4. Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego

Ruch harmoniczny prosty

Mówimy, że ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty, jeśli siła na nie działająca jest wprost proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi, ale skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia, a wychylenia ciała opisywane są funkcją sinusoidalną zależną od czasu.

Zgodnie z prawem Hooka wartość siły dla małych wychyleń zapisujemy wzorem:

Gdzie:

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Natomiast zmiana położenia ciała opisana jest funkcją

x = Asin ωt

Gdzie:

x – wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi

t – czas

A i ω - wielkości stałe w danym ruchu, tzn. nie zależne od czasu

ω – częstotliwość kątowa

charakterystycznymi wielkościami dla ruchu harmonicznego jest

T okres [s]- czas potrzebny na przebycie pełnego cyklu

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Oscylator przetłumiony

Gdy:

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

Oscylator drgający

Gdy

Przykład ruchu harmonicznego tłumionego:

Wykres ruchu harmonicznego:

Położenie w ruchu harmonicznym nie tłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

3. rozwiązania ruchu harmonicznego tłumionego:

1)Silne tłumienie-drgania periodyczne β<ω₀

x = A0 e^−βt  cos(ωt)

2) Tłumienie krytyczne-zanik krytyczny β=ω₀

x=A0   e^−βt (1 + βt)

Przy tłumieniu krytycznym ciało w najkrótszym czasie osiąga moment równowagi

3) Silne tłumienie-pełzanie β>ω₀

$\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{0}\mathbf{\ }\mathbf{e}^{\mathbf{- \beta t}}\mathbf{\ (}\frac{\mathbf{\beta + \omega}}{\mathbf{2\omega}}\mathbf{\text{\ e}}^{\mathbf{\text{ωt}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{\beta - \omega}}{\mathbf{2\omega}}\mathbf{\text{\ e}}^{\mathbf{- \omega t}}\mathbf{)\ \ }$

Wahadło fizyczne

Wahadło fizyczne-rozkład sił

Na poniższym rysunku przedstawiono przykładowe wahadło fizyczne,którego środek masy.Zlokalizowany jest w odległości h od punktu zawieszenia wahadła. Podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego,na wahadło fizyczne poruszające się ruchem okresowym,działa moment siły M dążący do przywrócenia stanu równowagi tego wahadła.Jednakże w tym przypadku moment siły nie jest proporcjonalny do długości linki L,lecz do długości h dzielącej punkt zawieszenia wahadła od punktu S będącego środkiem masy wahadła.

Częstośc kołowa i okres drgań wahadła fizycznego-wzór

Wyrażenia pozwalające obliczyć częstość kołową ω oraz okres T drgań wahadła fizycznego wynoszą odpowiednio(dla małych kątów):

Oraz:

 gdzie: I - moment bezwładności względem osi zawieszenia, h - odległość środka ciężkości od punktu zawieszenia, g - przyspieszenie ziemskie. Wielkość d = I/mh nosi nazwę długości zredukowanej wahadła fizycznego.

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mg}h}} = 2\pi\sqrt{\frac{L0}{g}}$$

Ważna uwaga:drgania wahadła fizycznego i matematycznego występują tylko wtedy,gdy ich punkt zawieszenia znajduje się w punkcie różnym od środka ich masy;w przeciwnym wypadku drgania zachodzą,ponieważ dla L=0 lub h=0,okres T∞,co oznacza,że wahadło nie wykona nawet jednego pełnego drgania.

Okres drgań T,to czas w którym ciało wykonuje jedno pełne drganie.Mówimy że drgające ciało wykonało jedno drganie,gdy wróciło do stanu wyjściowego.Na stan ciała składa się jego położenie i prędkość.Wahadło w ciągu jednego pełnego okresu przebywa w położeniu podstawowym(najniższym)dwa razy ale –za jednym razem dąży do odchylenia w lewo a za drugim w prawo.

Okres drgań wahadła zależy od jego momentu bezwładności I, odległości środka masy od osi obrotu h, masy m i przyspieszenia grawitacyjnego w danym miejscu g.

W ruchy harmonicznym tłumionym na wahadło działa stała i skierowana pionowo w dół siła ciężkości.

Dekrement tłumienia jest to stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

gdzie

A_n - amplituda n-tego drgania,

A_n+1 - amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia

Dekrement logarytmiczny tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud odpowiadających chwilom i

- współczynnik zwany stałą tłumienia

- początkowa maksymalna amplituda

- podstawa logarytmów naturalnych

- dekrement logarytmiczny tłumienia

Definicja

Dekrement logarytmiczny tłumienia - wielkość fizyczna, która charakteryzuje tłumienie drgań. Jest to logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w tę samą stronę drgającej cząsteczki z których druga amplituda następuje po pierwszej po czasie równym okresowi - T.

Wielkość fizyczna charakteryzująca szybkość zanikania drgań, gdy są one tłumione.

D.t. jest logarytmem dwóch sąsiednich maksymalnych wychyleń w tę samą stronę. Zatem: . Łatwo się przekonać, że jest odwrotnością liczby drgań N, po których maksymalne wychylenie maleje e razy: = 1/N

Czas relaksacji-czas w którym amplituda drgań słabo tłumionych maleje e-krotnie,tzn A(τ)=A0  e⁻¹

Czas relaksacji jest odwrotnością współczynnika tłumienia

Jak wyznaczyc logarytmiczny dekrement tłumienia

Jak wyznaczyć czas relaksacji A₀/e-czas relaksacji