\sin\alpha}^{2} = 1 \\ {\cos\alpha}^{2} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \beta = \sqrt{2}t \\ A^{2}\left( {\sin\alpha}^{2} + {\cos\alpha}^{2} \right) = \frac{3}{2} \\ \tan\alpha = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ A = \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$y_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\ $$

Ostatecznie

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$

Obliczenia z wykorzystaniem tablic transformat:

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3} \bullet \frac{s + 1 + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} - 1 + 3}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3}\frac{1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} - \frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2}\text{\ \ }$$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet \frac{1}{s} - \frac{2}{3}\left( \frac{s + 1}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{\left( s + 1 \right)^{2} + 2} \right)\text{\ \ }$$

Z tablic:

$$L\left\lbrack e^{\text{at}}\cos\text{wt} \right\rbrack = \frac{s - a}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ }L\left\lbrack e^{\text{at}}\sin\text{wt} \right\rbrack = \frac{w}{\left( s - a \right)^{2} + w^{2}}\ $$

Ostatecznie:

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}\left( e^{- t}\cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$y\left( t \right) = \frac{2}{3}1\left( t \right) - \frac{2}{3}e^{- t}\left( \cos{\sqrt{2}t} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\sqrt{2}t} \right)\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{2}{3} \bullet 1(t) - \frac{2}{3} \bullet \sqrt{\frac{3}{2}}e^{- t}\sin\left( \sqrt{2}t + \alpha \right)\text{\ \ }$$