Sprawozdanie z ćwiczenia nr.3.

1. TEORIA

Powstawanie fal mechanicznych

Fala mechaniczna – fala rozchodząca się w ośrodkach sprężystych poprzez rozprzestrzenianie się drgań tego ośrodka. Fala dobiegająca do danego punktu ośrodka wprawia go w ruch drgający przekazując mu energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Energia fali to energia kinetyczna i potencjalna drgań cząstek ośrodka. Fale mechaniczne mogą być falami podłużnymi (np. fala dźwiękowa) lub poprzecznymi (np. fala powstała na linie).

Falę charakteryzują następujące, podstawowe wielkości:

• Amplituda fali A jest równa bezwzględnej wartości maksymalnego przemieszczenia elementu ośrodka względem położenia równowagi;

• Faza fali ϕ określa wartość przemieszczenia w punkcie x w czasie t;

• Okres drgań T cząsteczek ośrodka, przez, który przechodzi fala jest to czas, w którym cząsteczka wykona jedno pełne drganie;

• Częstotliwość fali f oznacza liczbę drgań elementu ośrodka w jednostce czasu.\

Okres i częstotliwość związane są zależnością: f=1/T. Jednostką częstotliwości jest herc (Hz).

Drogę, jaką przebędzie fala w czasie jednego okresu T nazywamy długością fali λ.

Prędkość fali jest więc, równa:

υ = λ/T = λ·f

Długość fali jest równa odległości pomiędzy najbliższymi punktami o jednakowym wychyleniu i kierunku ruchu.

Fale dźwiękowe

Falę dźwiękową nazywamy dowolną mechaniczną falę podłużną. Człowiek słyszy fale o częstotliwościach mieszczących się w przedziale od 20 Hz do 20 000 Hz.

Falę dźwiękową w powietrzu stanowią rozchodzące się zaburzenia polegające na cyklicznym zagęszczaniu i rozrzedzaniu powietrza (cyklicznej zmianie ciśnienia i gęstości) .

W stałych warunkach prędkości dźwięku w różnych ośrodkach są w miarę stabilne i określone. Prędkość dźwięku zależy od gęstości ośrodka, jego własności sprężystych (w przypadku ciał stałych), ściśliwości i temperatury (w przypadku płynów).

Prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury według zależności:

υ = υ₀ $\sqrt{T/T_{0}}$

gdzie υ₀ = 331,5 m/s – prędkość dźwięku w powietrzu w temperaturze T₀ = 273,15, (0°C).

Rezonans akustyczny

Rezonans akustyczny – zjawisko rezonansu zachodzące dla fal dźwiękowych, polegające na pobieraniu energii fal akustycznych przez układ akustyczny ze źródła drgań o częstotliwościach równych lub zbliżonych do częstotliwości drgań własnych układu. W wyniku czego dochodzi do generowania, wzmacniania lub filtrowania drgań o tych częstotliwościach.

Występowanie rezonansu jest istotnym zjawiskiem dla funkcjonowania akustycznych instrumentów muzycznych umożliwia generowanie wybranego tonu, np. przez flet, trąbkę. Pudła rezonansowe akustycznych instrumentów strunowych wzmacniają głos generowany przez strunę i nadają ton instrumentowi.

Jeśli rura jest zamknięta z jednej strony (otwarta tylko po stronie głośnika) rezonans występuje, gdy długość rury L jest równa nieparzystej wielokrotności ćwiartki długości fali λ.

L = n$\ \frac{\lambda}{4}$; n=1,3,5,…

Dla rury zamkniętej z jednej strony warunek rezonansowy ma długość fali λ jest, więc następujący:

λ = $\frac{4L}{n}$; n=1,3,5,…

Możemy również obliczyć, przy jakiej długości rury L wystąpi rezonans dźwięku o danej częstotliwości f. Dla rury zamkniętej jednostronnie dostajemy :

L = $\frac{\text{nυ}}{4f}$; n=1,3,5,…

1. Wykonanie ćwiczenia

Głośnik, podłączony do generatora częstotliwości akustycznych, wywołuje drgania powietrza w rurze rezonansowej. Generator sygnału może wytworzyć kilka wartości częstotliwości napięcia przekazywanego do głośnika. Mikrofon, zamontowany u wylotu rury rezonansowej (obok głośnika), wytwarza napięcie stałe o wartości odpowiadającej głośności dźwięku. Sygnał rejestrowany przez mikrofon może być odczytany na woltomierzu podłączonym do mikrofonu.

Czynności pomiarowe

1. Przysuwamy tłoczek w rurze rezonansowej blisko generatora.

2. Podłączamy kabel generatora częstotliwości do gniazdka napięcia 230V i pokrętłem częstotliwości wybieramy jedną z siedmiu możliwych wartości częstotliwości.

3. Miernik uniwersalny ustawiamy na pomiar częstotliwości i podłączamy go do gniazd w generatorze oznaczonym „Częstotliwość, Hz”.

4. Włączamy generator i odczytujemy oraz zapisujemy wartość wybranej częstotliwości.

5. Wyłączamy generator i odłączamy multimetr.

6. Przestawiamy pokrętło multimetru na pomiar napięcia stałego i podłączamy go do gniazd w generatorze oznaczonym „Głośność, V DC”.

7. Włączamy ponownie generator i zaczynamy powoli oddalać tłoczek od głośnika. Gdy głośność dźwięku jest maksymalna ustawiamy precyzyjnie położenie tłoczka obserwując wskazania woltomierza. Maksymalna wartość napięcia oznacza dokładne położenie rezonansowe (maksymalną wartość napięcia może być dla każdego rezonansu trochę inna).

8. Wpisujemy w tabelę współrzędną położenia tłoczka (z dokładnością do 1mm).

9. Ponownie oddalamy tłoczek i ustalamy współrzędną odpowiadającą kolejnemu położeniu rezonansowemu. Pomiary powtarzamy aż do uzyskania od pięciu do sześciu odczytów.

10. Wyłączamy generator i multimetr, odczytujemy i zapisujemy temperaturę powietrza.

1. Obliczenia

1. Obliczam różnicę sąsiednich odczytów ΔL₁ dla kolejnych rezonansów i określam dal każdej różnicy długość fali: λ_i = 2·ΔL_i.

1. Dla pomiaru 1

Λ₁ = 2·ΔL₁= 2·(0,161-0,043) = 0,236[m]

1. Dla pomiaru 2

Λ₂ = 2·ΔL₂= 2·(0,28-0,161) = 0,238[m]

1. Dla pomiaru 3

Λ₃ = 2·ΔL₃= 2·(0,398-0,28) = 0,236[m]

1. Dla pomiaru 4

Λ₄ = 2·ΔL₄= 2·(0,516-0,398) = 0,236[m]

1. Dla pomiaru 5

Λ₅ = 2·ΔL₅= 2·(0,635-0,516) = 0,238[m]

1. Dla pomiaru 6

Λ₆ = 2·ΔL₆= 2·(0,753-0,635) = 0,236[m]

1. Obliczam średnią długość fali $\overset{\overline{}}{\lambda}$ i prędkość dźwięku w powietrzu, υ = $\overset{\overline{}}{\lambda}$ ·f.

$\overset{\overline{}}{\lambda} = \frac{\lambda_{1} + \ \lambda_{2} + \ \lambda_{3} + \ \lambda_{4} + \ \lambda_{5} + \ \lambda_{6}\ }{6} = \ \frac{0,236 + \ 0,238 + \ 0,236 + \ 0,236 + \ 0,238 + \ 0,236\ }{6} = 0,2367$

1. Obliczam temperaturę powietrza

23°C = (273,15 + 23)K=296,15 K

1. Obliczam prędkość dźwięku w powietrzu

υ = $\overset{\overline{}}{\lambda}$ ·f = 0,2367 · 1458 = 345,1086 ≈ 345,11 [m/s]

1. Obliczam teoretyczną prędkość dźwięku υ_t = na podstawie przybliżonego wzoru opisującego zależność prędkości dźwięku w powietrzu od temperatury.

$\upsilon_{t} = \ \upsilon_{0}\sqrt{T/T_{0}} = 331,5\ \ \sqrt{296,15/273,15\ \ } = 345,17457500 \approx 345,17\ \lbrack m/s\rbrack\ \ $

1. Obliczam błąd względny wyznaczonej wartości υ względem wartości teoretycznej υ_{t :}

$$B_{p} = \frac{\left| \upsilon - \upsilon_{t} \right|}{\upsilon_{t}} \bullet 100\% = \ \frac{\left| 345,11 - 345,17 \right|}{345,17} \bullet 100\% = 0,017\%$$

1. Rachunek błędu

1. Obliczam błąd średni kwadratowy

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{(\overset{\overline{}}{\lambda} - \lambda_{i})}^{2}}{N(N - 1)}} = \ \sqrt{\frac{4{(0,2367 - 0,236)}^{2} + 2{(0,2367 - 0,238)}^{2}}{6(6 - 1)} = \ \sqrt{0,000000178} =}\ 4,219\ \bullet 10^{- 4}$ [m]

1. Obliczam błąd względny z rachunku błędów

$$\frac{\upsilon}{\upsilon} = \ \frac{\lambda}{\lambda} + \frac{f}{f} = \frac{\sigma}{\overset{\overline{}}{\lambda}} + \frac{f}{f} = \ \frac{0,000421}{0,2367} + \frac{0,003}{1458} = 0,001780680342 \approx 0,00178\ $$

$$\frac{\upsilon}{\upsilon} \bullet 100\% = 0,00178\ \bullet 100\% = 0.178\%$$

1. Wnioski

W powyższym ćwiczeniu wyznaczaliśmy długość fali dźwiękowej oraz obliczanie prędkości dźwięku w powietrzu.

Wyniki otrzymane w doświadczeniu są zbliżone wartościami do wartości tablicowych prędkości dźwięku w temperaturze 23°C. Niewielka wartość błędu średniego i względnego pozwala stwierdzić, że pomiar był dokonany starannie oraz dokładnie. Doświadczenie potwierdza tezę, że wraz ze wzrostem temperatury wzrasta prędkość dźwięku w powietrzu.